控制工程基础第2章答案

1、控制工程基础第2章答案第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、 特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间 模型等。2.2什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是 它满足叠加原理。2.3图(题2.3)中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程,图中xi表示输入位移,Xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。/!<F>n.题图2.3解：图(a):由

2、牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得占+ Q +厨竺=卿空f旷dt dt将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得亦七品丄I：u C、于是传递函数为Xo(s)Cl一 mfS + <7 十田图(b):其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A，并设A点位移为x，方向朝下； 而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程c<Ki + 4 KiK2xo = K/c-didi对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为图(c):以 的引出点作为辅助点，根据力的平

3、衡原则，可列出如下原始方程:XVKl（Xi - A+）卜 cG儿 M）= K-XO移项整理得系统微分方程dxo .、 dxic +(K1 + R/xq = c卜 Kixi(ltdt对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即b(0)= xo(0) = 0则系统传递函数为+ A7人7 何懾 + (A7 4- K：)2.4试建立下图(题图2.4)所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点， 其中电压U,t)和位移X,t)为输入量；电压(t)和位移Xc(t)为输出量；k,kj和k?为弹簧弹性系数；f为阻尼系数。CRi0-Xr(t)Ur(t)R2(c)Uc(t)Xc(t)(b)题图2.4解

4、 : (a)方法一：设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组:Ur消去中间变量，整理得:方法二:Uc(s)U,S)RR CsUcCRidtUcRC叫dtRCsRCs 1UcRCdUdtRC叫dtRC叫dt(b)由于无质量，各受力点任何时刻均满足则有:f dXc k dTXcf dxr7 dt1(c)Uc(s)'、2 CSCsR2R2Cs 1Ri R2 Cs 1dUc(R1 R2)%UcR2Cdurdt Ur(d)设阻尼器输入位移为Xa，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程ki(Xr Xc)k2(Xc Xa)k2(Xr Xa)f些dt&k2 f dXck1k2dtXc

5、f dXr k2 dtXr结论：(a)、(b)互为相似系统，(c)、(d)互为相似系统。四个系统均为一阶系统2.5试求下图(题图2.5)所示各电路的传递函数(a)RiUr(t)RiCiR2Uc(t)iTcnHT3BrRlX17-tzfvc u(b)Uc(t)(d)-OO -(c)题图2.5【解】:可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数(a)Uc(s)Ur(s)(ROLs CsR1 (氏)Ls2LCR2S22(R R>)LCs (RRC L)s R1(b)Uc(s)R1C1s2R1R2C1C2s(RGR2C2)s 1(c)Ur(s)1%)R21C2s2R R2C1 C2s(RGR2C

6、2R1C2 )sUc(s)Ur(s)1/(R>Ls)Cs ' 1R(F2Ls)csR2 Ls2RLCs (R1R2C L)s R R2(d3Ur(S)(R )/RC2SCisR11(R )/ R(R )/RR C1SC2SC1SC2SC1S2 2R C1C2S 2RC1S 122R C1C2S (2RC1 RC2)s 12.6求图（题图2.6）所示两系统的微分方程。> 咼 代 At)/WV/Vmh题图2.6解（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有心-kv(t) - mi(i)（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有M-fi v（r） = nrif其中kiktIfmES2.7求

7、图（题图2.7）所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J 转动惯量。圆周半径为R，设系统输入为M （即M（t），输出为勺（即9（°）,题图2.7解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下:IM =./ 7/ + a叩 + Rli(R9 - X) I= mx+ gy消除中间变量x，即可得到系统动力学方程mj輕)+ 伽£用 + (R'km 十 Cm + */)#+"%? +承 + cM 丨划(2.8求图(题图2.8)所示系统的传递函数(f(t)为输入，y2(t)为输出) 解分别对】，进行受力分析，列写其动力学方程有I 5&

8、;2一力)-上旳=皿1丹对上两式分别进行拉氏变换有F-czsY2(s) s必0) - 丫1(刀=mzs2Yz(s)(:再“2-珀-弘二肌详的消除 ：得F2(s)mts2 A-cxs + kG (賢)=F(巧 rrijms4 + 皿±5 4- m (c； + “)2 + (阳* 十 GsW + (ci + c2)s2.9若系统传递函数方框图如图(题图2.9)所示,求：(1) 以R(s)为输入，当N(s) = 0时，分别以C(s)，丫(s)， B(s), E(s)为输出的闭环传递 函数。 以N(s)为输入，当R(s) = 0时，分别以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s)为输出的闭环传递

9、函比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论题图2.8题图2.9解（1）以、为输入，当N“）=0时：若以C（，J为输出,（S）-矶* = I + 6佔）血（&泗若以丫为输出，有r（s）G（s）若以B（、）为输出,有若以 E（Q为输出，有 :?:吓.丽.可丁丰尺（2）以、为输入，当R（、）=0时:若以C（'J为输出，有Gc (v)C(r二丽=皿）若以丫（"为输出,y(s) - Gi(s)G2Cj)W(s)二- I + g欣M若以BG）为输出,肌）/j（s）G2（j）n（o若以EC）为输出,E（s）- Gi（s）/r（s）G+W 二盹丁二I +心心）島矶町（3）从上可

10、知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不 变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关2.10求出图(题图2 .10)所示系统的传递函数X°(S)/Xj(S)题图2.10H4G4Xo(s)解方法一：利用公式（231）,可得GIC2G3G4gu(s)=xi)-l - G1G2GG*旳 + GG2GH2 G2G"iH 1 + G3G4H4方法二：利用方框图简化规则，有图（题）厂3)Gu(s)=阴:1 - GiG2G3GH3 + G1G2G3H2 - G2G3H1 + &

11、amp;3G4/Y42.11求出图（题图2 .11）所示系统的传递函数X°（S）/Xj（S）解根据方框图简化的规则，有图（题 ）A0(s)丽题图2.11Xi(s)2.12图（题图2 .12）所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。g代表汽车质量，B代表振动阻尼器，心为弹簧，m2为轮子的质量，K2为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。题图2.12问题2质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑的简化模型。代表汽车质量，B代表振动阻尼器,系统为弹移系簧,m2为轮子的质量,为轮胎的弹性，建立质点平统数学模型解答：d2x1 fdxr dxAmidF = 耳股K1E 尤 2)dX2dx2 dxy阳丽三旳)

12、.“Gr W丿 Kl (竝-翻冲拉氏变换:missis') =- BsXi(s) -Xa(s)J - KiXi(s) - X2(s)mzs2X2(s) = F(s) - BsX2(s) - Xa(s) - KiXz(s) -Xi(s) - K2Xj(s)(mis2 + Bs + Ki) Xi(5)- (Bs 十 /<i)Xa(5)= 0 -(Fs + Ki)Xi(s) + mzs2 + Fs+(Ki + Kz)X2(s) = F严_+ KiF miniz4 /?(mi + m2) + (/Cimi + Km2 K2mi)v2 + K2K5 + K1K2阻mis2 + Ss + K

13、i/nim曲 * R(mi 匸皿耳戸 + (Kum + Kim? + K効i)H + K沾占 + K1K22.13液压阻尼器原理如图（题图2.13）所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设Xi为输入位移，X。为输出位移，k弹簧刚度，c为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数。题图2.13解:经拉氏变换后有解得传递函数为kx。(t)dcXi(t)dtXo(t)kXo(s)csXi(s)Xo(s)G(s)Xo(s)TsXi(s)Ts 1式中，T RC为时间常数2.14由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图（题图2.14）所示，试求闭环传递函数Uc（S）/U,S）C1题图2.14

14、解：="=-一=U.（s） + U/s） 肘 衬 仏 V j式（1）（2）（ 3）左右两边分别相乘得叫|師=_冊码即切+ SG） 对S3对= 1 + = 久Z声厨2仏Z互旳所以：w=石硕；一1R 1Ts + 1C2sRz1R(i + =77；R07+ lC2s L2.15某位置随动系统原理方块图如图(题图2.15)所示。已知电位 器最大 工作角 度max 330°，功率放大级放大系数为K3，要求：(1) 分别求出电位器传递系数K°、第一级和第二级放大器的比例系数心和K2 ；(2) 画出系统结构图；(3) 简化结构图，求系统传递函数o(s)/ i(s)；题图2.15

15、位置随动系统原理图解：(1) 心=篇心= =3 «2 =窘=2(2) 2 “ 亠=:：；几 r匸=y/= RJQ + Lnsfa(s) + Eb(s)Mm = CmZo(s)用叫+ 他二Mm (s) M 心矗)=航系统结构图如下:(3) 系统传递函数弘佝弘)=KqK、K?K、1 + s(Lj+RJ(/s + nsLas + Ra)(Js + /) + CniKbd丄K声心心|月(辭 + n)Us + D1 * s(Las + Ra)(Js + f) + CkJ1 +佔心兀+RQs+门Cmb=siL.s + Rj(js m + CmKb VHKxK2Kn2.16设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图(题图2.16)所示，要求：(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；画出系统结构图(设可控电路传递函数为心/( 3S 1)；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为K4和K5)；题图2.16直流电动机调速系统原理图解：(1)速调1Di uL Urr(s) ZiCi? RCis 1 Tis + 17?cTs= R = Tt 匚/?Cis流调U/.r(s)Z21肥+血R2C2S +1T2S + 1Usr(s