数列专题四第一讲

1、数列、推理与证明第一讲等差数列与等比数列考点整合、Si,n= 1,1. an与 Sn 的关系：Sn= ai+ a2+ + an, an =Sn 一 Sn - i, n2.2 .等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an- an-1 =常数(n>2)旦=常数(n> 2)an 1通项公式an= a1 + (n 1)dan= a1qn 1(q 丰 0)判定方法(1)定义法中项公式法：2an + 1 = an + an +2(n> 1)? an为等差数列(3)通项公式法：an = pn+ q(p、q为常 数)? an为等差数列前n项和公式法：S = An2+ Bn (A、B为常数)?

2、 an为等差数列(5) an为等比数列，an>0? log aan为等差数列(1) 定义法(2) 中项公式法：a2+1 = an an+ 2(n1)(anM0)? an为等比数列(3) 通项公式法：an= c qn(c、q均是不为0 的常数，n N*)? an为等比数列(4)an为等差数列？ aan为等比数列 (a>0 且 a m 1)性质(1) 若 m、n、p、q N*，且 m+ n= p + q,贝V am + an = ap+ aq(2) an = am+ (n m)dSm , S2m Sm, S3m S2m ,仍成等 差数列(1) 若 m、n、p、q N*，且 m+ n =

3、 p + q, 贝V am an= ap aq(2) an= amqn m等比数列依次每n项和(SnM 0)仍成等比数列前n项和n a1+ ann n 1Sn=2= na1 +2 da1 1 qna1 anq(1) q"1, Sn=1 q = 1 q(2) q = 1, Sn= na11.等比数列x,3x+ 3,6x+ 6,的第四项等于A . - 24B . 0C. 12D. 242等差数列an中,a1 + a5= 10, a4= 7,则数列 an的公差为A . 1B . 2C. 33.下面是关于公差 d>0的等差数列an的四个命题：pi：数列an是递增数列；P2:数列nan是

4、递增数列；anP3：数列 n是递增数列；P4:数列an+ 3nd是递增数列.其中的真命题为()A .pi,P2B .P3,P4C.P2,P3D .pi ,P44 .已知 an是等差数列，ai= 1，公差d丰0, Si为其前n项和，若ai, a2, a5成等比数列， 则 S8=.15.在正项等比数列an中，a5 = 2, a6+ a7= 3.则满足ai + a2+ an>aia2an的最大正整数 n的值为.题型一等差(比)数列的基本运算【例1：已知等差数列an的前5项和为105，且ai0= 2a5.(1) 求数列 an的通项公式；(2) 对任意m N*，将数列an中不大于72m的项的个数记

5、为bm.求数列bm的前m项和5变式训练1在公差为d的等差数列a.中，已知ai= 10,且ai,2a2 + 2,5a3成等比数列.求d, an；(2)若 d<0，求 |ai|+ |a2|+ |a3| + + |an|.20项和为100,则a7 a14的最大值是(题型二等差(比)数列性质的应用【例2 (1)已知正数组成的等差数列an，前A . 25B . 50C.100在等差数列an中，a1= 2 013，其前D .不存在S12 S10n项和为Sn,右12102，贝U S 013的值为(A . 2 011B . 2 0122 010变式训练2(1)数列an是等差数列，若C .芽1，且它的前n

6、2 013项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于A . 11B . 17C. 19D. 21(2)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3an= 16,贝U log2a10等于(C. 6题型三 等差数列、等比数列的综合应用【例3 已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn= 3(an 1)，其中n N*.证明：数列an为等比数列；设数列 bn满足bn= lOg3an,若Cn= anbn,求数列 Cn的前n项和.变式训练3已知等差数列an的首项ai= 1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是 等比数列bn的第2项、第3项、第4项.(1) 求数列an、 bn的通项公式；

7、*f ， C1 C2Cn(2) 设数列 Cn对n N*，均有石+在+ bn= an+1成立，求C1+ C2+ C2 013.【典例】（12分）已知数列ai, a2,，a30，其中ai, a2,，aio是首项为1，公差为1的等差 数列；aio,aii,，a2o是公差为d的等差数列；a2o,a2i,，a3o是公差为d2的等差数列（d丰0）.（1）若 a2o= 40,求 d;（2）试写出a3o关于d的关系式，并求 a3o的取值范围；续写已知数列，使得a3o, a3i，a4o是公差为d3的等差数列，依次类推，把已 知数列推广为无穷数列提出同 （2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得 到

8、什么样的结论？1.2.3.4.5.6.1 .2.3.4.5.已知等比数列an的公比为正数，且 a3 a7= 4a4, a2= 2，则ai等于（）厂吃A . 1B. .'2C. 2D"2-已知an为等差数列，ai+ a3+ a5= 105, a2+ a4+ a6= 99,以S表示数列an的前n项和,则使得Sn取得最大值的n是（）A . 21B . 20C . 19D .18首项为24的等差数列an从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是( )A.3 < d<3r8B.§<d<38C.§<dw 3D.|w d w 3已知等比数列

9、an是递增数列，Sn是an的前n项和.若 a1,a3是方程x2 5x+ 4 = 0 的两个根，则S6 =.设公比为 q（q>0）的等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3a2 + 2,S4= 3a4 + 2,贝Uq =如图，互不相同的点 A1, A2,，An,和B1,B2,，Bn分别在角 0的两条边上，所有 AnBn相互平 行，且所有梯形 An BnBn+ 1An+ 1的面积均相等.设 OAn = an, 若a1= 1, a2= 2,则数列an的通项公式是 .专题限时规范训练选择题等比数列an的前n项和为Sn,已知 S3= a2 + 10a1, a5= 9,a1等于等比数列an的前n项和

10、为CISn,若2S4= S5+ S6,则数列an的公比q的值为 （已知an为等差数列,a2 +D . 1 a8 = 3，则S9等于C. 6一个由实数组成的等比数列,它的前6项和是前C.1已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为3项和的9倍，则此数列的公比为1An和Bn，且孑=70+ 45，则使得 /为整Bn n+ 3bn数的正整数n的个数是S6a6B.S7a7c.da9D芟a8( )中最大的项为a15( )Sn为an的前n项和,6. 已知an为等差数列，其公差为一2，且a7是a3与a9的等比中项,n N*，贝V Bo的值为B. - 90A . - 110C. 90D . 11017. 已知数

11、列an满足 1 + log3an = log 3an +1(n N +)，且 a2+ a4 + a6= 9,贝U log3(a5+ a7+ a9)的值是1 1A. 5B . 5C . 5D . 58 .设等差数列 an的前n项和为Sn,且满足S15>0, S16<0,则SS，,二、填空题2 19.若数列an的前n项和Sn= 3an + 3,则an的通项公式是an=10 .等差数列an的前n项和为Sn,已知S10 = 0, $5= 25，贝U nSn的最小值为 .11 .设等差数列an的前n项和为Sn,若a1= 11, a4+ a6= 6,则当Sn取最小值时，n =12 .在数列an中，如果对任意 n N*都有 竺二 = k(k为常数)，则称数列an为等差比 an+ 1 an数列，k称为公差比.现给出下列问题： 等差比数列的公差比一定不为零； 等差数列一定是等差比数列； 若an= 3n+ 2,则数列an是等差比数列； 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确命题的序号为 .三、解答题13 .已知等差数列an的公差d= 1,前n项和为Sn.(1) 若1 , a1 , a3成等比数列，求 a1；(2) 若S5>