小波分析方法

1、15 小波分析方法小波分析方法 小波分析简介小波分析简介 两个应用研究实例两个应用研究实例 小波分析(wavelet analysis)，是在Fourier分析基础上发展起来的一种新的时频局部化分析方法，被誉为“数学显微镜”。小波分析，是应用面极为广泛的一种数学方法，是纯粹数学和应用数学完美结合的一个典范。小波分析为现代地理学研究提供了一种新的方法手段，它对于一些多尺度、多层次、多分辨率问题，如气候变化、植物群落的空间分布、遥感图像处理等问题，运用小波分析方法进行研究，往往能够得到令人满意的结果。15.1 小波分析简介小波分析简介小波与小波函数小波与小波函数小波变换及其性质小波变换及其性质离散

2、小波变换离散小波变换时频分析时频分析小波与小波函数小波与小波函数基本约定：基本约定：一般用小写字母，比如f(x)表示时间信号或函数，x表示时间域自变量，对应的大写字母，F()表示相应函数或信号的Fourier变换，表示频域自变量；尺度函数总是写成(x)(时间域)和()(频率域)；小波函数总是写成(x)(时间域)和()(频率域)。小波小波(函数函数)定义：定义：记L2（R）是定义在整个实数轴R上满足条件 的全体可测函数f(x)及其相应的函数运算和内积所组成的集合。那么，小波就是函数空间L2(R)中满足下述条件的一个函数或者信号(x):上两式称为容许性条件，R*代表非零实数全体。(x)被称为母小波

3、或小波母函数，有时也称为小波函数 。 dxxf2)(dCR*2)(0)(dR或对于任意的实数对(a，b)，其中，参数a必须为非零实数，称如下形式的函数为由小波母函数(x)生成的依赖于参数(a,b)的连续小波函数，简称为小波。其中，a称为伸缩尺度参数，b称为平移尺度参数。)(1)(,abxaXba几个比较典型的小波：几个比较典型的小波： Shannon小波 Gaussan小波 Morlet小波：Mexican帽子小波：以它为小波母函数，随a和b的不同取值而出现波形的变化和相应的平移情况见图15.1.1。tttt)sin()2sin()(22)(texg22)(ticxeex222)1 ()(te

4、txh图图15.1.1以以Mexican Mexican 帽型小波做为母小波的小波在选择不同帽型小波做为母小波的小波在选择不同的的a a与与b b的值的波形变化的值的波形变化小波变换及其性质小波变换及其性质对于任意函数或者信号f（x），其小波变换为： dxabxxfadxxxfbaWRRbaf)()(1)()(),(),(任意的函数f(x)小波变换是一个二元函数。对于任意参数对(a,b)，小波函数(a,b)(x)在x=b的附近存在明显的波动，远离x=b的地方将迅速地衰减到0，Wf(a,b)的本质就是原来的函数或者信号f(x)在x=b点附近按(a,b)(x)进行加权的平均，体现的是以(a,b)(

5、x)为标准快慢尺度的f(x)的变化情况，一般称参数a为尺度参数，而参数b为时间中心参数。小波变换的几个基本性质：小波变换的几个基本性质： Parseval 恒等式对空间L2(R)中的任意的函数f(x)和g(x)都成立。 小波变换在变换域保持信号的内积不变，小波反演公式 函数f（x）在点x=x0连续，则有如下定点反演公式小波变换作为信号变换和信号分析的工具在变换过程中是没有信息损失的。 2),(),()()(2adadbbaWbaWdxxgxfCgRRf2),()(),(1)(*adadbxbaWCxfbaRRf20),(0)(),(1)(adadbxbaWCxfbaRRf 吸收公式与吸收逆变换

6、公式当吸收条件成立时，可得到吸收Parseval恒等式和相应的吸收逆变换公式dd0202)()(20),(),()()(21adadbbaWbaWdxxgxfCgf20),()(),(2)(adadbxbaWCxfbaf离散小波变换离散小波变换 二进小波和二进小波变换二进小波和二进小波变换 如果小波函数(x)满足稳定性条件则(x)为二进小波，对于任意的整数k，记 为尺度参数a取二进离散数值ak=2-k时的特例 BAjj2)2()(2(2)(2),2(bxxkkbk对于函数f(x)，其二进离散小波变换记为Wkf（b），定义如下： 其小波变换的反演公式是其中，函数t(x)满足称为二进小波(x)的重

7、构小波。 dxxxfbWbWbRkfkfk)()(),2()(),2(dbxtbWxfbkRkfkk)()(2)(),2( 1)2()2(kkkT正交小波和小波级数正交小波和小波级数 如果下面一个函数族构成空间L2(R)的标准正交基即满足下述条件的基，则称(x)是正交小波 对任何函数或信号f(x)，有如下的小波级数展开ZZjkjxxkkjk),( : )2(2)(2,)()()()(),(,njlkdxxxnlRjknljk0001)(mmmkjjkjkxAxf)()(,dxxxffAjkRjkjk)()(),(,称为小波系数。小波系数Ak,j正好是信号f(x)的连续小波变换Wf（a，b）在尺

8、度系数a的二进离散点ak=2-k和时间中心参数b的二进整倍数的离散点bj=2-kj所构成的点（2-k，2-kj）上的取值，因此，小波系数Ak,j实际上是信号f（x）的离散小波变换。也就是说，在对小波添加一定的限制之下，连续小波变换和离散小波变换在形式上简单明了地统一起来了，而且连续小波变换和离散小波变换都适合空间L2（R）上的全体信号。一个最简单的正交小波，即Haar小波，其定义为这时，函数族 构成函数空间L2(R)的标准正交基。 ) 1 , 00121201)(11xxxxhZZkjkxhxhjjkj),( : )2(2)(2,时频分析时频分析 设g(t)L2(R)，而且 ，当 时，则称g(

9、t)是一个窗函数，它的中心E(g)和半径(g)分别定义为而数值2(g)称为窗函数g(t)的宽度。一般地定义窗口Fourier变换为02gdtttg2)(dtttgggE222)(1)(_2222)()(1 (1)(dttgtEggdtbtgetfbCtif)()(),(则Cf(b,)给出时窗E(g)+b-(g)，E(g)+b+(g)和频窗E(G)+-(G)，E(G)+ +(G)中信号的局部信息，即信号在时频窗E(g)+b-(g)，E(g)+b+(g)E(G)+ -(G)，E(G)+(G)中的局部化信息。选定窗口函数g(t)之后，这个时频窗是一个边与坐标轴平行的形状与(b,)无关的矩形，具有固定

10、的面积4(g)(G)，这个矩形的中心坐标可用(b,)表示为(E(g)+b，E(G)+)。 小波变换的时小波变换的时-频窗频窗 连续小波的时频窗是面积为 的可变矩形：其面积只与小波母函数(t)有关而与参数(a,b)毫无关系，但是，小波变换的时频窗形状却随着参数a而变化。 小波变换的时小波变换的时-频特性频特性 利用小波变换的时频窗形式可知，对于较小较大的a，/ )(/ )(,/ )(/ )()()(),()(aaEaaEaaEbaaEb)()(4时间域的窗宽a()、时窗b-a()，b+a()随着a一起发生相应变化,主频(中心频率)E()/a变高，主要检测信号中的高频成分，只能利用该点附近很小范围

11、内的时间数据，这必然要求在该点的时间窗比较小；反之检测到的是信号中的低频成分，为了完整地检测出低频成分(比如至少包含一个完整的周期)，必须要利用该点 附近较大范围内的观测数据，所以要求时间窗比较大，小波变换正好具备这样的自适应性；这是小波变换独特的时频分析特点，它在时变频率和瞬时频率分析及描述上有重要作用。 小波变换的局部化能力小波变换的局部化能力 从频率域的角度来看，小波变换已经没有 “频率点”的概念，却是本质意义上的“频带”的概念；从时间域来看，也不再是某个准确的“时间点 ”处的变化，而是在原信号在某个“时间段”内的变化。所以，从f(t)到Wf(a,b)上是把信号限制在时间段b -a()，

12、b+a()内和频带E()/a-()/a，E()/a+()/a内的局部化过程。因而在信号故障时间或者故障位置的诊断、信号奇性检测、图像边缘提取、图像数据压缩、信号滤波等方面都有应用。 15.2 15.2 两个应用研究实例两个应用研究实例南海地区降水的时空特征研究南海地区降水的时空特征研究兴安落叶松林的林窗分布规律研究兴安落叶松林的林窗分布规律研究 （具体参见书本）（具体参见书本）南海地区降水的时空特征研究南海地区降水的时空特征研究 气候变化具有多时间尺度和多空间尺度的特性，包含了多层次的突变。小波分析基于平移和伸缩的不变性，具有正则性、局部性和k阶消失矩等良好性质，它对于时频特征的描述，特别适合

13、于对信号进行多尺度分析、局部分析和奇异性分析，为研究气候变化的多层次结构和突变特征提供了新方法 。江静等（2000）用美国NCEP重分析资料中19791995年17年逐旬的全球降水资料，经双线性插值到22，选泽300E180，0400N的区域范围，运用小波分析方法研究了南海地区降水的多时间层次和多空间层次结构，分析了南海季风的爆发及时间演变规律。(1)(1)小波选择小波选择 选择Morlet小波，其母小波为其中c为常数（这里取c=5.4），函数f(x)的小波变换系数为 Morlet小波函数是一个周期函数经过Gaussian函数平滑而得到的，所以它的伸缩尺度与Fourier分析中的周期T有如下对

14、应关系：2/2)(xicxeexdxabxafTab)()(_2/1accT242信号f(x)在尺度a的全域能量密度为而信号f（x）在位置b的总能量密度以及尺度a1a2的能量密度为则可以观察f(x)的小波能量密度随频率的变化，还可以观察能量密度随时间或位置的变化，以及各频率段能量密度随时间或位置的变化。dCadbfTCaEab222| )(|2| )(|1)(adafTCbEab2| )(|1)(adafTCaabEaaab22121| )(|1),(2) 南海季风的空间尺度特征南海季风的空间尺度特征 为了揭示南海季风的空间尺度特征，作纬圈小波变化，取尺度因子其中，与小波变换的尺度a相对应的k

15、（相应的空间尺度）见表15.2.1。表表15.2.1小波变换的尺度小波变换的尺度k k对应的空间尺度和时间尺度对应的空间尺度和时间尺度224) 1(2 . 0/22ccPjkPakk12345空间尺度（经度） 64321684时间尺度(d) 360180904522.5通过小波变换研究，得出了南海季风的空间特征及变化特征（具体结果参见书本具体结果参见书本）。(3) (3) 南海季风的时间尺度特征南海季风的时间尺度特征 为了揭示南海季风的时间尺度特征，取a=(9/4)2k/P（其中k，P与前述相同），用Morlet小波作时间小波变换，则结果表明：南海中部和北部的降水具有非常强的年变化，是典型的夏

16、雨型。还可分析南海季风能量随频率的分布，南海中部和北部的年周期振荡几乎不随时间变化，而其它的周期振荡则有较大的变化。考察多年平均的降水率与各尺度小波变换系数之间的关系，发现年变化尺度的小波变换系数与雨季的变化非常吻合，但小波变换系数的变化略落后于降水率的变化。 (4) (4) 基本结论基本结论综合前面的分析，可以得出以下几点基本结论：南海季风爆发于5月中旬，季风爆发过程实际上是小范围（32个经度）降水向大范围（64个经度）降水调整的过程，一旦出现较强的大范围降水，并到达南海地区，就爆发了南海季风，调整完毕则是印度季风和东亚季风的相继爆发。在10N以北的地区，季风最早发生在南海，然后逐渐西移到印度，到达印度季风最盛期后，迅速东撤。 南海地区可分为3