《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二

1、高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题第一部分名校考研真题第6章线性空间一、选择题1 .下面哪一种变换是线性变换（）西北工业大学研A .y = £厂+ " B /（乙 >d* C dj【答案】C查看答案【解析】y=U + /,不一走是线性变换，比如V=I则 "几也不是线性变换,比如 给心八文而八也叫'C不是惟的.2 .在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）西北工业大学硏A 必相等 B可能相等亦可能不相等C.不相等【答案】B查看答案解析】比如在尺“中选三个向量组（1）：0（II）：G = （13 4（【II治= （Od 4若选（I） （II）

2、,秩丨"秩（U ）,从而否定A ,若选（II ） （III）,秩（In） = 秩（II ）,从而否定C,故选B.二填空题Vr= + In oc+di) I (tJ),c*d Rf则V对于通常的加法和数乘,在复数域C上是维的，而在实数域R上是.维的中国人民大学研【答案】2;4.查看答案【解析】在复数域上令=(L.0)5 = (0l>贝妝G线性无关的.则 CU r )<j -f- ( C-ACJi ).此即证卩可由Ql，Q线性表出./机V= 2.在实数域上,令卩 1 -(1.0). (ItO), = (OJ)心=(Ou)若M +诽+h曲+M=0 ,其中后g= 1.2.3,-1

3、),则(Arl + 总,虽 + AO = ( O O>；妇 k: = Xr3 =4 ToltE即Q JRI Bs 9R 上线'性关V尸5 I心讪)E 3 昭+够+PE孙舸由简/识4线性表出，所以在实数域R上有"Vr=仁三、分析计算题1设V是复数域上n维线性空间,V1和V2各为V的1维和2维子空间,试求X i:之维数的一切可能值.南京大学硏解：取V的一组基I心<M J再取V%的一组基 忆贝UVzl = L( 虫2 Gl ) > V2 = LCai 心 ).WI ÷ V2 = L(Gl ,fr 祸 <* ,0亡)(Jim(VI +匕)二秩6 如翎

4、 j2maj：r .ri )czZw(Vl +V2r +r22 设 U 是由 M3223) ( 1 4 3Z2) (23 1 29) >生成的尺的子空间 ZW是由(l3O2l) Jl5 663)(趴5.3*1)生成的k的子空间,求(1)U + W:(2 ) LW的维数与基底同济大学硏解:令flj = ( ,3-223>>z = (1 .4-34f2)fll = (Z.3>1.2.9).3.0.2.I>. = (1.5.-663)< ft = (2.53.2d ).可得U - L(O Iai j=L(Gl ,7). WIA ,及，0J = LC 晶).所以U

5、卜 W = I6 alt /?).由于© ,禺为，心0 他的一个极大线性无关组，因此又可得U+W = Ug 血 1)4且diirKU - W)-t故 p?咿为U + W的一组基(2) 令J4Idt十厂2+yB +必念=0因为秩'5 ,祸如二3 .所以齐次方程组的基础解系由一个向量组成：(0.2.-l.-Dxz0.(Ol .a,)()=2G-(28 &&" OlI再令辽丿，则UnW=UQ =如 ©f)w)= 1.故为w的一组基.3 .设A是数域K上的一个m × n,矩阵，B是一个m维非零列向量.令IF = I KT ,ff ft &

6、lt; K,使 Aa = IB .(1)证明：W关于Kn的运算构成Kn的一个子空间；(2 )设线性方程组AX二B的增广矩阵的秩为r .证明W的维数dimW二n-r+l :(3) 对于非齐次线性方程组2xl -X? + 34 =-I +十 3”？ 214x1 ÷ 32 ÷ + IXy * XA = 3.求W的一个基.华东师范大学研证明：(1)显然 W 0 ,又V af 6 W,kJ e K.因为存在t, t2使Aa二tB , A = t2B .所以A ( ka + !0) = kAa 4- IA=klB ÷ Ii2R=(A1 + Il2) ,即k + lW ,此说明

7、W是Kn的子空间.(2)对线性方程组(A, B ) Xnj = O,由题设，其解空间V的维数为(n + ：L) -r(AfB)=n-r+1任取aW,存在tK,使Aa = tB所以L ）是线性方程组（A, B）Xn÷ = 0的解.这样,存在W到V的映射y（ 一 ）显然，这是W形到V的一个双射.又水a, a2W r kK J 存在 t t2K f 使 Aa = tiB , Aa2 = t2B J 则（r（«i + «；）二 所以(al ÷ a2) = (l8=(ai) + c(2) f可见W与V同构，从而有dim W二dim V二nr + 1(3 )由(2

8、) W与如下齐次线性方程组解空间同构f2I - 2 + x3 + 34 - x5 =0, XX ÷ 22 + 33 - X4 + 2屯=O, 4Jtl + 3处 + 7,3 4 轧 + 35 = 0.该方程组的一个基础解系为：趴=(-L - I J.0,0>2 = ( - IJ .0 J.0)1 = (0-1.0.0.1)其在。之下原像«1 y "8 = (- IILftJ)a, = (Ol -IIoIQ)*即为W的一组基4 设ViiV2均为有限维线性空间V的子空间,im( K M)-E WCQ = If 则和空间匕十吟上U,中 介履介.匕 W与另一个重合.

9、上海交通大学研证明：因为 叫匕U附U rl ÷ .所以 (IimVI A V5 dimk1 dim( FI ÷ V3J .由题设 dim( VI ÷ ,) = CiimVa C 匕 + 1 .所以 Ciiml V, dimVl W dimK1 匕 + I.即 OW (Iiln匕-dimV. V3 I.当(ImrI - (IiInVI K = 0fl f 由匕 V. C I得叫匕=人此时叫 C v2=>rl V. = V2.当dim匕dim VI C Iq =】日寸(Iim K) = ClimI I V2 + 1 = dim( Vi + V2).因为叫U叫比，

10、所以叫=VI ÷ V2,此时心匕.叫C叫=叫.5 .设V是数域K上Fi维线性空间，VlVS是V的S个真子空间，证明：(1) 存在C V,使得 e vl uU比.(2) 存在V中一组基f 化，使,心丨 W U"UU1) =北京大学 研证明：(1)因VlVS是V的真子空间Z由上例，存在C e W =丨.2.a(2 )令/ = (fl>,同样有C U VAi = 1.2.$).且£, e叭显然IeI r6线性无关.令 叭rg6>,则存在S V( < - 12*)心S巧6 £ Wr ,且El ,E总戋性无关f如此继续下去,可得线性无关向量组C

11、(构成V的基)，且有£局 In(KUSU U V) = 06 .设V是走义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f, gV,aR, 分别用下歹I式子定义f + g与af :(r)() = /(«) "&(%),(妙)(体)=”(/(*) .Ve R.则V成为实数域上的一个线性空间.设 fo ( X ) = 1 , fl ( X ) = COSX, , f2 ( X )二 cos2x , f3 ( X ) = cos3x ,(1 )判断fo , fl , f2 , f3是否线性相关,写出理由；(2)用< f, g>表示fg生成的线性子空间，判断vfo,垃> + <f2, f3 >是否为 直和,写出理由.北京大学研5T Tr 4TT解：(1)令 kofo + k：LfaB ÷ k2f2 + k3f3 = 0 / 分别取 X = Of 4 2得k(I l ÷ 3. + f1 0 I阮十级密=0.Iia - fii = 0 ,ka - kl +- t3 = 0.解之得ko = k = k2 = k2 = 0 ,说明fo, f , f2, f3线性无关.(2)因为 vf,