期末复习：勾股定理

1、八年级数学复习卷：勾股定理考点1 运用勾股定理求线段长要点简述:1直角三角形中，知二求一即已知三边中任意两边的长，可求出第三边的长2一般三角形中，构造直角三角形求线段例题：如图，在ABC中，CDAB于点D，若AB=5，CD=，BCD=30º，求AC的长分析：AC在RtADC中，已知CD的长则应求出AD的长又AD+DB=5，转化为求BD的长在含30°角的RtBDC中，已知一边的长，另两边可求练习1若直角三角形的三边长分别为6，8，x，则x=_2已知AB=12，ABBC于点B，ABAD于点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，则AE的长是_3如图，在ABC中，C=90&#

2、186;，AD，BE是中线，BE=，AD=5，则AB的长是_4如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米.第2题图 第3题图 第4题图考点2 运用勾股定理解决面积问题例如图，在ABC中，A=90º，AB=AC，D为斜边BC的中点E，F分别在边AB，AC上，且DEDF，若BE=12，CF=5，则DEF的面积为_。练习1如图，在ABC中，B=90º，两直角边AB=7，BC=24在三角形内部有一点P到各边的距离都相等，则这个距离是_2如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个

3、顶点，可得到ABC，则ABC中BC边上的高是_第1题图 第2题图考点3运用勾股定理解决“折叠求长”问题要点简述:若我们对一张纸片进行折叠，由于被折叠部分与被覆盖部分相互重合（互相全等），因此在折痕的两旁，相对应的角度和边长都会有相等关系而“折叠求长”问题往往用到的是边长相等例题：RtABC中，ACB=90o，AC=1，BC=2，以DE为折痕进行翻折，使点B与A重合，求CE的长度分析：由于DE是折痕，因此DE两旁的线段AD=BD、AE=BE；在RtACE中，已知AC=1，只要知道AE的长度，或者AE与CE的关系即可，由于BC=2，所以CE+BE=2，即CE+AE=2因此，可设CE=x，则AE=2

4、-x，可列方程：，解得x=0.75归纳：利用勾股定理解决“折叠求长”问题的基本思路为：（1）确定一个直角三角形（一般情况下，应该为重合两部分之外的Rt）（2）寻找等长线段（长度已知的标上数值，未知的标上相同记号）（3）用同一字母表示两条未知边（第三边必须已知）（4）列方程求解（利用勾股定理列方程）练习1如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD与对角线BD上重合，折痕为DG，则AG的长为_2矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则折痕AE的长为_3在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕

5、为EF，则DE的长为_ 第1题图 第2题图 第3题图4已知一个直角三角形纸片AOB，其中AOB=90°，OA=2，OB=4，将该纸片放在直角坐标系中，折叠该纸片，使点A、B重合，折痕与边OB交于点C，则点C的坐标为_5如图，点A(2，6)，y轴上有一点B，使得OBAB，则点B的坐标为_6如图，点A的坐标为(2，1)，点P为x轴正半轴上一点，且AOP为等腰三角形，则 P点的坐标为_7如图，长方形OABC的顶点B(8，4)，沿对角线AC将长方形对折，使点B落在点D处，CB与x轴交于E，求点E和B的坐标 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 考点4“勾股定理”巧解面积和差问题要点简述：如

6、图，RtABC中，ACB=90o，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形， 面积分别为S1、S2、S3，由于S1=AB2，S2=BC2，S3=CA2， 且AB2=BC2+CA2， 所以S1= S2+S3于是，我们得到结论：以直角三角形的两直角边为边长的小正方形的面积 之和，等于以斜边为边长的大正方形面积拓展：如图，RtABC中，ACB=90o，分别以AB、BC、CA为边向外作半圆， 面积分别为S1、S2、S3，也有S1= S2+S3练习：1如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、点C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长是 2如图，正方形ABCD、EFGH、NHMC的边长分别为a、b、

7、c ，A、B、N、E、F五点在同一直线上，则c = （用含有a、b的代数式表示）3在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放着的三个正方形面积分别是1、2、3，正放的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则：S1+S2+S3+S4= 第1题图 第2题图 第3题图4如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E的面积是（ ）A13 B28 C47 D945如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都的直角三角形，其中最大的正方形边长为10cm，正方形A的边长为6cm，正方形B、C的边长均为5c

8、m，则正方形D的边长为（ ）A B C D6如图，RtABC中，BC=6， AC=8，在AB的同侧，分别以AB、AC、BC为直径作三个半圆，求阴影部分的面积 第4题图 第5题图 第6题图考点5 “最短路径”与展开图问题要点简述:我们知道，在同一平面内有“两点之间，线段最短”，在不同平面内的两点呢？在曲面上的两点呢？其实，我们只要将两个平面、曲面转化为同一个平面即可例1：如图，一只蚂蚁在棱长为1dm的正方体顶点A处，在B处有一粒米饭， 若这只蚂蚁要吃到米饭，则蚂蚁在正方体表面爬行的最短路径是多长？分析：将正方体的上表面展开，使点A与B（B）在同一平面内，则点A与B 之间的最短路径是线段A B的长

9、度，而A B=AO+OB，因此点A与B之间的最短路 径就是AB=dm例2：如图，圆柱体的底面半径为5cm，高为8cm，在点A、B处各有一只蚂蚁，它们在圆柱表面爬行的速度都是0.5cm/s，则它们最快要多少时间才能相遇？（取3）分析：将圆柱体的半个侧面展开，是一个长为5即15cm，宽为8cm的长方形， 则最短路径是，即17cm，时间为17sMEABCFGDHMM 练习：1如图，已知正方体的棱长为2cm（1）求一只蚂蚁从A点到F点爬行的最短路程 （2）如果蚂蚁从A点到G点，求蚂蚁爬行的最短路程 （3）如果蚂蚁从A点到CG边中点M，蚂蚁爬行的最短路程 2如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3c

10、m的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 _cm（ 长、宽、高中较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。）3如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 dm第2题图 第3题图考点6运用勾股定理的逆定理判断三角形形状例题：例1 以下列长度为三边构成的三角形不是直角三角形的是（ ）A2，3，4 B5，12，13 C6，8，

11、10 D7，24，25例2 一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形最长边上的高是_练习：1以下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A B C D2ABC的三边长分别为、b、c，下列条件：A=BC；A：B：C=3：4：5；，其中能判断ABC是直角三角形的个数有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个3已知a、b、c是ABC的三边，且满足，则ABC为（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形4已知ABC的三边分别为a、b、c，且ab4，a b1，c，试判定ABC的形状5如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长均为1，则ABC是（ ）A直角三角形 锐角三角形 钝

12、角三角形 以上都不对6如图，货船甲以20海里/小时的速度沿着北偏西30º的方向航行，货船乙以15海里/小时的速度沿着图中所示AB方向航行，它们同时从A港口出发，2小时后相距50海里，即BC=50海里，则乙航行的方向为_ 7如图，AOB=45º，角内有一点P，PO=10，在两边有点R，Q（均不同于O）则PQR的周长的最小值是_，当PQR周长取最小值时，QPR=_5题图 6题图 第7题图8如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，点F在AD边上，且AF= AD求证：EFCE考点7 勾股定理及其逆定理的综合运用例题：例1 如图，在四边形ABCD中，A=90º，AB=，

13、BC=8，CD=6，AD=5，则四边形ABCD的面积为_例2如图，点P为正 ABC内一点，且PC=3，PB=4，PA=5，则BPC=_练习：1如图，在ABC中，若三边BC，CA，AB满足BCCAAB=51213，AB边上的高为CD，则=_2如图，四边形ABCD中，AB=2，BC=，CD=5，DA=4，B=90º，则四边形ABCD的面积为_3如图，四边形ABCD中，已知ABBCCDDA=2231，且B=90º，则DAB=_第1题图 第2题图 第3题图4如图，已知四边形ABCD中，A=60º，B=D=90º，AB=2，CD=1则BC=_，AD=_5如图，在A

14、BC中，B=22.5º，AB的垂直平分线交BC于点D，B D=，AEBC于点E，则AE的长为_6如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC=6，BC=5将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长为_第题图 第5题图 第6题图7如图，ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则BC=_8如图， ABC中，ACB=90º，AC=BC，P是 ABC内一点，且PB=1，PC=2，PA=3，则BPC=_9如图，P是正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，则A

15、PB=_ 第7题图 第8题图 第9题图 考点8运用勾股定理及其逆定理解决实际问题例题：如图所示，某市为了方便相距2km的A，B两处居民的交往，计划修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A处的北偏东60º方向、B处的北偏西45º方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园问计划修筑的公路会不会穿过公园？练习：1如图，公路MN和小路PQ在P处交汇，QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160 m，假设拖拉机行使时周围100 m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18 km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间?2如图所示，A，B两村在河边CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km。又CD=3 km，现要在河边CD建一水厂，同时分别向A，B两村输送自来水，