北京科技大学有限元总结

1、 北京科技大学20092010学年硕士研究生“工程中的有限元方法”试题姓名_ 学号_班级_ 成绩_说明：1-5题为笔试题，每题10分。上机题结合实验报告共50分。31、 简述弹性力学四边形四节点等参元的收敛性质以及由该单元刚度矩阵装配成的总刚度矩阵的性质。在单元分析已经提出有限单元解的收敛性要求, 即, 单元必须是完备的和协调的。对于等参单元:1.完备性:对于C0型单元,由于等参单元的形函数中包含有常数项和线性项,满足完备性的要求。2. 协调性:由于单元之间的公共边上有完全相同的节点, 同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数均采用相同的插值函数加以确定。因此, 只要在划分网格时, 遵守单元选择和

2、节点配置的要求, 则等参单元满足协调性的要求。2. 总刚的性质1）对称性2）奇异性，需引入合适的位移约束。3）稀疏，（存在许多零元素）4）非零元素呈带状分布5)主元恒正根据物理意义可得此性质，正常情况下，主元占优2、 分析图示的两个单元在什么条件下其连接关系正确。要求说明所采用单元的类型和连接方法用四边形等参元附加多点约束方程过渡。 4边形5节点Serendipity过渡单元约束方程：u6=(u2+u3)/24123510 4678 93、对于右图所示三节点网格，设每个节点具有一个自由度。其：最大带宽= (9-1)*1=8 最大波阵宽=31,2,109,2,109,2

3、,39,8,34,8,3.单元构造示意图2214234、某非协调板单元，单元长度为2´2，节点基本未知量为： 在图示的坐标系下，其关于w的插值函数形式为：其中： 试：（1）说明此插值函数属于哪一族插值函数？（2）说明此插值函数具有什么基本性质？Hermite族插值函数插值函数及其导函数均具有ij的性质。5、三维实体元如图所示。根据已知形函数，写出它们在图示坐标系下是哪个节点形函数，依此规律写出节点7、18的形函数形式。2223N7=1/64-10+9（x2+y2）（1+x）(1+y)(1-z)N18=9/64(1-x2)(1+9z)(1+x)(1+1/3y)北京科技大学2010201

4、1学年硕士研究生“工程中的有限元方法”试题姓名_学号_班级_ 成绩_说明：17题为笔试题，共50分。上机题结合实验报告共50分。3、 等参元有何特点？ 在四边形等参元网格的划分中，为什么要保证其内角小于180°? （8分）等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。优点：由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法中

5、应用最为广泛的单元形式。具有计算精度高和适应性好的特点，是有限元程序中主要采取的单元形式。为了保证等参变换的一一对应性质，应当避免单元一边上的两点退化成一个节点，还要防止单元的任意两边的夹角接近180度。更不允许夹角等于或大于180度。lxy图12、在图1 所示的坐标系下，某插值函数形式为：其中： 试：（1）说明此插值函数属于哪一族插值函数？Q1、Q2、Q3、Q4代表什么意义？（4分）（2）此插值函数具有什么基本性质？（4分）Hermite插值函数，有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式3214

6、53、构造一个四边形5节点Serendipity单元（长度：2×2），其中，5节点为等距离边内点。要求写出单元的1节点和5节点所对应的形函数的具体形式。（8分）已知：4结点矩形单元的插值函数：4、三维四面体10节点元如图所示。补全已给形函数中的下标，以表明它们在图示坐标系下是哪个节点形函数。（6分）对于图示的单元，其形函数为：3214试证明在这样两个单元的公共边上不满足位移协调条件。（6分）1239 645785、 对于右图所示四边形4节点网格，设每个节点具有2个自由度。网格的最大带宽=_,最大波阵宽=_。（6分）7、正方形截面的烟囱如图所示，烟囱壁由两层材料构成。内层为隔热材料，外

7、层为钢筋混凝土。内、外层的导热系数不同。假定烟囱内表面的温度为100，烟囱外表面暴露在温度为10的在空气中。烟囱与空气换热系数为h。要求利用对称性画出有限元网格图，并指出在不同的边界面上应当采用什么边界条件？（8分）一、 简要回答下列各题（每小题7分） 1）试叙述有限元分析的主要步骤。 它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。 2）在选取单元位移函数时，应遵循哪些原则？ 3）位移形状函数有哪些性质？ 4）等参元有何特点？ 5）在四边形单元的划分中，为什么要保证其内角小于

8、180°? 6）对单元的节点编号时,为什么要使同一单元的节点号差最小？ 二、如图所示的结构已划分为3个3节点三角形单元，设各节点的自由度为1，各单元的 刚度矩阵相同，先定义每个单元的节点号，然后求出结构的刚度矩阵。（15分） 单元刚度矩阵为： （e =1，2，3） 三、对于图示的两单元，其位移函为 ， 试证明在单元的公共边上不满足位移协调条件。（10分） 四、图为8节点四边形单元（在局部坐标系中进行分析），先选取适当的位移函数，然 后构造出各节点的形函数。（15分） （已知拉格朗日一维插值函数： 2点插值 3点插值 ) 五、在对结构进行离散化处理时，若单元划分得不合理将会大大降低计算

9、结果的精度，甚 至产生错误的结果。试列举出3种不合理的单元划分，并指出不合理的原因北京科技大学20122013学年硕士研究生“工程中的有限元方法”试题一是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分)（1）用加权余量法求解微分方程，其权函数和场函数的选择没有任何限制。 （ ）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。 （ ）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。 （ ）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。 （ ）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低

10、。 （ ）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。 （ ）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。 （ ）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。 （ ）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。 （ ）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 （ ）二单项选择题（共20分，每小题2分）1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为_。（A）配点法 （B）子域法 （C）伽辽金法2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用_的结点和_的插值函数。（A）不相同，不

11、相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_相等。（A）单元结点个数 （B）单元结点自由度数 （C）场变量个数4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般_。（A）近似解总小于精确解 （B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡 （D）没有规律5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是_完全多项式。（A）m-1次 （B）m次 （C）2m-1次6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_形式，因此，不用进行回代计算。（A）上三角矩阵 （B）下三角矩阵 （C）对角矩阵 7 对称荷载

12、在对称面上引起的_分量为零。（A）对称应力 （B）反对称应力 （C）对称位移 （D）反对称位移8 对分析物体划分好单元后，_会对刚度矩阵的半带宽产生影响。（A）单元编号 （B）单元组集次序 （C）结点编号9 n个积分点的高斯积分的精度可达到_阶。（A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵的_。（A）对称性 （B）稀疏性 （C）奇异性 三简答题（共20分，每题5分）1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。3、简述有限单元法的收敛性准则。4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨

13、平、（2）单元应力磨平和（3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢）进行排序。四计算题（共40分，每题20分）1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为，弹性模量为，泊松比；单元的边长及结点编号见图中所示。求(1) 形函数矩阵(2) 应变矩阵和应力矩阵(3) 单元刚度矩阵图12、图2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为，同时在方向相应的两顶点处分别承受大小为且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为，泊松比。试求(1) 利用对称性，取图（b）所示结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同的直角

14、三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。(2) 设单元结点的局部编号分别为、，为使每个单元刚度矩阵相同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵。(3) 计算等效结点荷载。(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。（a）（b）图2ANSYS复习试卷一、 填空题1. 启动ANSYS有 命令方式 和 菜单方式 两种方式。2. 典型的ANSYS分析步骤有 创建有限元模型（预处理阶段） 、 施加载荷并求解（求解阶段）、查看结果（后处理阶段） 等。3. APDL语言的参

15、数有 变量 参数和 数组 参数，前者有数值型和字符型，后者有数值型、字符型和 表 。4. ANSYS中常用的实体建模方式有 自下而上建模 和 自上而下建模 两种。5. ANSYS中的总体坐标系有 总体迪卡尔坐标系 csys,0、总体柱坐标系(Z)csys,1、总体球坐标系 csys,2和总体柱坐标系(Y)csys,3。 6. ANSYS中网格划分的方法有 自由网格划分 、 映射网格划分 、 扫掠网格划分、过渡网格划分 等。7. ANSYS中载荷既可以加在 实体模型 上，也可以加在 有限元模型 上。8. ANSYS中常用的加载方式有 直接加载 、 表格加载 和 函数加载 。9. 在ANSYS中常

16、用的结果显示方式有 图像显示 、 列表显示 、 动画显示 等。10. 在ANSYS中结果后处理主要在 通用后处理器 (POST1) 和 时间历程后处理器 (POST26) 里完成。11. 谐响应分析中主要的三种求解方法是 完全法 、 缩减法 、 模态叠加法 。12. 模态分析主要用于计算结构的 固有频率 和 振型(模态) 。13. ANSYS热分析可分为 稳态传热 、 瞬态传热 和 耦合分析 三类。14. 用于热辐射中净热量传递的斯蒂芬-波尔兹曼方程的表达式是。15. 热传递的方式有 热传导 、 热对流 、 热辐射 三种。16. 利用ANSYS软件进行耦合分析的方法有 直接耦合 、 间接耦合

17、两种。二、 简答题1. 有限元方法计算的思路是什么？包含哪几个过程？答：（1）有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体，这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上，计算在外荷载作用下各节点的位移，进而计算各单元的应力和应变。用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。 （2）物体离散化；单元特性分析；单元组装；求解节点自由度。 2. ANSYS 都有哪几个处理器？各自用途是什么？答：（1）有6个，分别是：前处理器；求解器；通用后处理器；时间历程后处理器；拓扑优化器；优化器。（2）前处理器：创建有限元或实体模型； 求解器：施加荷载并求解； 通用后处理器：查

18、看模型在某一时刻的结果； 时间历程后处理器：查看模型在不同时间段或子步历程上的结果； 拓扑优化器：寻求物体对材料的最佳利用； 优化器：进行传统的优化设计； 3. 在ANSYS中过渡网格的用途是？答：有些情况下，高梯度区域要求用六面体单元去细致雕刻，而其它非关键区域，用四面体单元可能就足够了。不幸的是，在同一网格中混用六面体和四面体形的单元格会导致不协调。且有限元方法要求单元网格详细。过度网格把四面体单元与六面体单元结合起来而不破坏网格的整体性，令ansys在他们的交界处自动生成金字塔单元，可见容易地在六面体单元和四面体单元之间保证数学上的连续。4. ANSYS中两种建模方式各自的特点是什么？分

19、别适用于哪些场合？答：（1）自下而上建模：从点创建线创建面创建体的方式；适用于不规则形状或一般二维模型。 （2）自上而下建模：直接创建体素、面素等；适用于规则形状或三维模型。5. 为什么实际中常常优先选择规则网格？答：单元质量对求解结果和求解过程影响比较大，优先选择规则网格，求解精度会比较高。6. 耦合和约束方程各有什么特点？各自的主要用途有哪些？答：（1）耦合：使一组节点具有相同的自由度。用于施加对称条件无摩擦截面铰接； （2）约束方程：自由卷标的任意组合，任意节点号，任意实际的自由度方向。用于连接不同的网格、连接不同类型的单元、建立刚性区过盈装配。7. 高级后处理技术有哪些？各自的用途有哪

20、些？答：（1）载荷工况的分析、路径操作、时间历程处理。（2）载荷工况的分析：在两组完整的结果数据中执行运算； 路径操作：虚拟映射任何结果数据到模型的任意路径上； 时间历程处理：检查模型中指定点的分析结果与时间频率等的函数关系；8. ANSYS中常用的坐标系有哪几类？并简述其用途？答：（1）整体及局部坐标系；节点坐标系；单元坐标系；结果坐标系；显示坐标系。（2）整体及局部坐标系：用以确定几何参数在空间中的位置； 节点坐标系：用以确定各节点的自由度方向和节点结果数据的方向； 单元坐标系：用以确定材料特性主轴和单元结果数据方向； 结果坐标系：用来列表显示结果或单元结果； 显示坐标系：用于几何形状参数

21、的列表及显示；9. 简述ANSYS菜单中常见按钮OK 、Apply、Cancel、Help、Reset的操作结果？答：OK：执行操作，并退出此对话框； Apply：执行操作，但并不退出此对话框，可以重复执行操作； Cancel：取消操作，并退出此对话框； Help：帮助ansys命令解释及所有的GUI解释和系统分析指南； Reset：恢复到默认状态；10. ANSYS中常见的约束和载荷有哪些？适用什么场合？答：（1）自由度约束DOF；力；面荷载；体荷载；惯性荷载；耦合场荷载。（2）自由度约束DOF：将给定的自由度表示出来； 力：施加于模型节点上的集中荷载或施加于模型边界上的荷载； 面荷载：分布

22、荷载施加于某个面上； 体荷载：体积或场荷载； 惯性荷载：由于物体的惯性而引起的荷载； 耦合场荷载：将一种分析的结果用到另一种分析的荷载；11. 结构分析的主要类型有哪些？并简述其主要用途？答：（1）静力分析；模态分析；谐响应分析；瞬态动力学分析；谱分析；屈曲分析；显示动力学分析。（2）静力分析：求解静力荷载作用下结构的位移及应力； 模态分析：计算结构的固有频率和模态； 谐响应分析：确定结构在简谐荷载作用下的响应； 瞬态动力学分析：计算结构在随时间任意变化的荷载作用下的响应； 谱分析：计算由于响应普或psd输入引起的应力和应变； 显示动力学分析：计算高度非线性动力学和复杂的接触问题；12. 简述

23、均匀温度、参考温度和温度载荷的主要区别？答：（1）均匀温度：在热分析中，均匀温度与初始温度、参考温度作用相同；（2）参考温度：是没有定义初始温度的时候，在分析的第一个子步给模型施加的一个均匀温度场的温度；（3）温度荷载：由温度变化在结构上产生的荷载；13. 在热结构耦合分析中如何将热单元转化为结构单元？答：选择菜单路径Main Menu|Preprocessor|Element Type|Switch Elem Type，将弹出转换单元类型对话框。三、 名词解释1. 单元形状函数：是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有节点处DOF值的计算方法。2. ANSYS中的宏及宏文件：宏是包含

24、一系列ansys命令并且后缀为.MAC或.mac的命令文件。宏文件往往是记录一系列频繁使用的ansys命令流，实现某种有限元分析或其他算法功能。3. ANSYS中的工作平面：是创建几何模型的参考（x,y）平面，在前处理器中用于建模。工作平面是一个无限大的二维坐标系平面，有原点。4. ANSYS中的布尔运算：使两个平面模型重叠一部分，运用交运算、两两相交、加运算、减运算、搭接、粘结或合并、分割等运算形成新的想要图形，这种操作就叫做布尔运算。5. 模态叠加法：是用于瞬态分析和谐分析的一种求解技术模态，是将从模态分析中得到各个振型分别乘以系数后叠加起来以计算动力学响应的方法。四、ANSYS软件界面应

25、用题1.以下ANSYS软件中选择类型中相关操作，请将操作编号填入对应操作结果图中。A. Select All: 选择全部实体集B. Select None: 全部实体集都不选择C. Invert: 对激活及未激活的子集取反D. Unselect: 从当前子集中去掉一部分E. Also Select: 增加另一个子集到当前子集中F. Reselect: 从当前子集中选择（再选择）子集G. From Full: 从全部实体集中选择子集A：Select AllB:Select NoneC:InvertD：UnselectE：Also SelectF:ReselectG：From Full 2下图是A

26、NSYS软件操作窗界面图形窗口，文字为对应说明，请补充完善左边说明并将其标号填入对应图形编号中。A. 主菜单（Main Menu）：包含分析过程的主要命令，如建立模块、外力负载、边界条件、分析类型的选择、求解过程等。B. 通用菜单（Utility Menu）：包含各种应用命令，如文件控制（File）、对象选择（Select）、资料列式（List）、图形显示（Plot）、图形控制（PlotCtrls）、工作平面设定（WorkPlane）、参数化设计（Parameters）、宏命令（Macro）、窗口控制（MenuCtrls）及辅助说明（Help）等.C. 工具栏（Toolbar）：执行命令的快捷

27、方式，可依照各人爱好自行设定。D. 输入窗口（Input Window）：该窗口是输入命令的地方，同时可监视命令的历程。E. 图形窗口（Graphic Window）：显示使用者所建立的模型及查看结果分析。F. 标准工具栏：用于新建、打开保存、打印等文件操作。G. 图形视图操作快捷按钮：用于图形移动、缩放、旋转等操作H. 状态栏：显示当前操作或即将操作对象及提示HACFBD GE3、结合你所学的力学知识及ANSYS软件应用基础，简述你从下图中可以得到的信息。这是一张应力分析的结果图； 求解子步为1；最大应力为：1.57*107； 求解结束时间为1；最小应力为：-9.87*106；最大位移为：9

28、.74*10-7；五、编程题1. 使用*CREATE 命令定义一个包含以下材料属性的宏文件，宏文件名为matpro.mac材料1：弹性模量：2.1E11 泊松比：0.27 密度：7835kg/m3 导热系数：42W/m·K材料2：弹性模量：125GPa泊松比：0.3热膨胀系数：1.2×10-6m/(m·K)比热容：220J/kg·K传热系数：l.6W/m·K*CREATE,matpro,macMP,EX,1,2.1E11MP,PRXY,1,.27MP,DENS,1,7835MP,KXX,1,42MP,EX,2,1.25E11MP,PRXY,2,

29、.3MP,APLX,2,1.2E-6MP,C,2,220MP,KXX,2,1.6*END2. 阅读以下命令流文件，完善对每条命令的注释，并简要说明该命令流文件所完成的分析功能。! APDL 命令 注释/COM, /COM,Preferences for GUI filtering have been set to display:/COM, Structural /units,si /PREP7 ET,1,PLANE42 定义单元类型为PLANE42R,1,0.001, 定义实常数，厚度为0.001MP,EX,1,2.1e11 MP,PRXY,1,0.3 定义泊松比CYL4, , ,0.1 R

30、ECTNG,-0.005,0.005,-0.005,0.005, ASBA, 1, 2 FLST,5,4,4,ORDE,2 FITEM,5,5 FITEM,5,-8 CM,_Y,LINE LSEL, , , ,P51X CM,_Y1,LINE CMSEL,_Y LESIZE,_Y1, , ,5, , , , ,1 FLST,5,4,4,ORDE,2 FITEM,5,1 FITEM,5,-4 CM,_Y,LINE LSEL, , , ,P51X CM,_Y1,LINE CMSEL,_Y LESIZE,_Y1, , ,25, , , , ,1 AMESH,3 划分网格FINISH /SOLANTY

31、PE,0 设置分析类型为静态分析NSUBST,1,0,0 设定求解子步为1TIME,1 设定求解结束时间为1FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 /GO DL,P51X, ,ALL, 施加位移约束FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,5 FITEM,2,-8 /GO SFL,P51X,PRES,1000, /STATUS,SOLUSOLVE 求解FINISH /POST1 /EFACET,1 PLNSOL, S,EQV, 0,1.0 查看等效应力彩色云图 /EFACET,1 PLNSOL, U,SUM, 2,1.0 FINISH ! /EX

32、IT,ALL 有限元法的基本思想：有限元法把连续体离散成有限个单元，每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度的问题？位移有限元法的标准化程式是怎样的？离散：将连续区域分散成有限多个子区域；给每个单元选择合适的位移函数来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因为节点位移个数是有限

33、的，故无限自由度问题就转变成了有限自由度的问题；有限元法的标准化程式：结构或区域离散、单元分析、整体分析、数值求解。1.2 什么叫做节点力和节点荷载？两者有什么不同？为什么应该保留节点力的概念？节点力：节点对单元的作用力。节点荷载：包括集中力和将体力、面力按静力等效原则移植到节点形成的等效荷载，原荷载和移植后的荷载在虚位移上的虚功相等；相对于整体结构来说，节点力是内力，节点荷载是外力。（注：我不太确定）节点力的概念在建立单元刚度方程的时候需要用到。1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么？单刚：对称性，奇异性。整刚：对称性，

34、奇异性，稀疏性；单刚系数kij：单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第i个自由度方向引起的节点力。整刚矩阵K中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有各节点上需要施加的节点荷载。1.6 什么是形函数？形函数是一种只与单元的形状、节点的配置及插值方式有关的数学插值函数，它规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法，决定了单元位移场的基本形态。2.1 在有限元法诞生之前，求解弹性力学定解问题的基本方法有哪些？基本方法：按应力求解，按位移求解，混合求解。2.2 

35、什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下列问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件，其中附加了哪些条件？在外力作用下，物体内部将产生应力和应变，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为应变能；外力势能就是外力所做功的负值；势能变分原理：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零  (变分方程)对于线性弹性体，势能取最小值，即 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。势能变分原理代表的控制方程有平衡微分方程和本构方程，边界条件有应力边界条件。其中附加了几何方程和位移

36、边界条件。2.3 什么是强形式，什么是弱形式？ 其中，C，D，E，F是微分算子。上式称为微分方程的弱形式，相对而言，定解问题的微分方程称为强形式。2.4 为了使计算结果收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？Ritz法收敛的条件是什么？如果真实场函数包含在试探函数内，则变分法得到的解答是精确的。然而，通常情况下试探函数不会将真实函数完全包涵在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近

37、似。所以变分法求解只能通常只能得到近似解。采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下，这是不可能的，因而变分法遭遇了困境。Ritz法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n->时，则Ritz法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。3.1 构造单元形函数有哪些基本原则？单元位移函数通常采用多项式，其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包涵常数项和一次式，即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于

38、项数限制而不能选取完全多项式时，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多项式，可在单元内部配置节点。但这种节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性，除非不得已才加以采用。形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求，即满足完备性条件和协调性条件。3.2 试通过矩形单元说明单元刚度矩阵的计算与坐标原点无关。设坐标系中任意一点（x0 ，y0）为单元局部坐标系的原点，并将点（x0 ，y0）作为矩阵单元的形心。则坐标变换关系式为： 从而得出 ，于是， 可知式中不含

39、x0 ，y0，因此单元刚度矩阵的计算与坐标原点无关。3.3 何谓面积坐标？其特点是什么？为什么称其为自然坐标或局部坐标？  三角形单元中任意一点P（x,y）与其3个角点相连形成3个子三角形，其位置由下面的坐标来确定 ，其中，A1，A2，A3分别为三角形P23,P13,P12的面积。L1,L2,L3称为面积坐标。特点：T3单元的形函数Ni就是面积坐标Li。    面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。    三角形单元中任意一点P（x,y）与其3个角点相连形成3个

40、子三角形，其位置由下面的坐标来确定 ，其中，A1，A2，A3分别为三角形P23,P13,P12的面积。L1,L2,L3称为面积坐标。特点：T3单元的形函数Ni就是面积坐标Li。    面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。  三个节点的面积坐标分别为1（1，0，0），2（0，1，0），3（0，0，1），形心的面积坐标为（1/3，1/3，1/3）。单元边界方程为Li=0 (i=1,2,3)。在平行于23边的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标L1 ，而且L1就等于此直线至23边的距离与节点1至23边的距离之比值。

41、面积坐标与直角坐标互为线性关系。面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，因此称为局部坐标或自然坐标。4.1 与平面问题相比，轴对称问题有何特点？轴对称问题是空间问题的一种特殊情况。结构的几何形状、约束条件及荷载分布都对称于某个轴，其位移、应变、应力等也对称于此轴而与环向坐标无关。5.1 何谓等参单元？等参单元具有哪些优越性？等参数单元（简称等参元）就是对坐标变换和单元内的参变量函数（通常是位移函数）采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。优点：可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行

42、，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。5.2 何谓零能模式？在有些情况下，对应于某种非刚体位移模式，减缩积分时高斯点上的应变正好等于零，此时的应变能当然也为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。6.1 对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么还要坐标变换？在局部坐标系内可以更方便地建立单元刚度矩阵。在整体分析中，对所有单元都应采用同一坐标系即整体坐标系，否则围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此，在整体分析前，还要进

43、行坐标转换。6.2 有哪几种梁弯曲理论？梁弯曲理论包括工程梁理论和剪切梁理论。7.1 在薄板弯曲理论中做了哪些假设？第一，板厚方向的挤压变形可忽略不记，即z=0。第二，在板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍为弹性曲面（挠度曲面）的法线。（Kirchhoff直线假设）。第三，薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移(u)z=(v)z =0。7.2 薄板单元和厚板单元的基本假设有什么不同？第一，板厚方向的挤压变形可忽略不记，即z=0。第二，板的中面法线变形后仍保持为直线，但因横向变形的缘故，该直线不再垂直于变形后的中面。第三，薄板中面只发生

44、弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移(u)z=(v)z =0。两者之间的区别在第二点。8.1 薄壳理论有哪些假设？与薄板理论的假设有何异同？第一，壳厚方向的挤压变形可忽略不记。第二，中面法线变形后仍保持为直线且仍为中面的法线。第三，壳体变形时中面不但发生弯曲，而且也将产生面内伸缩变形。第四，折板假设。第五，非耦合假设。与薄板理论假设的异同参考7.1。9.1 减少问题自由度的措施有哪些?利用结构的对称性、采用子结构技术等，可以使求解方程组的自由度数大为降低。 有限元知识点汇总第一章1、何为有限元法？其基本思想是什么？有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微

45、分方程的数值计算方法。基本思想：化整为零，化零为整2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？有限元法的基本思想是几何离散和分片插值；用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。3、单元、节点的概念？单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。节点：网格间相互连接的点称为节点。4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？3大步骤；结构离散化；单元分析；整体分析。5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？有限元方法分3种；位移法、力法、混合法。本课程讲授的：位

46、移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？弹性力学的基本变量是外力、应力、应变、位移几何方程描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系虚功方程描述内力和外力的关系的方程弹性矩阵特点 7、何为平面应力问题和平面应变问题？平面应力问题满足（1）几何条件所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用平面应变问题满足（1）几何条件所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿

47、长度方向不变；（2）载荷条件作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力第二章1 何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？ 答：所谓离散化，是用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合体。 目的：经过离散化，才能使结构变成有限个单元的组合体。 通常把由单元，节点及相应节点载荷和节点约束构成的模型，称为有限元模型。2 结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？ 答：直接影响计算结果的精确程度。 原则：在保证精度的前提下，力求采用较少的单元。 通常集中载荷的作用点，分布载荷强度的突破点，分布载荷

48、与自由边界的分界点，支承点都应取为节点。3 节点总码的编号原则？何为半带宽？半带宽与节点总码的编号有何关系？ 答：在节点编号时，应注意尽量使用同一单元的相邻节点的编号差值尽可能地小些，以便缩小刚度矩阵的带宽，节约计算机容量。4 何为单元分析？单元分析的目的？ 答：选择位移函数建立单元平衡方程计算等效节点力 目的：推导单元节点力F与节点位移之间的关系，建立单元平衡方程,形成单元刚度矩阵.5 何为位移函数?位移函数的收敛准则? 答:选择一个简单的函数,近似地表达单元位移分量随坐标变化的分布规律,这种函数称为位移函数. 位移函数必须包含能反映单元刚体位移的常数项; 位移函数必须包含能反映单元常量应变

49、的一次项; 位移函数在单元内要连续,在单元之间的边界上要协调.6 试述选择单元位移函数的一般原则?以6节点三角形单元,8节点四边形单元,十节点四面体单元为例,建立起位移函数多项式? 答: 在选择位移多项式的阶次时,首先要考虑到解的收敛性; 在选取位移函数多项式时,还应使选取的多项式具有坐标的对成性,保证单元的位移分布不会因为人为选取的方位坐标不同而变化,即位移函数中的x,y 坐标能够互换，这一要求称为几何各项同性。 位移函数多项式中的项数，必须等于或稍大于单元边界上外节点的自由度数，通常取项数与单元外节点的自由度数相等。7、形函数的特点？1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对

50、于Nj、Nm也有同样的性质。2在单元内任一点的各形函数之和等于1，即Ni+Nj+Nm=18、单元刚度矩阵的性质？1 Ke中每个元素都有明确的物理意义，每个元素都是一个刚度系数，他是单位节点位移分量所引起的节点力分量2 ke是对称矩阵，具有对称性。3 Ke的每一行或每一列元素之和为零，是奇异矩阵4 ke的元素决定于单位的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关。9、结构整体刚度矩阵的集成方法？1 先求出每个单元的单元刚度矩阵ke,并以字块形式按节点编号顺序排列。2 将单位刚度矩阵扩大阶数为2n*2n，并将单位刚度矩阵中的字块按局部码和总码的对应关系，搬到扩大后的矩阵中，形成单位贡献矩阵Ke

51、。3 将所有单元贡献矩阵中同一位置上的分快矩阵简单叠加，成为为总体刚度矩阵中的一个子矩阵，各行各列都按以上步骤进行，即形成总体刚度矩阵K。10、整体刚度矩阵的性质？何为稀疏性？为什么整体刚度矩阵具有稀疏性？性质：1对称性 2奇异性3 稀疏性 4带状性稀疏性：整体刚度矩阵中非零元素少，零元素多。有矩阵的形成过程可知，一个节点只与环绕他的相连单位发生联系，所以，相关节点对应的矩阵字块为非零块，不相关节点对应的矩阵字块为零块。大型结构离散后，单元和节点数往往很多，而某一节点仅与周围少数几个单元的节点相关，因此整体刚度矩阵中必然存在大量零元素。节点数越多，整体刚度矩阵越稀疏。11、针对有限元网格模型，形成整个结构的节点载荷列阵和节点位移列阵？12、何为绕节点平均法或两单元平均法？绕节点平均法是将环绕该节点的所有单元应力的算术平均值视为该节点的应力。两单元平均法是将相邻单元应力的平均值视为其公共边界中点的应力值。13、矩形单元与三角形单元比较有哪些特点？4节点矩形单元采用双线性位移函数，在采用相同数目节点的情况下，比3节点三角形单元更好地反映应力急剧变化的情况，计算精度较高。但也有缺点，矩形单元的适应性差，一是不能适应斜线及曲线边界，二是不便于对不同的部位采用大小不等的单元。第三章 1、四面体单元是否是常应变