2021版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.1曲线与方程学案苏教版选修2-1

1、2. 6.1曲线与方程学习目标1. 了解曲线和方程的概念 .2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关 系，领会“曲线的方程与“方程的曲线的含义.F知识械理一自主学习知识点曲线的方程、方程的曲线如果曲线C上点的坐标(x, y)都是方程f(x, y) = 0的解，且以方程f(x, y) = 0的解(x, y) 为坐标的点都在曲线 C上，那么，方程f(x, y) = 0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x, y) = 0的曲线.思考(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，会出现什么情况？举例说明. 如果曲线C的方程是f(x, y) = 0,那么点Rxo, y。)在曲

2、线C上的充要条件是什么？ 答案(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，有可能 扩大曲线的边界如方程 y =门一x2表示的曲线是半圆，而非整圆. 假设点P在曲线C上,那么f(x。, y。)= 0；假设f(x。，y。)= 0,那么点P在曲线C上，所以点P(x。, yo)在曲线C上的充要条件是f(xo, yo) = 0.题型探究重点突破题型一曲线与方程的概念例1 (1)坐标满足方程f(x, y) = 0的点都在曲线 C上，那么以下说法正确的选项是.(填序号) 曲线C上的点的坐标都适合方程 f(x, y) = 0; 凡坐标不适合f (x, y) = 0的点都不在曲线 C上；

3、 不在曲线C上的点的坐标必不适合 f(x, y) = 0; 不在曲线C上的点的坐标有些适合 f(x, y) = 0,有些不适合f(x, y) = 0.答案 分析以下曲线上的点与相应方程的关系： 与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy = 5之间的关系； 第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+ y =0之间的关系.解 与两坐标轴的距离的积等于 5的点的坐标不一定满足方程 xy = 5，但以方程xy = 5的 解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于 5的点的轨迹方程不是 xy = 5.第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足X+ y= 0；反之，以

4、方程x + y= 0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 x+y = 0.反思与感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.跟踪训练1判断以下命题是否正确.(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是 y= r2 x2；过点A(2,0)平行于y轴的直线I的方程为|x| = 2.解 不正确.设(xo, yo)是方程 y= .r2x 的解，那么yo=寸r $- x0，即Xo+ yo = r .两边开 平方取算术平方根，得-/2+ y0= r即点(xo, yo)到原点

5、的距离等于r，点(x。，yo)是这个圆上 的点.因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点(彳，fr)在圆上，却不是 y= , r2 x2的解，这就不满足曲线上的点的坐 标都是方程的解.所以，以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是 y= ,r2 x2，而应是y = 不正确.直线I上的点的坐标都是方程| x| = 2的解.然而，坐标满足| x| = 2的点不一定 在直线I上，因此|x| = 2不是直线I的方程，直线I的方程为x= 2.题型二由方程判断其表示的曲线例2 方程(2x+ 3y 5)( x 1) = 0表示的曲线是什么？解 因为(2x + 3y

6、 5)( x 3 1) = 0,2x + 3y 5 = o,所以可得或者 x 3 1 = 0, 即卩2x + 3y 5 = 0(x?3)或者x = 4,故方x 3> o,程表示的曲线为一条射线2x+ 3y 5= 0( X?3)和一条直线 x= 4.反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否那么变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.跟踪训练2“(2x+ 3y 5)log 2( x+ 2y) 3 = 0，其表示什么曲线？解 因为(2x + 3y 5)Iog 2( x + 2y) 3 = 0,2x + 3y 5 = 0,所以可得或者x+ 2

7、y = 8,即2x + 3y 5 = 0(x<10)或者x+ 2y = 8,故方x + 2y>0,程表示的曲线为一条射线2x+ 3y 5= 0( x<10)(去除端点)和一条直线x + 2y= 8.题型三曲线与方程关系的应用例3 假设曲线y xy + 2x + k= 0过点(a, a) ( a R)，求k的取值范围.解曲线 y xy + 2X+ k = 0 过点(a, a),2 2a + a + 2a + k= 0.1 1k = 2a2 2 a= 2( a + q)2+ 2 kw1 , k的取值范围是(一g, 1 .反思与感悟(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该

8、点的坐标是不是方程的解，是否适合方程假设适合方程，就说明点在曲线上；假设不适合，就说明点不在曲线上.(2)点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.跟踪训练3 (1)方程y= a|x|和y= x+ a( a>0)所确定的两条曲线有两个交点，那么a的取值范围是.答案 a>1解析/ a>0,.方程y= a| x|和y = x + a( a>0)的图象大致如图，要使方程y= a| x|和y = x + a( a>0)所确定的两条曲线有两个交点，那么要求=a| x|在y轴右侧的斜率大于 y= x + a的斜率，二a>1直线I:y=

9、x + b与曲线C： y=1 x2有两个公共点，求取值范围.解由方程组y= x+ b,y= ；1 x2,y>0消去x,得到2 22y 2by+ b 1 = 0(y>0).I与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解,2 2A = 4b 8 b 1>0,可得y1+ y2= b>0, b2 1y1y2=厂 > 0,解得K b<. 2.所以b的取值范围为1 ,2)条件.1. "点Ml在曲线y2= 4x上是"点 M的坐标满足方程y= 2 x 答案必要不充分 解析 t y= 2 xw 0,而y2= 4x中y可正可负,填序号解析答案2 2由

10、(cos a 2) + sin a = 3,得 COS a12.又 OW a <2 n,5.过点P1,1且互相垂直的两条直线M的轨迹方程为.答案 x+ y 1 = 0解析设M x, y，如图，由直角三角形的性质可知PM= MO2 2 2 2即x 1 + y 1 = x + y ,11与12分别与x轴，y轴交于A B两点,AB中点点M在曲线y2= 4x上时，点M不一疋在y =2 :'x上.反之，点M在 y =2上时,点M定在y = 4x 上.2.方程(x2 4)2+ y 4 = 0表示的图形是.答案四个点2x 4= 0,x=± 2,解析由得2y 4= 0,y=±2x = 2,x= 2,x = 2,x= 2,即或或或y=2y= 2y = 2y= 2.3.答案 解析 对于，点0，- 1满足方程，但不在曲线上，排除；对于，点1，- 1满足方程，但不在曲线上，排除；对于，曲线上第三象限的点，由于 x<0, y<0，不满足方程，排除.4. OW a <2n，点 RCOS a , sin a 在曲线X 22+ y2= 3 上，贝U a 的值为L课堂少结1以方程的解1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解,为坐标的点