整式的乘法与因式分解培优

1、第二章整式的乘法【知识点归纳】1. 同底数幕相乘，不变，相加。an.am=（m,n是正整数）2. 幕的乘方，不变，相乘。（an） m=（m,n是正整数）3. 积的乘方，等于把 ，再把所得的幕 。（ab） n=（n是正整数）4. 单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘。5. 单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积，a（ m+n =6. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积，（ a+b） （ m+n =。7. 平方差公式，即两个数的与这两个数的的积等于这两个数的平方差（a+b） （ a-b） =8. 完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）

2、它们的积的。（a+b）2=,（a-b）2=。9. 公式的灵活变形：2 2 2 2（a+b） +（ a-b） =， （ a+b） - （ a-b） =，a2+b2=（ a+b）2-，2 2 2 2 2a +b=（a-b） +， （a+b） =（a-b） +，（a-b）2=（ a+b）2-。【例1】若代数式（2x2 ax y 6） （2bx2 3x 5y 1）的值与字母x的取值无关，求代数 式3 a2 2b2a2 3b2）的值44n 4432x 3,B 3x x x nx 2x 1,【例2】已知两个多项式A和B , A nxn 4 x3 n x3试判断是否存在整数n，使A B是五次六项式?【例3】

3、已知x,y,z为自然数，且x y，当x y 1999,z x 2000时，求x y z的所有值中最大的一个是多少？【例4】如果代数式ax5 bx3 cx 5当x是【例5】已知a为实数,且使a3 3a2 3a 22时的值为7 ,那么当x 2时,该式的值0,求(a 1 )1996 (a 1 )1997(a 1 )1998 的值.【例6】（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；（2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y.2a+b) (a+b)【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（=2a?+3ab+b就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3

4、所表示的一个等式： （2） 试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b） （a+3b） =a2+4ab+36.【例8】归纳与猜想：(1) 计算：( x - 1) (x+1) =；购(x - 1) (x2+x+1) =；( x - 1) (x3+x2+x+1) =；(2) 根据以上结果，写出下列各式的结果.©( x - 1) (x6+x5+x4+x3+x2+x+1) =；®(x- 1) (x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1) =；(3) (x - 1) (xn-1+xn-2+xn-3+x2+x+1) = (n 为整数)；(4) 若(x - 1) ?m=x5

5、 - 1,贝U m ;(5) 根据猜想的规律，计算：226+225+2+1.【例9】认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应 的，我们可以计算出多项式的展开式，如：1(a+b) =a+b,(a+b) 2=a2+2ab+6，(a+b) 3=(a+b)2 (a+b) =a3+3a2b+3ab2+b3, 下面我们依次对(a+b) n展开式的各项系数 进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：(a+bj!11(a+b)f121(a+b)'133 i(a+b)J4641(a+b15 to it) 5 1(a+b.1615 20 1561上面的多项式展开系数表称

6、为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规 律回答下列问题：（1）多项式（a+b） n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2） 推断出多项式（a+b）n（ n取正整数）的展开式的各项系数之和为 S，（结果用含字 母n的代数式表示）.课后作业：1、若 2x 5y 30，求 4x 32y 的值。2、在ax 3y与x y的积中，不含有xy项，则a必须为。33、 已知a b -，ab 1，化简a 2 b 2的结果是。24、已知 x2 x 10,则 x2000 x1999 x1998 的值为。5、 已知x y 3,则代数式5 x y 3 y x 3的值等于。-6、 已知 2|x

7、29，则 x=。7、 若 2x 3,4x 5,则 2x 2y 的值为。&当x 2时，代数式ax3 bx 1的值等于17，那么当x 1时，代数式12ax 3bx3 5 的值 .9、已知 a 1999x 2000， b 1999x 2001， c 1999x 2002， 求多项式 a2 b2 c2 ab bc ca 的值为。11 1 1b(- ) c(-)的值是多少?c a a b1 110、已知a,b,c均不为0，且a b c 0 ,那么a( ) b c“整体思想”在整式运算中的运用1、当代数式x2 3x 5的值为7时，求代数式3x2 9x 2的值.3332、已知 a -x 20，b -

8、x 18， c - x 16，求：代数式 a2 b2 c2 ab ac bc 的888值。3、已知 a2 a 10，求 a3 2a22007 的值.4、若a2 - 2a+1=0.求代数式 J.的值.5、先化简，再求值：y2)，其中 x=-2,y=-3(1) (2x y)(2x y)(4x22 2 1(2)2(a b)(a b) (a b) (a b)其中 a 2,b-2第四讲乘法公式（1）公式的逆用1、已知 m+n-6m+10n+34=0 求 m+n的值2、已知x2y5、已知 x2 y2 2x 4y 5 0，求一(x 1)2 xy 的值。 4x 6y 13 0, x、y都是有理数，求xy的值a

9、2 b23、已知(a b)216, ab 4,求与(a b)2 的值34、已知(a b) 5,ab 3 求(a b)2 与 3(a2 b2)的值116 x2 3x 1 0，求(1) x2 (2) x4 xx7、试说明不论x,y取何值，代数式x2y2 6x 4y 15的值总是正数。8已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式3(a2b2c2)(a b c)2，请说明该三角形是什么三角形?9、计算(2) (a- 2b+c) (a+2b-c)2 2(1) (x - y) (x+y) (x+y)(3) (a - b+c- d) (c- a- d- b);(4) (x+2y) (x-

10、2y) (x4- 8x2y2+16y4).10、已吨皿求下列各式的值：（2七(2)2K< ,2.X + X +1第五讲乘法公式（2）例1已知a-b=2,b-c=1,求代数式a2 b2 c2ab bc ac 的值。例2已知a、b、c为有理数，且满足a 8 b,c2ab 16,求的值。例3已知x2 3x 10,试求下列各式的值:(1) x2(2) x3例4已知x、y满足x2十y2十5 = 2x十y，求代数式一红的值.4x y例5已知a b、c均为正整数，且满足a2 b2 c2，又a为质数.证明：(1)b与c两数必为一奇一偶;2(a+b+1) 是完全平方数.巩固练习1、 若3x2 x 1,求代

11、数式6x3 7x2 5x 1999的值为2、如果：x2 8xy 16y20,且x 5,则(2x 3y)23、 计算：(2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1) 1 =4、若4x2 mx 9是一个完全平方式，则 m的值为。5、当x=, y=时，多项式4x2 9y2 4x 12y 1有最小值，此时这个最小值是。6、 2 1 22 1 24 1 28 1232 1 的个位数字是。7、若 a b 2 2b 10,则 ab 2ab 3 ab 1 的值是。&计算3x 2y 1 3x 2y 1的结果为。9、若1 4电 0,则-的值为。x xx10、 多项式a3丄ab4 am1b 6

12、是一个六次四项式，则m 。211、若代数式x2 y2 14x 2y 50的值为0,则x ，y 12、已知a24a b2 2b 50,求 a、b 的值13、已知a,b,c是三角形的三边，且 a2+b2+c2=ab=bc+ca,试判断三角形的形状14、已知2a2a2 a1 求_2a!3 2a4 a2四作业1 观察下列各式：2(X 1)(X+1) = X I ；(X 一 1)(x 2+X+1)=X19991997199919992一 1；nn-1+x+ +x+1)=(x 一 1)(x 3十 X2+X+1)=X4如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示 方法写出一个关于

13、a、b的恒等式 一 1. 根据前面的规律可得(X 一 1)(x2已知 a2 b2 4a 2b 50，则3计算:(1) 1949 2 一 19502+19512 一 19522+19972 一 19982+19992 =1999199825 .已知a15 ,4则a21 =2 一 aa_6 .已知ab3,bc5,则代数式acA-一一15B一 2C . 一 6 D .17.乘积(12)(11999A. 1999 B20001尹20012000(112)(1 19991999400012)等于()2000D 2001.40008. 若 x y 2,x2 y24，则 x2002y2002的值是（）A .

14、 4 B . 20022 C . 2 2002 D . 420029 .若 x213x1 0，则x41-4的个位数字是（）xA . 1B.3C .5 D . 710.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形（a>b），把余下的部 分剪拼成一个矩形（如图），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式， 则这个等式是（）.A.2 ab2(a b)(ab)B.(ab)22 a2abb2C.(ab)2a2 2abb2D.(a2b)(ab)2 aab 2b211. 设x+2z = 3y，试判断x2一 9y2+4z2+4xz的值是不是定值？如果是定值，求出它的 值；否则请说明理

15、由. 已知 x2一 2x=2，将下式先化简，再求值：（x 1）2+（x+3）（x 3）+（x 一 3）（x 一 1）.12. 一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上 44后仍是一个完全平方 数，试求这个自然数.13. 观察：1 2 3 41522345111223456 119（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； 根据（1），计算2000 X 2001 X 2002X 2003+1的结果（用一个最简式子表示）.14 你能很快算出1995 2a -2ab+b =。【典型例题】1.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2 - 4x+m有一个因式是(x+3)，求另

16、一个因式以及 m的值.解：设另一个因式为(x+n)，得 x2- 4x+m= (x+3) (x+n)贝U x2 - 4x+m=X+ (n+3) x+3n吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10n+5(n为自然数)，即求(10n+5) 2的值，试分析n=1 ,n=2, n= 3 这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论.(1)通过计算，探索规律.15 2 =225 可写成 100X 1X (1+1)+25 ; 252=625可写成 100X 2X (2+1)+25 ;2 2 2 35=1225可写成 100X 3 X (3+1)+25

17、 ; 45 = 2025 可写成 100X4X (4+1)+25 ;75 = 5625可写成; 852= 7225可写成. 从第 题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2=.(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952=.第三章因式分解【知识点归纳】1. 把一个多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。(因式分解三注意：1.乘积形式；2恒等变形；3.分解彻底。)2. 几个多项式的 称为它们的公因式。3. 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a()4. 找公因式的方法：找公因式的系数：取各项系数绝对值的 。确定公

18、因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的 的。5. 把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。2 2 2 2a -b =， a +2ab+b=，.解得：n= 7, m= 21另一个因式为(x 7), m的值为-21仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x 5),求另一个因式以及k的值.2. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：2231+x+x ( x+1 ) +x ( x+1) = ( 1+x) 1+x+x ( x+1) = ( 1+x)( 1+x) = ( 1+x)(1) 上述分解因式的方法是 ，共应用了次.(2)

19、若分解1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+x (x+1 ) 2004,则需应用上述方法 次,结果是(3)分解因式：1+x+x ( x+1) +x ( x+1) 2+x ( x+1) n (n 为正整数).其中4、先化简，再求值：能被5 、 已 知整除，其商式为，求 m、 n 的值。6、已知a b、c分别为 ABC的三边，你能判断 的符号吗？因式分解(一)( 2)( a2+ b2) 2 4a2b2；第六讲【例题精讲】例 1: (1) 4x (a b) + ( b 4)( x+ y) 2 3( x+ y)+ 2； a2)；423) x4+ 2x2 3；5)x32x23x；6)4ax2 x

20、 1 x2 x 2 12 ； 2b26a3b；8）a24b24c28bc（7）a2c2+2ab+b2d22cd例2:分解因式：（ 1） x4 x2 4 x4 x2 3 102） x 1 x 2 x 3 x 6 x23） 1999x2 19992 1 x 1999巩固】分解因式：2 2 2 2 x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 ；4、分解因式： x y 2xy x y 2 xy 1 2 ；例3:把下列各式分解因式：2221、 a b c b c a c a b ；2 、xxy 2y2x 7y 6 。巩固】分解因式：1、 ab a b 2 a b 2 1 ；2 、xxy 6y2x 13

21、y 6 。例 4：分解因式： x3 3x2 4。【巩固】分解因式：1、 x4 x2y2 y4；2、a4 64b4；拓展】分解因式： a4 2a3b 3a2b2 2ab3 b4例5:已知多项式2x2 3xy 2y2 x 8y 6的值恒等于两个因式 x 2y A ,2x y B 乘积的值，则 A B 。例 6:分解因式: x2 xy 6y2 x 13y 6【巩固】分解因式:1、 x2 xy 2y2 x 5y 2 ；2、3x2 5xy 2y2 x 9y 4；拓展】1、 k 为何值时，多项式 x2 2xyky2 3x 5y 2能分解成两个一次因式的积？2、多项式 x2axy by2 5x y 6的一个

22、因式是x y 2，试确定a b的值。3、求证： 8x22xy 3y2可以化为两个整系数多项式的平方差。作业】1、分解因式：3 2 2a 2a b ab ；2、分解因式：x2 2xy y29；3、分解因式：x2 x 1 x2 x 212；4、已知 a、 b、c 满足 a b 5， c2 ab b 9 ，则 c ；5、分解因式：a2 b2 4a 2b 3的结果是 ；6、 已知x2 a 5x 5a 1能分解成两个整系数一次因式的乘积，求a的值。7、把下列各式分解因式：2 2 2 2 2 2（1） x2 y2 4xy x2 y2 1 ；（2） x2 8ax 40ab 25b2；(3) 用换元法分解x【巩固】 已知a、b、c是三角形三边长，则代数式a2 2ab c2 b2的值是(A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D.符号不定 设a、b、c是三角形三边长，化简 c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca。 5x 6 x2 7x 6 3x2;(4)用待定系数法分解x2xy 2y2 x 5y 27、k是什么数时,kx2 2xy 3y2 3x 5y 2能分解成两个一次因式的积?第七讲因式分解的应用【例题精讲】ABC的形状例1:若ABC的三条边a b、c满足关系式a4 b2c2 a2c2 b4 0，则()A.恒正 B.