圆锥曲线中的最值和范围问题方法

1、专题14圆锥曲线中的最值和范围问题壽考在考什么【考题回放】2 ,21. 已知双曲线务一三二1 («>0,/2>0)的右焦点为f,若过点f且倾斜角为60。的直a b线与双曲线的右支冇r只冇一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(c ) a.( 1,2)b. (1,2)c.2,+oo)d.(2,+oc)r2 v22. p是双曲线g-話=1的右支上一点，m、w分別是圆(x+5)2+)，2=4和(x5)2+)2=1上的点，则pm pn的最大值为(b )a. 63.a.4.b.7c.8d.9抛物线y=-x2.k的点到直线4x+3)£=0距离的最小值是(a) 4门 78一b

2、. -c.-355x2 y2已知双曲线飞一七=1,(°0,/?>0)的左、右焦点分别为f1、尸2，点p在双 a bd. 3曲线的右支上，且|pfi|=4|pf2|,则此双曲线的离心率0的最大值为:(b)45,7(a)y(b)-(c)2(d)y5.已知抛物线)?=4x,过点p(4,0)的直线与抛物线相交于afxbfx)两点，则 yi2+y22的最小值是32:（c）26.设椭圆方程为x2 +- = 1 ,过点m (0, 1)的直线/交椭圆于点a、b, o是4 1 >1 1坐标原点，点p满足op =-(oa+ ob)f点n的坐标为,当/绕点m旋转时, 求(1)动点p的轨迹方程；

3、(2) np的最小值与最大值.【专家解答】(1)法1：直线/过点m(0, 1)设其斜率为匕则/的方程为y=kx+1. 记人(兀心)0(兀22)，y = kx + l< v2宀14山题设可得点爪b的处标j)、(x2j2)是方程组的解.将代入并化简得(4+呼+2心=0,2k所以8于是创（页+亦）=（2l,2l±a）=（二,亠）.2224 + k2 4 + k2设点p的坐标为（兀必则一 k«° + '消去参数r得4x2+y2-y=04?，= 7tf-当£不存在时，a、3屮点为坐标原点（0, 0）,也满足方程， 所以点p的轨迹方程为4x2+y2-y

4、=0解法二 设点p的坐标为（心），因人（兀）0（也2）在椭圆上，所以2 2xj2 += 1,兀；+= 1.一得兀；卅+ * （）彳y；） = o，所以（州一兀2）（兀| +兀2）+右（儿一力）（风+丁2）= °当x x2时，有x +勺+1（儿+2）=°4兀一兀2x + x? 将代入并整理得 沁+严干。 v_2l±a 2 'y-1 = y-y2x x - x2当兀1=兀2时，点4、b的坐标为（o, 2）、（0, -2）,这时点p的坐标为2（y-*）2（o, 0）也满足，所以点p的轨迹方程为-+ =1.16416z4， 1 -（2）由点p的轨迹方程知/s丄,即

5、-丄一5丄.所以16442 2一.112vp |2 = （x - -）2 + （y - -）2 = （x - -）2 + - - 4x2 = 3（兀 + 才 + 占2 2246121 >1故当x = -, |np|取得最小值，最小值为一；v2?44当x = -时，i丽i取得最大值，最大值为6 6壽考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力耍求高、区 分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。【热点透析】与圆锥曲线冇关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在

6、曲线内等）列出所讨论的 参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为白变 量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基木不等式。代数基木不等式的应用，往往需要创造条件，并进行 巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们 的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数。简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式來帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判別式ano。突破重难点x2 v2【范例

7、1】已知动点p与双曲线一-二=1的两个焦点戸、f2的距离之和为定值,2 3且coszfjp的最小值为一 £.（1 ）求动点p的轨迹方程；（2 ）若已知d（03）, m、n在动点p的轨迹上且dm =九dn ,求实数九的取值范 围.讲解（1）由题意c5.设ipf1i + ipf2i二2a （。石），由余弦定理，得cos zf pf22pflpf22a2-0pf.-pf.乂i pfx |-| pf2 < (hi 号心* = / ,当且仅当ipfi = i“2咐，ipfpf2取最大值,.,if , n i /±- 2d 10 1 人 2d2 101此吋coszfpf2取取小值

8、；1，令；1 =,a2a2922解得是9, vc = v5, :.b2=4,故所求p的轨迹方程为+ - = 1.94（2 ）设贝ij由 dm = adn ,可得（兀,）儿3）=九 卜3）,故 x=ay> y=3+x（z-3）.tm、n在动点p的轨迹上，(刀+ 3-3"4消去s可得(加+ 3 启2=_覆解得/二空三，46a又|程2,|u|52,解得-<2<5,6a5故实数九的取值范围是|,5.【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方 法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等.【文】已知点m(2, 0), n(2,0),动

9、点p满足条件| pm-pn |= 22 .记动点p的 轨迹为w.(i )求w的方程；(ii)若a, b是w上的不同两点，o是坐标原点，求刃丙的最小值.解：(i )依题意，点p的轨迹是以m,"为焦点的双曲线的右支，所求方程为：一一一二(x>0)2 2(ii )当直线ab的斜率不存在吋,设直线ab的方程为x=x0，此时 a do，jxf-2 ), b (兀0， jxf-2 ), oa ob =2当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为y=kx+b,2 2代入双曲线方程丄一 1=1屮，得：(1畑2 = 02 2依题意可知方程1。有两个不相等的正数根，设4仏”)/(畑兀)，贝ija

10、= 4/戸 一4(1 一/) (-h2-2)>0x, +x22kb-k2>0解得网>1,/r + 2>0乂oa ob =xix2+yiy2=xix2+ (kx】+b) (g+b)2k2+24= (1+q) xx2+kb (%i+x2)+b2=2+>2k2-lk2-l综上可知oa ob的最小值为22 2【范例2】给定点4(-2,2),已知b是椭圆二+丄=1上的动点，f是右焦点,2516ab +-bf取得最小值时，试求b点的坐标。33 5 11解析：因为椭圆的e = _,所以ab-bf = ab + -bff而-bf为动点b ee到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上

11、求一点使得它到人点和左准线的距离之=(|1e 3= e=> bn |=和最小，过点作/的垂线，垂点为n,过a作此准线的垂线，垂点为m,由椭圆定义 w-“ ._11i时于是其中,ab + -bf=ab + bn |>| an |> am 为定值5 r当fl仅当b点am与椭圆的定点时等点成立，此时b为(-一,2)所以,当|ab| + |bf|m得最小值时，b点朋标为(一半,2)【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和羌最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化 折为直，是一种简便而有效的好方法。【文】点a (3, 2)为定点，点f是抛物线严=4兀 的焦点，点p在抛物线)'=4x上移动

12、，若imi + ipfi 取得最小值，求点p的坐标。解：抛物线)®4x的准线方程为x=l,设p到准线的距离为d,则必l + ipfi=|b4|+d。f图3x=1要使pa + pf取得最小值，由图3可知过a点 的直线与准线垂直吋，imi + ipf瞰得最小值，把y=2 代入 y2=4x,得 p (1, 2)0【范例3】已知p点在圆x2+(y-2)2=l上移动,q 点在椭圆y+y2 =1上移动，试求ip0的最大值。解：故先让q点在椭鬪上固定，显然当pq通过鬪心o时|pqi最大，因此要求ih2i 的最大值，只要求|0q|的最大值.设q(x, y),贝ij|oq|2=/+©_4)2

13、因q在椭鬪上,则宀9( 1 -/)将代入得|oi2|2= 9(l-y2)+(y-4)2 =-8 y +丄 +27< 2丿/ -、2因为0在椭圆上移动，所以-l<_y<l,故当，=丄时，|0仪=3希此时巩3巧+ 1【点晴】1与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.两数法是我们探求解析儿何最值问题的首选方法，其屮所涉及到的函数最常见的 有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。【文】设p是椭圆* +)，=1(。>1)短轴的一个端点，q为椭圆上的一个动点, cl求的最人值。解：依题意可设p(0,l), q(x,y则|p2l=x2+(y-l)2，又因为q在椭闘

14、上，所以 xw(l 一于),|p0|2= /(1 -/)+/ - 2y+1 =( 1 - a2)y2 - 2y+1 +a2=(i-/)(y-y4p r-y+i+y.iia'、/a' i因为m<1/>1,若qm，则t|<h当)f7吋,0取最大值1 a13a 1若1sv迈，则当y=-1时,q取最大值2.【范例4】已知'ofq的面积为2a/6 , of fq = m(1) 设46<m< 46 ,求zofq正切值的収值范围；(2) 设以0为中心，f为焦点的双曲线经过点0(如图), of=c,m = (-l)c24当100 i取得授小值时，求此双曲线

15、的方程。 解析：(1)设zofq =0 of-fqcos-0) = m価 1 > ,/ n tan 0 =-of -fq sin0 = 216m、2t >/6 < m < 46-4 < tan < -1(2)设所求的双llll线方程为/ ?2 ,尹一活=1 (。> o,b > 0), 2(xj, x),则fq =(兀- c, yjs、ofq = i of | | x |= 2a/6 ,又 *.* of fq = m ,of fq = (c, 0) (兀一 c, ”)=(兀i 一 c) c =一 1 )c2.x| =乎c,.| oq = jxj+

16、y； = + * > v12.当且仅当*4时，|00|最小，此时q的坐标是(、厉，&)或(v6,->/6)=1a2 =4x2 v2:.a2 b2 =>l,所求方程为二一二=1./+宀 16宀 124 12【点晴】当题中的条件和结论体现岀一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数, 求其冃标函数的授值，求函数授值的常川方法冇：一元二次函数法、基本不等式法、判 别式法、定义法、函数单调性法等。【文】已知椭圆的一个焦点为戸(0,-20),对应的准线方程为y = -,且离 42 4心率e满足：一,匕一成等差数列。3 3(1)求椭圆方程；是否存在直线仙与郦校于不同的两点心，且线段

17、跆恰被直线“冷 平分，若存在，求出/的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。（1）解:依题意 e = , v -c = -2a/2 =3 c44：a = 3, c=2迈,b=l,q巧又r（0, -2近）,对应的准线方程为"- 椭圆中心在原点'所求方程为宀假设存在直线i,依题意/交椭圆所得弦被2 v平分直线/的斜率存在。设直线/： y=kx+m y = kx + mr ，2 消去 y,整理得(k2+9)?+2kmx+m29=0 x2+-= 19/与椭圆交于不同的两点m、n,疋+9m =2k:.a=-4(2+9)(w2-9)>0 即 m-l-9<q“zx.-km 1以

18、i)，n(32) 二 一丁亠=一- = _三 2 +92把代入式中得伙，+9)一伙2 + 9)v 04/r；r> v3 或 k< v3直线/倾斜角eze(-,-)u(-,)3 22 3令我提升2 21. 设ab是过椭圆 + l=l(dbo)中心的弦,椭圆的左焦点为f(c, 0),a b-则/xf/b的面积最人为(a )a. beb. abc. acd. b2x2 y22. 已知 a (3, 2)、b (-4, 0), p 是椭圆+ - = 1 上一点,则|b4| + ipbi的最 人值为(c )a. 10 b. 10-c. 10 + v5d. 10 + 2a/5x2 v23. 己知

19、双illi线 =1,过其右焦点f的直线/交双illi线于4b,若iab|=5,则 肓线/有（b ）a. 1条b. 2条c. 3条d. 4条4.已知点p是抛物线），=4x上一点，设p到此抛物线的准线的距离为厶至悄线 x+2y+10=0的距离为d2,则d、+d2的最小值为(c )(d)5设f是椭吟+才1的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点几（i=l, 2,3,），使|fpi|, |阳|，|码|，组成公差为的等差数列,则的取值范围为一加（。令a. 5b. 4c.6.抛物线y2=2t上到直线ry+3=0距离最如的点的坐标为x2 y27.如图，已知a、3是椭圆一+ = 1的两个顶点，169c、d是椭圆

20、上两点，门分别在ab两侧，贝ij四边形abcz） 而积的最大值是1 2a/28如图抛物线z的-段与椭圆手+牛1的-段围成封闭图形，点n （1, 0）在x轴上，乂 a、b两点分别在抛物线及椭圆上，11ab/x轴，求nab的周长/的取值范围。解：易知w为抛物线于=4兀的焦点，又为椭圆的右焦点, 抛物线的准线厶：=1,椭圆的右准线“：x=4, 过a作acl/i于c,过b作bdld于d， 则c、a、b、d在同一条与x轴平行的直线上。y2 = 4兀由x22,得抛物线与椭圆的交点m的横他标x =-143而bn=ebd=- bd,an = ac2nab 的周长 /=iani + iabi + inbi =

21、ibci + ibni1 1= bc + -bd = bc + bd-bd2 211= cdbd=5-bd222 15v4-2<| bd |<4一一，即 lv |bd|v 3 23</<4,即/的取值范围为（v, 4）3 39.求实数7的取值范围，使抛物线,y2=x ±存在两点关于直线y=/n（x-3）对称 解法1：设抛物线上两点4（兀1 ji）,b（x22）关于点线j=77?（x-3）对称，a, b中点m（x,y）9则当加=0时，有直线y=0,显然存在点关于它对称。=兀1 一 > >2 _1_11=<512 2 丿m-所以y二,所以m的坐标为一厂22 ,得v10 < m < v10 且加乂)，综上所述，me(-v10,vi0)丈二兀2兀1一七必+力 2)? m则有丄>2解法2：设两点为心,y】),b(兀2,力)，它们的中点为m(x, y),两个对称点连线的 方程为x=-my+bf与方程y2=x联立，得ymy-b=o(*)所以门+力=加，即y =，2(5乂因为中点m在直线)=加(十3)上，所以得m的他标为一,-一-(2 2 丿57772又因为中点m在直线x=-mv+h上，b =,2 2 对于(*),有a=w2+4/?= 10-/n2>0,所以jt5 <m< vfo。10.已知人(-2, 0),