武汉理工大学大学物理课件第六讲

1、第六讲第六讲定轴转动中的功和能定轴转动中的功和能 对定轴的角动量定理对定轴的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 外力矩做功外力矩做功一一.力矩的功力矩的功定轴转动的功和能定轴转动的功和能 0MdA讨论讨论：(1)恒力的功：恒力的功： MA (2)力矩的功率：力矩的功率：dtdAP MdtdM cosFvP 力的功率：力的功率：二二. 刚体的（转动）动能刚体的（转动）动能221 JEk三三. 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理设：刚体的转动惯量不变，且设：刚体的转动惯量不变，且t0时刻的角速度为时刻的角速度为0， t时刻的角速度为时刻的角速度为 ， 刚体角速度从刚体角速度从0增加到增加到

2、的整个的整个过程，合外力矩对刚体所作的功过程，合外力矩对刚体所作的功:2022121 JJA物理含义：物理含义：合外力矩对刚体所作的功，在数值合外力矩对刚体所作的功，在数值上等于刚体转动动能的增量。上等于刚体转动动能的增量。21222121 mmrdFA对比对比:质点动能定理：质点动能定理：四四. 刚体的重力势能刚体的重力势能cpmghE )(是质心距地面的高度是质心距地面的高度ch四四. 机械能守恒定律在刚体系统中的应用机械能守恒定律在刚体系统中的应用 一个包括有刚体在内的系统一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内力如果只有保守内力作功作功,则这个系统的机械能也同样守恒。则这个系统的机械能

3、也同样守恒。 刚体的机械能为刚体的机械能为 221 JmghEc 例例1 一质量为一质量为m、长为、长为l的均匀细直棒可绕其一端且的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴与棒垂直的水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成在竖直位置，求棒转到与水平面成 角时的角速度和角时的角速度和角加速度。角加速度。Chco2lmg231mlJ 由上得由上得)sin1(3lg 解解 棒在转动的过程中，只有保守力棒在转动的过程中，只有保守力(重力重力)作功，作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有零势面零势面2212

4、Jlmgsindtd讨论讨论： 本题也可先由本题也可先由M=J 求求出出 ，再用，再用 =d /dt积分求积分求出出 。 但用但用机械能守恒显然简机械能守恒显然简单一些。单一些。角加速度：角加速度：)sin1(3lg3cos2gl dtdddddChco JL 物理含义物理含义：在定轴转动中，刚体对转轴的角动量的大小：在定轴转动中，刚体对转轴的角动量的大小等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角速度的乘积。等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角速度的乘积。 定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理1. 用角动量表述的用角动量表述的转动定理转动定理 JM 由由dtdJ dtJd)( dtdLdtdLM 刚体对

5、定轴的角刚体对定轴的角动量大小动量大小刚体对固定轴刚体对固定轴z的角动量的角动量角动量定理角动量定理dtdLM 理解理解：(1) 物理含义物理含义：在定轴转动中，物体所受对某定轴的：在定轴转动中，物体所受对某定轴的外力矩，等于物体对该轴的角动量的时间变化率。外力矩，等于物体对该轴的角动量的时间变化率。(2)dtdLdtJdM)( JM （只适用于刚体）（只适用于刚体）（适用于刚体和非刚体）（适用于刚体和非刚体）2. 角动量定理的角动量定理的微分形式微分形式得得两边同乘以两边同乘以将将,)(dtdtdLdtJdM dtdpF JdtddtdJ dLJdMdt)( 理解理解：(1) 与质点力学中的

6、动量定理与质点力学中的动量定理 类类似，反映了外力矩的时间累积效应。似，反映了外力矩的时间累积效应。dpmvdFdt)(2) 与定义与定义Fdt为元冲量类似，定义为元冲量类似，定义Mdt为为元角冲量元角冲量（或（或元冲量矩元冲量矩）。）。3. 角动量定理的角动量定理的积分形式积分形式00000 JJJdMdtttJJ)(ttttMdt00冲量冲量时间内作用于物体的角时间内作用于物体的角称为在称为在其中其中物理含义物理含义：在定轴转动中，物体（不限于刚体：在定轴转动中，物体（不限于刚体 ）所受）所受的角冲量，等于物体在同一时间内角动量的增量。的角冲量，等于物体在同一时间内角动量的增量。0M物物体

7、体所所受受的的合合外外力力矩矩若若000 JJLL或或则则(1) 物理含义物理含义：在定轴转动中，当对转轴的合外力：在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零（注：不一定是外力为零）时，物体对该轴矩为零（注：不一定是外力为零）时，物体对该轴的角动量保持守恒。的角动量保持守恒。理解理解：(2 ) 角动量守恒的充要条件：合力矩为零角动量守恒的充要条件：合力矩为零（适用于质点、离散质点系、刚体）（适用于质点、离散质点系、刚体） (3) 定轴转动的角动量守恒定律同样适用于由若定轴转动的角动量守恒定律同样适用于由若干个物体组成的系统。干个物体组成的系统。系统的角动量守恒定律描系统的角动量守恒定律描述如下：述如

8、下：定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律(5) 质点：动量守恒、角动量守恒、机械能守恒质点：动量守恒、角动量守恒、机械能守恒 角动量守恒、机械能守恒角动量守恒、机械能守恒 ，只要整个系统受，只要整个系统受到的外力矩对该轴的矢量和为零，则系统的总角动到的外力矩对该轴的矢量和为零，则系统的总角动量保持守恒。量保持守恒。 若有几个物体组成一个系统，各物体对同一若有几个物体组成一个系统，各物体对同一轴的角动量分别为轴的角动量分别为.,2211 JJiiiJ恒量恒量 (4) 对比：对比：系统角动量守恒条件：系统角动量守恒条件：系统动量守恒条件：系统动量守恒条件：0外外M0外外F动量守恒、动量

9、守恒、刚体：刚体：vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计四四. 角动量守恒定律的应用角动量守恒定律的应用（1）选取系统；）选取系统；（2）分析外力矩，明确守恒条件；）分析外力矩，明确守恒条件；（3）确定初态和末态角动量

10、，正确写出角动量）确定初态和末态角动量，正确写出角动量守恒的表达式。守恒的表达式。附：附：质点与刚体发生碰撞时，若碰撞的相互作质点与刚体发生碰撞时，若碰撞的相互作用力矩远大于合外力矩，也可认为该系统的角用力矩远大于合外力矩，也可认为该系统的角动量守恒。动量守恒。 解解 (1)(1)杆杆+ +子弹：竖直位置，外力子弹：竖直位置，外力( (轴轴o o处的力处的力和重力和重力) )均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒： )32(313222lmMllmo解得解得)43(6mMlmo 例例1 1 长为长为l、质量为、质量为M M的匀质杆可绕通过杆一端的水的匀质杆可

11、绕通过杆一端的水平光滑固定轴平光滑固定轴o o转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为有一质量为m m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 o o射入杆上的射入杆上的A A点，点，并嵌在杆中，并嵌在杆中，oA=2oA=2l/3, /3, 求求: :(1)(1)子弹射入后瞬间杆的子弹射入后瞬间杆的角速度角速度; (2); (2)杆能转过的最大角度杆能转过的最大角度 。2l/3mvooA2l/3mvooA222)32(3121lmMl )322()32(31 2)32(1cos222lmglMglmMllmo由此得：由此得：(2)(2)杆在转动过程中显然机械能守恒

12、：杆在转动过程中显然机械能守恒：)cos1 (32)cos1 (2lmglMg)43(6mMlmo由前由前直升飞机为什么要安装反向双旋翼？直升飞机为什么要安装反向双旋翼？演示仪为什么在拉线的作用下会转动起来？演示仪为什么在拉线的作用下会转动起来？体操运动员的体操运动员的“晚旋晚旋”茹科夫斯基凳实验茹科夫斯基凳实验芭蕾花样滑冰芭蕾花样滑冰跳水跳水请看请看: 猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转

13、向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守恒过程。恒过程。为什么猫从高处落下时总能四脚着地？为什么猫从高处落下时总能四脚着地？沿直线平动沿直线平动绕定轴转动绕定轴转动冲量冲量动量动量动量动量定理定理动量守动量守恒定律恒定律角冲量角冲量角动量角动量（动量矩）（动量矩）角动量角动量定理定理Fdtmv J时，时，0FMdt00mvmvFdttt000 JJMdttt恒量恒量mv角动量守角动量守恒定律恒定律时，时，0M恒量恒量 J力的功力的功力矩的功力矩的功F

14、dxA MdA动能动能转动动能转动动能221mvEk221 JEk动能动能定理定理转动动转动动能定理能定理20221210mvmvFdxxx20221210 JJMd练习练习8 8、刚体转动定律、刚体转动定律1 1、解：、解：质点质点B ：设绳的张力为：设绳的张力为T2 ，质点质点A ：设绳的张力为：设绳的张力为T1 ，则由牛顿定律：则由牛顿定律：amT22 amTgm111 m1T1m1ga则水平方向上则水平方向上m2Nm2gT2加速度为加速度为a ，滑轮：设物体滑轮：设物体A 、B 对系统的反作用力分别为对系统的反作用力分别为 ，2T 1T 1T 2T 22TT 11TT 由转动定律（设角

15、加速度由转动定律（设角加速度垂直纸面向下为正）垂直纸面向下为正）IRTT21 )(由于绳和滑轮无滑动，则由于绳和滑轮无滑动，则Ra 联立上述方程，得：联立上述方程，得：2211R/Immgma 由圆盘由圆盘 代入上式得：代入上式得： 23Rm21I 3211mmm2gm2a )(gmmm2mm2magmT32132111 )()()(gmmm2gmm2amT3212122 )( m mAB2rr2 2、解：分析受力如图：、解：分析受力如图：mgmgT1T2a2a11T 2T 设设A 的加速度为的加速度为a1方向向下；方向向下；B 的加速度为的加速度为a2方向向上；方向向上；滑块的加速度为滑块的

16、加速度为方向垂直方向垂直纸面向外。纸面向外。质点质点A ：11maTmg 质点质点B ：22mamgT 两个圆盘粘在一起，视作一两个圆盘粘在一起，视作一个刚体，其转动惯量为个刚体，其转动惯量为221mr29III 由转动定律列方程：由转动定律列方程：IrTr2T21 由牛顿第三定律：由牛顿第三定律：22TT 11TT 由角量与线量的关系：由角量与线量的关系：r2a1 ra2 解以上方程组得：解以上方程组得：r19g2mr5Imgr2 练习练习9 9、转动的功与能、转动的功与能 刚体的角动量刚体的角动量弹簧原长弹簧原长m5.00.15.1l0 1 1、解：、解：棒转到水平位置时弹簧伸长量棒转到水平位置时弹簧伸长量m3.15.05.11l22 棒下摆过程中，系统机械能守恒棒下摆过程中，系统机械能守恒2lmglk21I2122 )(2ml31I 且：且：解得：解得：s/