《高等数学一》期末复习题及答案-26011462418282891

1、?高等数学一?期末复习题、选择题1、 极限lim '.x x x的结果是xc1A 0 B C22、方程x3 3x 10在区间0,1内A无实根B有唯一实根3、 f x是连续函数，贝Uf xdx是A 个原函数；B个导函数；4、由曲线y sin x 0 x 和直线yC )D不存在(B )C有两个实根D有三个实根f (x)的(C)C全体原函数；D 全体导函数;0所围的面积是 C (A) 1/2(B)1(C) 2(D)5、微分方程yx2满足初始条件y|x 02的特解是(D)(A) x3(B) 1 x3(C)x32(D) 1x32331(A) In x(x 1)(B) In (x 0 ) (C)x

2、7、极限xsin1 1sinx)的结果是(Cx xcosx (x)0) (D) r 2)6、以下变量中，是无穷小量的为 A A 0 B 1 C1 D不存在 8、函数y ex arctan x在区间 1,1上 A A单调增加B单调减小C无最大值D无最小值x9、不定积分 dx= D x 1(A) arctanx2 C2(B) ln( x1)C (C) 1 arctan x C21 2(D) ;ln(x 1) C210、由曲线yex (0x 1和直线y0所围的面积是A)(A) e 1(B)1(C)2(D)e11、微分方程巴dxxy的通解为(B)(A)y Ce2x( B)ylx2Ce2(C)yCxe(

3、 D) y2Cex12、以下函数中哪一个是微分方程y 3x20的解(D )(A)yx2(B)yx3( C)y3x2(D) y X313、函数y sinx cos X 1是(C)(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)既是奇函数又是偶函数14、当X0时，以下是无穷小量的是(B)(A)X 1 e(B) ln(x 1)(C)si n(x 1)(D)- X 115、当X时,以下函数中有极限的是(A )(A)X 1(B)cosx(C)丄(D)Xearcta nxX2116、方程3x px10( p 0)的实根个数是(B )一个(C)二个三个(D)(A)零个(B)1(2)dx1 x(A)&q

4、uot;b18、定积分 f (x)dx是a17、(B)(C)arcta nx(D)arctanx c(A) 个函数族(B) f(X)的的一个原函数(C) 一个常数(D)一个非负常数19、函数y InX . X21 是(A(D)既是奇函数又是偶函数0,1内可导，且f X 0 ,那么(B )f 10(D) f 1 f 0C)仅有铅直渐近线仅有水平渐近线非奇非偶函数20、设函数fX在区间0,1上连续，在开区间(A) f 00(B) f 1f 0(C)21、设曲线y2X21 e-那么以下选项成立的是(A)奇函数(B)偶函数(C)(A)没有渐近线(B)(C)既有水平渐近线又有铅直渐近线(D)22、(co

5、sx sin x) dx ( d )(A) sinx cosx C(B) sinx cosx C(C) sinx cosx C(d sin x cosx C23、数列-一匸-的极限为(n(A)1(B)1(C) 024、以下命题中正确的选项是(B )(A)有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量(C)两无穷大量的和仍为无穷大量(D)不存在(B)有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量(D)两无穷大量的差为零25、假设f (X) g (x)，那么以下式子一定成立的有( C )(A) f(x) g(x)(B)df(x) dg(x)(C) ( df(x) ( dg(x)(D)26、以下曲线有斜渐近线的是(C )(

6、A) yx sin x(B)(C) y.1 x sinx(D)f(x) g(x)12y xsin x2.1y xsinxmoH Xcosx 2 x2、假设 f(x) e 2，那么 f'(0) _2133、(X cosx 5x 1)dx 24、et dx etx C5、微分方程y y 0满足初始条件y|xo 2的特解为y 2exm2nx2X2Xm2H X限极8、设y xsin x1,那么 f ()12 9、10、11、12、13、14、15、16、17、1819、20、21、11 (x cos x 1)dx 2dx3arcta n x C1 x2微分方程ydy xdx的通解为y2 x2

7、C5x4dxs XXmH X2 2设 y cosx ，贝y dy 2xsinx dx设 y xcosx 3,那么 f ()-1不定积分x x e de1 2x eC2微分方程yx e的通解为y12x_eC22 2xy y edyxy e122xdy edxdxy dyx 1 e dx11 2x eCyy2x 0,y2代入上式可得到C0所求的特解为1e2x或者y2e2xy2微分方程In yx的通解是y ex C，门2、3x6ym(1) =e 设函数 y xx,那么 y xx(lnx 1)斗的值是nlim (2n n22、lim x(x 1)(x 2)x23、24、limx 02x3x32数 yx

8、x,那么dyxx( lnx 1)dx2x23x11425、假设 f(x)e2xsin 6，那么 f'(0)26、(1sin5 x)dxa为任意实数.27、In (ex1，那么微分dy(cos x3x2)dx1 x三、解答题1、此题总分值9分求函数y .6、,厂x的定义域。解：由题意可得,x 1解得x 1x 2所以函数的定义域为1，22、此题总分值10分设fx xx 1x2)L (x 2021)，求 f (0)。XmoH X4 o2 X /(.L/22021!3、此题总分值10分设曲线方程为y x33 程。解：方程两端对x求导，得y x2 x 6将x 0代入上式，得y叩61 2X2 6x

9、 1,求曲线在点0,1处的切线方从而可得：切线方程为y 16(x 0)即 y 6x 14、此题总分值10分求由直线 y x及抛物线y x2所围成的平面区域的面积。解：作平面区域，如图示y x一解方程组2得交点坐标：0，0， 1,1y x所求阴影局部的面积为:S1 ,2(x x)dx =23xx=1023o 65、此题总分值10分讨论函数f(x)x2 x 1在x 1处的连续性。3xx 1解： Q lim f(x) lim x 23 f (1)x 1x 1lim f (x) lim 3x 3 f (1)f x在x 1处是连续的dy 2x 36、此题总分值10分求微分方程dx的特解。ylx 13解：

10、将原方程化为dy 2x3)dx两边求不定积分，得dy2x 3dx，于是y x3x C将y |x 1 3代入上式，有3 13 C，所以C1，故原方程的特解为 y x3x1。7、此题总分值9分求函数 y2、x 4cos , 5 x的定义域。x 40解：由题意可得，5x0解得所以函数的定义域为4 , 58、(此题总分值 10 分)设 f(x) x(x 1)(x2)L (x n) (n 2)，求 f (0)。mmHxlilx9、(此题总分值10分)设平面曲线方程为2xy 3y23，求曲线在点(2，1)处的切线方程。解：方程两端对 x求导，得2x 2( yxy6yy 0将点(2，1 )代入上式，得y (

11、2,1)从而可得：切线方程为y1 (x2)10、(此题总分值10分)求由曲线yex及直线y 1和x1所围成的平面图形的面积(如F图).解：所求阴影局部的面积为1 XS 0(e 1)dx(ex)y1厂=3宜A10iyxx 011、(此题总分值10分)讨论函数f (x)ex 1在x 0处的连续性。x 0解：Q lim f (x)x 0lim exx 010f(0)lim f (x)x 0lim xx 00f (0)f (x)在x 0处是连续的。12、此题总分值10分求方程12 2y )dx (1 x )dy0 的通解。解：由方程(1y2 )dx (1 x2 )dy 0，得dy dx1 y21 x2

12、两边积分:dy1 y2dx1 x2得 arctan y arctan x C所以原方程的通解为:arctan yarctan x C 或 y tan(arctan x C)13、此题总分值10分证明方程x57x 4在区间1,2内至少有一个实根。解：令Fx x5 7x 4， F x在1,2上连续F1100，F 2 14 0由零点定理可得，在区间1,2内至少有一个 ，使得函数F 5 74 0，14、此题总分值10分设f (x)x(x1)(x2)L (x2021)，求 f (0)解：f (0) lim f(x)x 0xf(0)0lim( x1)(x2)L(x 2021)2021!15、此题总分值10

13、分求曲线eyxye在点(0, 1)处的法线方程。解：方程两端对 x求导,得eyy yxy0将点0，1代入上式，得y(0,1)1e从而可得：法线方程为y ex 15即方程x 7x 40在区间1,2内至少有一个实根。16、此题总分值10分求曲线ycosx与直线y2,x 及y轴所围成平面图形的面积。2解：作平面图形，如图示"2o2 (2 cosx)dx(2 x sinx)17、解:(2 - sin 孑 0此题总分值10 分)讨论函数f (x)cosx0 在x 0处的连续性。0Q limx 0f(x)lim cosx0f(0)limx 0f(x)lim( xx 01)f(0)二 f (x)在

14、 x 0处是连续的。18、此题总分值10分求微分方程dy dx y |x2xy的特解。解：将原方程化为巴 1dxx)(1y2)或dy(1x)dx两边求不定积分，得 arctan-x22由y |x 01得到C 4故原方程的特解为arctan ytan(xX2-)419、此题总分值20分曲线 a2y x2 0 a旋转一周得到一旋转体 问当a取何值时，Va1 将边长为1 ，记其体积为Va, Vb的值最小.的正方形分成 A、B两局部如下列图,其中A绕x轴 B绕y轴旋转一周得到另一旋转体记其体积为Vb.2高为笃的曲边梯形和 a以a,1为底、1为高的矩形两局部构成 .由切片法可得：ay dx0解：A由以0

15、, a,为底、Va21(1 a)4 3 x4dxa404(1 a) (1 a),51Vbox2dy2 1 a0yd y *a2 ，令 F(a)VaVb(14a) r2，a (0, 1)4令4由 F (a)a0，驻点为：a554就是Fa的最小值点.Fa驻点唯一，又根据问题的实际意义 F a的最小值存在或者収F a0, a 4为极小值点，亦最小值点,54可见：当a 4时，Va Vb到达最小.520、此题总分值20分假定足球门的宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才能获得最大的射门张角？假设求在距离底线2米处，射门张角球员以5.2米每秒的速

16、度沿垂直于底线的方向向球门前进, 的变化率。解：由题意可得张角与球员距底线的距离 X满足106arcta n arcta n xx106d2 x2 x610dxd 1001 21 362x2 36 x2100xx2 2(x36)( x100)令0 ,得到驻点xdxV6q不合题意，舍去及x V60.由实际意义可知，所求21、此题总分值10分设f xx|n(12lt (x0)，求 f (x)f (丄)才能获得最大的射门张角。假设球员以5.2米每秒的速度跑向球门，那么dx5.2 .在距离球dt门两米处射门张角的变化率为：d |d |dx240 16 (5.2)0.28 弧度/秒。dt lx 2dx

17、lx 2dtx 2(436)(4100)最值存在，驻点只一个，故所求结果就是最好的选择即该球员应在离底线、60米处射门解法1设f (x)1f(x) f()xx9dt117，n(1 t)dt，那么 F (1)0F (x)ln(1 x)xln(1x1F(x)x|n x dx1 x解法2Q f (!)x1xln(1 t)dt1 t令t=u丄) 丄du 1 ux|ndu1 uf (x)f(-)xx!n(dttIn td(ln t)l|n2t222、证明题(此题总分值 10分)设函数f (x)在0,3上连续,在0,3内可导,f(0)f (1) f (2)3， f (3)1。试证必存在一点0,3，使得f

18、0.证明：f (x)在0,3上连续，故在0,2上连续，且在0,2上有最大值M和最小值m，故 m f (0), f (1), f (2) Mf(0)f(1) f(2)3由介值定理得，至少存在一点0,2，使得f()f(0)f(1) f(2)13Q f ( )f(3)1，且f(x)在 ,3上连续，在 ,3内可导,由罗尔定理可知，必存在,3(0,3)，使得f 023、(此题总分值20分)一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台4000m处装有摄像机，摄像机对准火箭。用 h表示高度，假设在时刻t0 ，火箭高度h=3000m,运动速度等于300m/s, ( 1)用L表示火箭与摄像机的距离，求在t0时刻

19、L的增加速度.【解】(1)设时刻t高度为h(t)，火箭与摄像机的距离为L(t)，那么L(t) . h2(t) 40002两边关于t求导得dLdhdt . h240002 dt代入 h =3000m 竺=300m/s，得 叫 180 m/sdtdt(2)用 表示摄像机跟踪火箭的仰角(弧度)，求在t0时刻的增加速度(2)设时刻t摄像机跟踪火箭的仰角(弧度)为(t)，那么有 tanh4000两边关于t求导得sec2dt1 dh4000 dt当 h =3000m时，sec5，虫=300m/s，故 d 0.048 rad / s (或 d rad / s)4 dtdtdt 125?高等数学(一)?期末复

20、习题答案一、选择题1、C解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同 时除以x;第四步化简即可。阿严x)艸忙flimx2 2(x x x )(,x2 x x)limxx(,X2xx)1)2、B解答：设f (x)f (0)1,f(1)1，有零点定理得f (x)在区间(0,1)内存在实数根，又因f (x) 3x23 0 可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。3、C此题考察不定积分的概念，不定积分是所有原函数的全体。4、 C解答：利用定积分的几何意义，所求面积为o sin xdx 25、D解答：直接积分法C 代入点坐标可得6、A解答：因为limlnx 1ln1 0所以此

21、时是无穷小量。7、解答：l叫1xsin x1-sin x)x解答：因为yo，所以单调增加。解答：xxHE1)丄 ln(x21) C210、A解答：利用定积分的几何意义，所求面积为1exdx011、B解答：先别离变量,两端再积分虫 xy 1dy xdx dxy】dyyxdxln yC1!x2所求通解为y Ce212、D解答：直接积分法x3 C0时有y13、 C解答：y sinx cosx 1是奇函数加上偶函数，所以是非奇非偶函数。14、B解答：!m|n( x 1) ln1 0 所以此时是无穷小量。x 1x 1115、 A解答：lim 2 limlim0其它三项极限都不存在。x x1 x (x 1

22、)(x 1) x (x1)，16、B解答：设f (x)x3 px 1，那么f (0)1,f( 1) p0，有零点定理得f (x)在区间(1,0)内存在实数根又因f (x) 3x2 p 0可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。17、 B解答：求导与求积分是互逆的运算，先求导再求积分，是所有原函数所以选B18、C解答：考察定积分的概念，定积分计算完以后是一个确切的常数，可能是正数，也可能是0，还可能是负数。19、A 解答：由函数的奇函数和偶函数的定义去判断即可，设f(lnf (x) ln xx) ln x20、B解答:由于f21、C解答:x21lnx_1. x_1xln=.x2f(x)0所以fli

23、m丁 = 2 yx 1 e x是水平渐近线;lim -x 0 12 彳 2x 1 x ln 一x21是铅直渐近线。22、D考查定积分的性质与根本的积分表(cosxsin x) dxsin x cosx23、A解答：分子分母同时除以n可以得到lim -n(1)n24、B解答：考查无穷小量的重要性质之一，有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量，其它选项都不一定正确。25、C 解答：f (x) g (x) df (x) dg(x) ( df (x)( dg(x)，其它选项都有反例可以排除。26、C解答：有求解斜渐近线的方法可得.1x sinxxk lim= lim -xb lim( yx没有。kx)li

24、m(xxx X.1 sin xX)二、填空题1、解答：1 cosx - x或者用罗比达法那么也可以求解。2、_2_ 解答： f (x)e2x.1 sinx lim1 0x xlimsin 10,x x1 cosx lim2x 0 x2x 02x2，那么 f (x) 2e所求斜渐近线为ylim1 2x22x3、2解答：应用奇函数在关于原点对称区间上的积分为：(x3cosx15x 1)dx 1(0f (0)X。其它选项都4、etxC分析：被积函数5、y 2ex解答：y所求特解为y 2ex6、2.x 4 limx 2 x 32lim x 2 2 37、9、15x 1)dx= ,0+01)dx= Jd

25、x=2相对于积分变量来说是常数,y Cex，代入初始条件lim 00x 25所以etdxy|x0 2得到2Ce02x x lim 2 x 2 x2y x sin解：应用性质,11(x cosx 1)dx10、11、12、上Hm(x 2)(x1) lim 34x 2(x 2)(x 2) x 2(x 2)x 1 y sinx x cosx 贝U f ()2奇函数在对称区间上的积分为111dx2lim x22 2sin 233arctan x C解：由根本的积分公式ydx3arctan1 x2 2y x C解：对方程 ydy xdx两端积分ydy2解：利用偶函数的积分性质5x4dx105x4dxxd

26、x2x5cos2x2 C13、14、1 解:limxx sin 2xxlimxsin 2xXdi1odi1mH X22xsin x dx解：由微分的定义 dy ydx，先求出导数，再求微分cosx ysi nx 2x2x si nxdy2x sin x dx15、1 解: y x cosx 3 y cosx x sinxf ( ) cossin16、le2x C解：将ex看成一个整体，利用凑微元法得2x xe de1 2xe217、1y 1e2x C解：先别离变量，再积分得通解e2x dye 2xdye 2xdxdy2xdx2x18解：先整理,再别离变量求通解ln y x yy dyexdxy

27、19、6e 解：利用重要极限进行恒等变形，再求解lim(1x3xlim(1x2 (-)(-)2x6)20、xx( lnx 1)解：此题是幕指函数,利用对数求导法来求导数xxIn y x In x In xyy(1ln x)x “x (1ln x)21、12解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次幕都是2次幕,自变量趋于无穷大,极限等于最高次幕的系数之比lim( An n$ L-2)lim1 2 3 . nnn n(1lim2n nn)n22、解：分子分母最高次幕都是次幂，自变量趋于无穷大,极限等于最高次幕的系数之比limx(x31)(x2)1x2x3 x 3223、xx( lnx 1)dx解：

28、由微分的定义dyydx，先求出导数，再求微分，此题是幕指函数可以利用对数求导法来求导数yxxIn y x ln xy_yIn xx1 In x y y(1 In x) x (1 In x)dy xx(1 In x)dx、24X 43X2X2叫H X1 1 4o omoH X25、解:先求导数，再代入具体数值(x)2ef (0)2e026、解:利用奇函数与偶函数的积分性质a 2(1sin 5 x)dx21dx 227、xhx解：由微分的定义dy y dx，先求出导数,再求微分In (ex1)xexe 1dyxe dx ex 1解：利用奇函数与偶函数的积分性质(cos x222 cos xdx 2

29、.03x 2)dx x"2cos xdx2三、解答题1、此题总分值9分解：由题意可得,x 102x0n x解得所以函数的定义域为1，22、(此题总分值10分)解: f (0) lim妙x 0 x 0lim( x 1)(x2)L (x 2021)2021!3、此题总分值10分解：方程两端对x求导，得yx2 x 6将x0代入上式，得(0,1)从而可得：切线方程为y 16(x0)即 y 6x 14、此题总分值10分解：作平面区域，如图示y x解方程组2得交点坐标：0，0， 1，1y x所求阴影局部的面积为:5、此题总分值10分10(Xx2 )dx =解：Qf(1)f(1)解：由题意可得,x

30、 405x0lim f (x) lim x 23x 1x 1lim f (x) lim 3x 3x 1x 1 f x在x 1处是连续的。6、此题总分值10分解：将原方程化为dy 2x 3dx两边求不定积分，得dy 2x 3dx，于是y x2 3x C将y |x 13代入上式，有313 C，所以C 1,故原方程的特解为 y x2 3x 1 o7、此题总分值9分解得所以函数的定义域为4 , 58、(此题总分值10分)解：f(0) lim f(x) f(0)x 0 x 0lim( x 1)(x2)L (x n) n!9、(此题总分值10分)解：方程两端对 x求导，得2x 2( y xy ) 6yy

31、0将点(2，1 )代入上式，得y S)1从而可得：切线方程为y 1 (x 2)即x y 3 010、(此题总分值10分)01工1 X解：所求阴影局部的面积为So(ex 1)dx/ x 1(e x)0e211、(此题总分值10分)解：Q lim f (x)lim ex10 f (0)x 0x 0li叫 f (x)x 0lim xx 00f (0) f (x)在x 0处是连续的。12、(此题总分值10分)解:由方程(1 y2 )dx (1 x2 )dy 0，得dy dx1 p 1 _x1两边积分:dyrvdx1 x2得 arcta narcta n所以原方程的通解为:arctan yarctan

32、x C 或 y tan(arctan x C)13、此题总分值10分解:令 F(x) x5 7x 4， F(x)在 1,2 上连续F(1)100，F(2)140由零点定理可得，在区间1,2内至少有，使得函数F( )57414、解:即方程x5 7x 4此题总分值10分0在区间1,2内至少有一个实根。f (0) limx 0 x 0f(0)lim0 x1)(x 2)L (x2021)2021!(2sin 2)15、此题总分值10分解：方程两端对 x求导，得ey y y xy 0将点0, 1代入上式，得 y叮从而可得：法线方程为y ex 116、此题总分值10分解：作平面图形，如图示Sq2 (2 cosx)dx (2 x sin x) 2017、此题总分值10分f(0)解：Q lim f (x) lim cosx 1x 0x 0lim f (x) lim( x 1)1 f (0) f (x)在 x0处是连续的。18、(此题总分值10分)解：将原方程化为鱼dx(1x)(1y2)或 1dy2y(1 x)dx两边求不定积分，得 arctanlx22由y|x0 x2dy得到C -故原方程的特解为arctan ytan(x19、(此题总分值20分)2笃的曲边梯形和 a以a,1为底、1为高的矩形两局部构成 .由切片法可得：ay dx0解：A由以0, a,为底、高为Va12 (1a)3 x4 5d