定积分计算例题和一些关于物理的典型例题

1、学习必备欢迎下载一些高中物理试题20.如题 20 图所示，空气中在一折射率为2 的玻璃柱体， 其横截面是圆心角为 90°、半径为 R 的扇形 OAB ，一束平行光平行于横截面，以 45°入射角照射到 OA 上，OB不透光，若只考虑首次入射到圆弧AB 上的光，则 AB 上有光透出部分的弧长为A1RB1RC1 RD5R64312【答案】 B【解析】 光路图如图所示，由折射定律可求得设在C 点恰好发生全反射，由sin C1 可求得 C=45 0， AOC= 18001200450150 。弧 AB 上有光透n出的部分弧长CD 为 900300150R1R，正确的答案是 B3600

2、2421.如题 21 图所示，矩形 MNPQ 区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，有 5 个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁块，在纸面民内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧，这些粒子的质量，电荷量以及速度大小如下表所示粒子编号质量电荷量（ q>0）速度大小1m2qv22m2q2v33m-3q3v42m2q3v52m-qv由以上信息可知，从图中a、 b、 c 处进大的粒子对庆表中的编号分别为A 3、5、4B4、 2、 5C5、 3、2D2、 4、 5学习必备欢迎下载（ 1）某同学用打点计时器测量做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率出的点中，选出零点，每隔4 个点取 1 个

3、计数点，因保存不当，纸带被污染，如是f=50Hz22在线带上打图1所示，A、 B、 C、D是依次排列的4 个计数点，仅能读出其中3 个计数点到零点的距离：SA =16.6mmSB =126.5mmSD =624.5mm若无法再做实验，可由以上信息推知：相信两计数点的时间间隔为_S 打 C 点时物体的速度大小为_m/s( 取 2 位有效数字 )物体的加速度大小为_( 用 SA 、 SB 、 SC 、 SD 和 f 表示 )( s3s2s ) f 2【答案】 0.1s2.5m/sDBA75【解析】 T=0.02 × 5=0.1s vcSDSB (624.5126.5) 10 3m / s

4、2.5m / s2T20.1匀加速运动的位移特征是相邻的相等时间间隔内的位移以aT2 均匀增大，有BC AB aT 2 ，CD BCaT 2AB2aT 2 ， BD 2AB3aT 2 ，所以(ss ) 2 ( ss)(s3s2s ) f 2aDBBADBA3T275学习必备欢迎下载5.（ 19 分）某兴趣小组用如题 25所示的装置进行实验研究。他们在水平桌面上固定一内径为d 的圆柱形玻璃杯，杯口上放置一直径为22m 的小物体。d,质量为 m 的匀质薄原板，板上放一质量为3板中心、物块均在杯的轴线上，物块与板间动摩擦因数为，不计板与杯口之间的摩擦力，重力加速度为g，不考虑板翻转。（ 1）对板施加

5、指向圆心的水平外力F ，设物块与板间最大静摩擦力为fmax ，若物块能在板上滑动，求F 应满足的条件。（ 2）如果对板施加的指向圆心的水平外力是作用时间极短的较大冲击力，冲量为 I ， I 应满足什么条件才能使物块从板上掉下？物块从开始运动到掉下时的位移 s 为多少？根据 s 与 I 的关系式说明要使s 更小，冲量应如何改变。【答案】（ 1）（ 2）（ 3）【解析】（ 1）设圆板与物块相对静止时，它们之间的静摩擦力为由牛顿运动定律，有对物块f 2ma对圆板.f，共同加速度为F f maa3两物相对静止，有ffmax得Ffmax2相对滑动条件F3f max2（ 2）设冲击刚结束时圆板获得的速度大

6、小为v0，物块掉下时，圆板和物块速度大小分别为v1和 v2。由动量定理，有Im v0由动能定理，由学习必备欢迎下载关于数学定积分的应用试题（一）、单项选择题1函数 fx在区间 a， b上连续是 fx 在a， b上可积的（）。A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件2下列等式不正确的是（）。dbf x dxf xdb xf x dtf b x b xA aB.adxdxC.dxx dxfxdxt dtF xafD.Fdxdxax3 lim0sin tdt的值等于 ().xx 0tdt0A.-1B.0C.1D.24设 f (x)x32f ( x)dx 的值等于（x ，则）。

7、22f ( x) dx2A 0B.8C.D.2 f (x)dx005设广义积分xdx 收敛，则必定有（）。1A.1B.1C.1D.16求由 yex , x2, y1 围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量， 则积分区间为 （）。A. 0， e 2 B. 0，2C. 1，2D. 0， 17由曲线 yex , x0, y2 所围成的曲边梯形的面积为（）。2e2ln 22ex dxA.ln ydyB.0e x dyC. ln ydyD.21118由直线 yx, yx1 ，及轴围成平面图形的面积为（）。1111A.B.2C. 21yy dyx1 x dx1 yy dyD. xx1 dx00009由

8、ylnx,ylog1,围成曲边梯形，用微法求解时，若选为积分变量，面积微元为x x ee（）。A.ln xlog 1x dxB.ln xlog 1 x dyC.ln xlog 1 x dx D.ln xlog 1 x dyeeee10由 yx 2 , x1, x1, y0 围成平面图形的面积为（）。A.1B.11y dyD. 21x 2 dxx 2 dxC.ydy1000学习必备欢迎下载11由 yx 2 , y1围成的平面图形绕轴旋转形成旋转的体积为（）。11112dyC.1D.12A.ydyB.xydyy dy20200012由 yx , x1, y0 围成的平面图形绕轴旋转形成旋转的体积为

9、（）。1B.1C.1D.1A.ydyx2 dxy 2dyxdx000013由 yx 2 , yx 围成的平面图形绕轴旋转形成旋转的体积为（）。1x21x2x4C.12 dxD.1x 4A.x dxB.dxx xxdx000014将边长为 1 米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2 米，则该正方形薄片所受液压力为。32C.1D.3A. xdxB.x2dxx dxx1 dx2102（二）、判断题1 b0f ( x)dx '（）a2定积分的值只与被积函数有关，与积分变量无关。（）bbf (x)dxb3 f ( x) g( x) dxag(x)dx 。（）aa4 y1e

10、x , x1, y1ex ) dx 。（0 所围城的图形面积为(1）0125e 4 dx。（）136曲线 ysin x 在 0， 2上与轴围成平面图形的面积为2sin xdx（）07用微元法求量Q 时， Q 的微元 dQfx dx 中 dx ，是微符号，无任何实际意义。（）（三）、填空题1.曲线 yx 2 , x0, y 1 ，所围成的图形的面积可用定积分表示为。xsin t 2 dt ，则2已知xx。0x 23 lim0arcsin 2t。3x0x1sin x。4dx1 x21554 1sin2 x dx 的值的范围。4学习必备欢迎下载6dx。2 x 1 37 由yln x, x1 及 y1

11、围成平面图形的面积，若选为积分变量，利用定积分应表达为。8 由 ycos x 及 x 轴围成的介于0与 2 之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为。9 由 yx 3 及 y2 x 围 成 平 面 图形 的 面 积 ， 若 选 为 积 分 变量 ， 利 用 定 积分 应 表 达为；若选为积分变量，利用定积分应表达为。10求由曲线 y 2x 与直线 y x2所围成平面图形的面积时，选为积分变量，计算比较简单。11由 yfxfx0 , xa, xb ab 及轴围成的曲边梯形，绕轴旋转形成旋转体的体积为。12有一立体，对应变量的变化区间为-10， 10，过任意点-10， 10作垂直于轴的平面截立体，

12、其截面面积S x3102x2 ，于是该立体的体积 V。413由 yx , y1及轴围成的平面图形绕轴旋转形成的旋转体的体积为。14由曲线 yxex2，直线 x 1及轴围成的平面图形的面积为。15一物体做变速运动，速度v1t 米 /秒，则物体运动开始后8 秒内所经过的路程为。（四）、计算下列定积分13adxa02.22x 2 dx3. sin kx sin lxdxdx kl0a 2x 203dxeedx45.sinln x dx6.x2 1 x 2111 x 1 ln x 27求下列各曲线围成平面图形的面积1 yx 2 , y2x2 y6x2 , yx3 y 24 x 1 , y 24 x 1

13、2y28, y124 x2x（两部分均求）5 y 22x6, yx16 yx 28,2xy80, y47 y 3x2 , y2x 2 (较小部分）8求位于 ye x 下方，该曲线过原点的切线左方以及轴上方之间的图形的面积。学习必备欢迎下载9求 C 的值（ 0 C 1，使两曲线 yx 2 与 yCx 3 所围成图形的面积为2310求下列各曲线所围成平面图形绕指定轴旋转形成旋转体的体积。1 xya a0 , xa, x2a, y0 x轴2 y 2x, yx2 y轴3 y 2x, x2 x轴4 x5 2y216 y轴5 y1 , yx, x2 x轴x11有一立体以抛物线y22x 与直线 x2 所围成

14、的图形为底， 而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。12按万有引力定律，两质点间的吸引力Fk m1m2，为常数，m1 ,m2 为两质点的质量，r 2为两点间距离， 若两质点起始距离为，质点 m 沿直线移动至离m 的距离为处， 试求所12作之功（ a）13半径等于米的半球形水池，其中充满了水，把池内的水全部吸尽，需作多少功？14一梯形闸门，铅直地立于水中，上底与水面相齐，已知上底为2米，下底为2米，高为，此闸门所受到的水压力（）。（五）、证明题x21 已 知 函 数 f x 在 区 间 ， 上 连 续 ， 设xx t ft dt, x a, b 证 明axxt f tdtx 2aall2 设 fx是以为周期的周期函数，证明afx dxf x dx （为任意实数）0【参考答案】（一）选择题1.B 2.A3.C4.A5.A6.B7.A8.C9.C10.A11.C12.D 13.B14.A（二）判断题1.对 2.错3.错4.错5.错6.对7.错（三）填空题1x2 )dx2. sin x 24,21(e y1)dy1. (13.4.05.6.27.0032cosx dx,或 4 2 cosxdx2(2x22y1y)dy10. y8.9. 2x 3 ) dx,2(30000211.f 2 ( x)dx12.1000313.14.1(11)15.52ba352e3（四）计算题1