数分定积分概念

1、3 3 可积条件4 4 定积分的性质1定积分概念5 5 微积分学基本定理微积分学基本定理2 牛顿莱布尼茨公式 第九章第九章 定定 积积 分分6 定积分的计算定积分的计算9.1 定积分的概念一、问题提出一、问题提出1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设设 y = f (x)为区间为区间a, b 上连上连续函数，且续函数，且f (x) 0，由曲线，由曲线 y = f (x)，直线，直线 x = a， x = by = 0 所围成的图形称为所围成的图形称为曲边梯形。曲边梯形。下面讨论曲边梯形的面积下面讨论曲边梯形的面积xybaO)(xfy 对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，对于多边形的面积，

2、我们在中学就已经会计算了， 例如例如 矩形的面积矩形的面积 = 底底高高显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。 虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。 xybaOix1ix1x 分割分割用任意的一组分点：用任意的一组分点：bxxxxann110把把 a, b 分成分成 n 个小区个小区间间 xi-1, xi i=1, 2, , n相应地把曲边梯形分为相应地把曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分个小曲边梯形，其面积分别记为别记

3、为Si i=1, 2, , n（化整为零）（化整为零）xybaOix1ix1x 近似代替近似代替i在每个小区间在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点上任取一点i ，)(ifiiixfS)(其中其中1iiixxx（曲转化为直）（曲转化为直）于是小曲边梯形的面积于是小曲边梯形的面积 求和求和niiixfS1)(xybaOix1ix1xi)(if（积零为整）（积零为整）大曲边梯形的面积大曲边梯形的面积 取极限取极限xybaOix1ix1xi)(if令令0max|1inixT若极限若极限niiiTxf10|)(lim存在，存在，则定义此极限值为曲边梯形的面积则定义此极限值为曲边梯形的面积（直转化为

4、曲）（直转化为曲）让每个小区间的长度趋于零让每个小区间的长度趋于零 求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小些小“矩形矩形”面积的和近似地表示原来大面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即化为局部的直，即

5、“以直代曲以直代曲”。 然后，再把分割无限加细，通过取极然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。高等数学的一个重要方法。F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化的变化不大，可近似看作是

6、常力作功问题。按照求曲不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，边梯形面积的思想，F(x)AB 再看一个变力做功的问题。再看一个变力做功的问题。 设设 质点质点 m 受受力力 的作用，在变力的作用，在变力F的作用下，沿直线由的作用下，沿直线由 A 点点运动到运动到 B 点，求变力作的功点，求变力作的功bat 分割分割用任意的一组分点：用任意的一组分点：011nnattttb把把 a, b 分成分成 n 个小区间个小区间 ti-1, ti i=1, 2, , n1itit1t 近似代替近似代替在在 ti-1, ti 上任取一点上任取一点i ，于是在该小区间，于是在该小区间上的力上

7、的力 ( )iiiWFt1iiittti作的功作的功 ix,1ixi, )iF(F 求和求和总功总功1( )niiiWFt 取极限取极限令令0max|1initT若极限若极限| |01lim( )niiTiFt存在，存在，则定义此极限值为力所做的功则定义此极限值为力所做的功的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义义 niixif1)(从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或从上面例子

8、看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行些量进行“分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限”，或者，或者说都归结为形如说都归结为形如二、定积分的定义二、定积分的定义bxxxxxann1210定义定义1: 在在 a, b 内任取一组分点内任取一组分点将将 a, b 分成分成 n个子区间个子区间i= xi-1, xi i=1, 2, , n 这些分点构成这些分点构成a, b 的一个的一个分割分割，记为，记为T = x0, x1, , xn = 1, 2, , n 记记 xi = xi xi-1 ， 并称并称max|1

9、inixT为分割为分割 T 的模的模bax1ixix1xixTni, 2, 1T,baTTT不唯一确定唯一确定TTTTT注：1由于因此可用来反映2分割与其模的关系： 即分割一旦给出，就随之确定，但是的分割却有无限多个. 被分割的细密程度.具有同一细度称此和式为称此和式为 f 在在 a, b 上的一个积分和，也称为黎上的一个积分和，也称为黎曼（曼（Riemann）和）和定义定义2: 设函数设函数 f (x) 在在 a, b 上有定义上有定义, 对对a, b的的一个分割一个分割T = 1, 2, , n ，任取点，任取点 i i , i=1, 2, , n ，作和，作和niiixf1)(T i显然

10、积分和既与分割有关，又与所选取有关 的点集定义定义3: 设函数设函数 f (x) 在在 a, b 上有定义上有定义, 若任给的若任给的 0 ，总存在，总存在 0 ，使得，使得 对对a, b的任何分割的任何分割T = 1, 2, , n ，任意的，任意的 i i , i=1, 2, , n ，只要，只要 |T| b 时时, abbadxxfdxxf)()(例例 1 求在区间求在区间 0, 1 上，以抛物线上，以抛物线 y = x2为曲边的曲边三角形的面积为曲边的曲边三角形的面积解解由定积分的几何意义，有由定积分的几何意义，有niiiTxdxxS120|102lim因为定积分存在，对区间因为定积分

11、存在，对区间 0, 1 取特殊的分割取特殊的分割xyO2xy 1将区间将区间 0, 1 等分成等分成 n 等份等份, 分点为分点为11210nnnnn1n2nn 1xyO2xy 1nxi1每个小区间的长度每个小区间的长度), 2 , 1(,1ninininii取取则有则有ninnni121)(limninin1231lim) 12)(1(611lim3nnnnn3) 12)(1(lim61nnnnn31niiiTxdxxS120|102lim n1n2nknn.1211616) 12 () 1(1) 1(21 (11112111 032223222 nnnnnnnnnnnnnnnnSnxOy把

12、底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:2xy 因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为:.61121161limlimnnSSnnn例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分点点 12, nqqq,典型小区间为典型小区间为,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小区区间间的的长长度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 四、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（