复变函数与积分变换复习要点

1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 复习概要复习概要共轭共轭1.1.复数的运算复数的运算加减乘除加减乘除乘幂乘幂方根方根2zzz2.2.复变函数复变函数映射映射( )( , )( , )wf zu x yiv x y( , )( , )uu x yvv x y对数函数对数函数3.3.基本初等复函数基本初等复函数指数函数指数函数幂函数（乘幂）幂函数（乘幂）三角函数及反三角函数及反三角函数三角函数双曲函数双曲函数及反双曲函数及反双曲函数( )xxyyfzuivviu( )f zuivu,v可微，且满足可微，且满足C-RC-R条件。条件。4.4.函数函数 解析的充要条件解析的充要条件函数函数 解析

2、的充要条件为：解析的充要条件为：( )f zuiv5.5.复积分的计算复积分的计算1).1).利用曲线的参数方程将复积分转化为定积分利用曲线的参数方程将复积分转化为定积分. .2).2).牛顿莱布尼茨公式（函数在单连通域内解析）牛顿莱布尼茨公式（函数在单连通域内解析）3).3).柯西基本定理柯西基本定理5).5).柯西积分公式柯西积分公式6).6).高阶导数公式高阶导数公式4).4).复合闭路定理复合闭路定理7).7).留数定理留数定理6.6.简单闭曲线上的复积分的计算简单闭曲线上的复积分的计算1).1).若闭曲线内部无奇点，积分为零若闭曲线内部无奇点，积分为零. .2).2).若闭曲线内部有

3、一奇点，考虑用柯西积分公式若闭曲线内部有一奇点，考虑用柯西积分公式3).3).若闭曲线内部有多个奇点，用复合闭路定理若闭曲线内部有多个奇点，用复合闭路定理或高阶导数公式或高阶导数公式. .转化为第二种情形转化为第二种情形. .4).4).留数定理留数定理. .已知一个调和函数已知一个调和函数 u (v), 求调和函数求调和函数 v( u), 使得使得u+vi是一个解析函数是一个解析函数. . .xyyxdvv dxv dyu dxu dy 凑微分法凑微分法 曲线积分法曲线积分法偏积分法偏积分法( )( )( )( ),xyfzuiuU zf zU z dz不定积分法不定积分法7.7.由调和函数

4、确定解析函数由调和函数确定解析函数00000lim( )lim ( , )lim ( , ).zzxxxxyyyyf zu x yiv x y8.8.复数列的极限复数列的极限, ,复变函数的极限复变函数的极限limlimlim.nnnnnnzxiy111.nnnnnnzxiy9.9.复数项级数的收敛和发散复数项级数的收敛和发散条件收敛和绝对收敛条件收敛和绝对收敛10.10.函数展开为函数展开为TaylorTaylor，LaurentLaurent级数级数直接展开法：利用展开定理，计算级数的系数。直接展开法：利用展开定理，计算级数的系数。间接展开法：利用常见函数的展开式及级数的间接展开法：利用常

5、见函数的展开式及级数的 运算性质。运算性质。 级数的收敛域级数的收敛域11. 留数的计算留数的计算 01Res ( ),.f z zc 1、2、0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点, 0Res ( ),0.f z z 3、0z为为)(zf的极点，规则的极点，规则1，规则，规则2，规则，规则3. 4、0( )Res ( ),00.f zf z 若若 为为孤孤立立奇奇点点，为为偶偶函函数数，则则12.12.利用留数计算定积分利用留数计算定积分1).2).2220111 d(cos ,sin )d,.22zzzzRRziziz ( )d2Res ( ),.kR xxiR z z 0(cos ,sin )d ,R 0( )d ,R xx 0( )cosd .R xax x 0( )sind ,R xax x 3). ( )cosdRe(2Res ( ),).aizkR xax xiR z ez 4). ( )sindIm(2Res ( ),).aizkR xax xiR z ez 13.13.拉氏变换拉氏变换1). 1). 用定义或拉氏变换的性质求拉氏变换用定义或拉氏变换的性质