第5章随机数的产生与模拟2015

1、1第五章第五章 随机数的产生与模拟目录随机数的产生与模拟目录 n随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟n5.15.1均匀随机数的产生均匀随机数的产生n 5.5.1 1.1.1线性同余法（线性同余法（LCGLCG）的递推公式）的递推公式n 5 5.1.2.1.2反馈位移寄存器法（反馈位移寄存器法（FSRFSR）n 5 5.1.3.1.3组合发生器组合发生器n5.25.2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生n 5 5.2.1 .2.1 逆变换法逆变换法 n 5 5.2.2 .2.2 值序抽样法值序抽样法n 5 5.2.3 .2.3 复合抽样法复合抽样法n 5 5.2.2.4 4 直接抽样法直接抽样法

2、n 5 5.2.5 .2.5 舍选舍选抽样法抽样法返回返回作业思考题2随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 n用随机模拟方法解决实际问题时，首先要解决的是随机数的用随机模拟方法解决实际问题时，首先要解决的是随机数的产生方法，或称随机变量的抽样产生方法，或称随机变量的抽样(sampling)(sampling)方法。方法。n随机数的概念：随机数的概念：设随机变量设随机变量XF(x)，xi，i=1,n同分布同分布F，则称则称xi为分布为分布F的的随机数随机数，得到，得到xi的过程称为对分布的过程称为对分布F抽抽样样(sampling)。通常要求各。通常要求各xi相互独立。相互独立。n 本节重点介绍

3、本节重点介绍0，1区间上均匀分布随机数的产生和检验。区间上均匀分布随机数的产生和检验。n均匀分布均匀分布U(0,1)随机数是最基本的随机数，其他分布随机数随机数是最基本的随机数，其他分布随机数可由均匀分布随机数得到。可由均匀分布随机数得到。本章目录本章目录3随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 n均匀分布随机数均匀分布随机数：本章目录本章目录定理定理1.1：设：设 是连续且严格单调上升的分布函数，它的是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为反函数存在，且记为 ，即，即)(xF)(1xFxxFF)(11 1、若随机变量、若随机变量 的分布函数为的分布函数为 ，则，则 )(xF) 1

4、 , 0()(UF)(1RF2 2、若随机变量、若随机变量 ，则，则 的分布函数为的分布函数为 ) 1 , 0(UR)(xF4随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟uuFFuFPuFPuF)()()()(111设随机变量设随机变量 的分布函数为的分布函数为 ，当，当 时，时，)(F)(1uF 1 , 0u证明：证明：当当 时，时， ；当；当 时，时，0u0)(1uF1u1)(1uF所以所以) 1 , 0()(UF设设 的分布函数为的分布函数为 ，则，则)(1RF)(2xF)()()()()(12xFxFFxFRPxRFPxFR因为因为 ，对任意，对任意 有有 。所以。所以 的分布函数为的分布函数

5、为 ) 1 , 0(UR)()(xFxFFR 1 , 0)(xF)(1RF)(xF5随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 定理定理1.1说明了任意分布的随机数均可由均匀分布说明了任意分布的随机数均可由均匀分布 的随的随机数变换得到。机数变换得到。常简常简称称 的随机数为均匀分布随机数。的随机数为均匀分布随机数。) 1 , 0(U) 1 , 0(U本章目录本章目录推论：若推论：若G和和F都是连续且严格单调递增的分布函数，则若都是连续且严格单调递增的分布函数，则若XG(x)必有必有Y=F-1(G(X)F(x)，这说明从任意连续型分布，这说明从任意连续型分布G的随机数可的随机数可以得到其他分布以得到

6、其他分布F的随机数。的随机数。一般还是从均匀分布出发。一般还是从均匀分布出发。6随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 本章目录本章目录n产生随机数的一般方法产生随机数的一般方法：l手工方法：抽签、掷骰子、摇号等；手工方法：抽签、掷骰子、摇号等；l随机数表法：占用内存大，目前已很少使用；随机数表法：占用内存大，目前已很少使用；l物理方法：不能重复计算；物理方法：不能重复计算；l数学方法：使用最广。数学方法：使用最广。7随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 n伪随机数伪随机数：在计算机上用在计算机上用数学方法数学方法产生产生均匀随机数均匀随机数是指是指按照一定的计算方法而产生的数列，它们具有类似于

7、按照一定的计算方法而产生的数列，它们具有类似于均均匀随机变量匀随机变量的独立抽样序列的性质，这些数既然是依照的独立抽样序列的性质，这些数既然是依照确定算法产生的，便不可能是真正的随机数，因此确定算法产生的，便不可能是真正的随机数，因此常把常把用数学方法产生的随机数称为用数学方法产生的随机数称为伪随机数伪随机数。n伪随机数不可能真随机。伪随机数不可能真随机。n需要对产生的伪随机数进行各种检验保证其符合独立性需要对产生的伪随机数进行各种检验保证其符合独立性条件且分布为要求的分布。条件且分布为要求的分布。本章目录本章目录一般为一般为 ，如：平方取中法，如：平方取中法，按递推公式产生会有周期性。按递推

8、公式产生会有周期性。),(21nnnf8随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 本章目录本章目录好的均匀分布伪随机数算法需要的性质：好的均匀分布伪随机数算法需要的性质： - 具有均匀性、随机性、独立性等具有均匀性、随机性、独立性等iid均匀分布样本应用的表现；均匀分布样本应用的表现； - 周期足够长；周期足够长； - 速度快，占用内存少，完全可重复性；速度快，占用内存少，完全可重复性； - 关键是统计性质。关键是统计性质。1216iiUX2122112sinln22cosln2RRXRRX)(*seedrannor1112随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产

9、生n均匀随机数的产生：均匀随机数的产生： 主要有线性同余法（主要有线性同余法（LCG），组合同余），组合同余法，反馈位移寄存器方法等法，反馈位移寄存器方法等 本章目录本章目录13随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生n同余定义：同余定义：设设a,ba,b为整数，为整数，M M为正整数，若为正整数，若b-ab-a为为M M的倍数，的倍数，则称则称a a与与b b关于模关于模M M同余，记为同余，记为a ab(modb(mod M) M)。否则称。否则称a a与与b b关关于于M M不同余。不同余。n性质：性质：对称性：对称性：a ab(modb(mod M)

10、 M)，则，则b ba(moda(mod M). M).传递性：若传递性：若a ab(modb(mod M) M)，b bc(modc(mod M) M)，则，则a ac(modc(mod M). M).加减乘运算：若加减乘运算：若a a1 1bb1 1(mod M)(mod M)， a a2 2bb2 2(mod M)(mod M)，则，则a a1 1a a2 2bb1 1 b b2 2(mod M)(mod M)， a a1 1a a2 2bb1 1b b2 2(mod M).(mod M). 14随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生n性质：性质：例

11、如：例如：已知已知1260(mod 16)，M=16，取，取C=6，因为，因为(M,C)=2，则有则有210(mod 8)，其中，其中M/(M,C)=16/2=8。或者，或者，取取C=12， M=16，因为因为(M,C)=4，则有，则有15(mod 4)，其中其中M/(M,C)=16/4=4。最大公因子。的和表示，其中，则若CMCMbabCaC),()C)(M,M (mod)M (mod15随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生n求余运算的式子求余运算的式子A(modA(mod M) M)定义为：定义为：Mwhen AMMAAMwhen AAMMAAMA)

12、(mod其中其中 表示求表示求 的整数部分。的整数部分。 MAMA16n均匀随机数的产生：均匀随机数的产生：01)(mod(值xMxrMcaxxnnnn初,.2 , 1n随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录线性同余法（线性同余法（Linear Congruence Generator，LCG）的）的递推公式为：递推公式为：17n均匀随机数的产生：均匀随机数的产生：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录线性同余法的周期：线性同余法的周期：18n均匀随机数的产生：均匀随机数的产生：随机数的

13、产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录线性同余法产生的序列线性同余法产生的序列 一定会重复，因为一共只一定会重复，因为一共只有有M个可能取值。个可能取值。,210 xxx19n均匀随机数的产生：均匀随机数的产生：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录说明：满周期是说明：满周期是T=M时。时。20n均匀随机数的产生：均匀随机数的产生：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录当当c c00时时，上式称为混合同余发生器，当，上式称为混合同余发生器，当

14、c=0c=0时，称为乘同余发生器，此时当模为时，称为乘同余发生器，此时当模为素数时，称它为素数模乘同余发生器。素数时，称它为素数模乘同余发生器。 21n两个常用的混合式发生器：两个常用的混合式发生器：350353511522)2)(mod15(xxrxxnnnn3103131122)2)(mod453806245314159269(xxrxxnnnn,.2 , 1n随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录22n常用的素数模乘同余发生器常用的素数模乘同余发生器 ：312)312()312(mod312535035351xxrxxnnnn,.2

15、, 1n随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录23n常用的素数模乘同余发生器常用的素数模乘同余发生器 ：,.2 , 1n12)12()12(mod31031311xxrxaxnnnin)4 , 3 , 2 , 1( i168071a3972040942a7642611233a6303600164a随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录24n组合发生器组合发生器 ： 先用一个随机数发生器产生的随机数列为先用一个随机数发生器产生的随机数列为基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新基础，再用另

16、一个发生器对随机数列进行重新排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更优的随机数，即组合发生器。优的随机数，即组合发生器。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录25n组合发生器组合发生器 ： 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产

17、生本章目录本章目录MaclarenMaclaren 和和 MarsagliaMarsaglia在在19651965年提出年提出的著名的组合发生器是组合同余发生的著名的组合发生器是组合同余发生器器, ,该算法的具体步骤如下：该算法的具体步骤如下： 26n组合发生器组合发生器 ： 2 用第二个用第二个LCG产生一个随机整数产生一个随机整数 ,要求要求 ;jkj 13 令令 ，然后再用第一个，然后再用第一个LCG产生一个随机数产生一个随机数 ,令令 ；置；置 ;jntx yytj1 nn4 重复重复23，得随机数列，得随机数列 ，即为组合同余发生器产生，即为组合同余发生器产生的数列。若第一个的数列。

18、若第一个LCG的模为的模为 ，令，令 ，则，则 为为均匀随机数均匀随机数 nxMMxrnn nr随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生本章目录本章目录1用第一个用第一个LCG产生产生 个随机数，一般取个随机数，一般取 。这。这 个个随机数被顺序地存放在矢量随机数被顺序地存放在矢量 中。置中。置 ;k),(21ktttT1nk218k27n检验目的：检验目的：检验均匀伪随机数符合独立同均匀分布；检验均匀伪随机数符合独立同均匀分布；n两种检验方法两种检验方法n统计检验：对生成的伪随机数进行假设检验统计检验：对生成的伪随机数进行假设检验n理论检验：从理论上讨论随

19、机数发生器性质理论检验：从理论上讨论随机数发生器性质n统计检验常用近似正态统计量和统计检验常用近似正态统计量和2 2统计量统计量n以下检验方法一般假设用某发生器生成了均匀分布伪随机以下检验方法一般假设用某发生器生成了均匀分布伪随机数数r r1 1，r r2 2，.，r rn n，来检验这些生成的随机数的各种统计量。，来检验这些生成的随机数的各种统计量。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的检验均匀随机数的检验本章目录本章目录281 1、特征量检验、特征量检验 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的检验均匀随机数的检验本章目录本章目录292 2、均匀性检验、

20、均匀性检验 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的检验均匀随机数的检验本章目录本章目录302 2、均匀性检验：、均匀性检验：K-SK-S检验检验 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的检验均匀随机数的检验本章目录本章目录313 3、独立性检验：自相关系数的检验、独立性检验：自相关系数的检验 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的检验均匀随机数的检验本章目录本章目录32均匀随机数检验的均匀随机数检验的SAS程序程序DATA RAN;do j=1 to 2;DO I=1 TO 50;X=UNIFORM(0);OUTPUT;END;end;pro

21、c freq data=ran;/*均匀性检验均匀性检验*/tables i*j/chisq;weight x;run;proc npar1way data=ran edf;/*k-s检验检验*/var x;class j;run;Data ran1;do i=1 to 50;X=UNIFORM(0);y=UNIFORM(0);output;end;proc corr;/*自相关系数检验自相关系数检验*/var x y;run;33均匀随机数检验的均匀随机数检验的SAS程序程序SAS结果输出：结果输出：1、均匀性检验结果：、均匀性检验结果：卡方检验卡方检验由于由于Chi-square的的P值等

22、于值等于1.0000，大于大于0.05，所以接，所以接受原假设，即随机受原假设，即随机数在数在(0,1)这个区这个区间出现的机会均等。间出现的机会均等。34均匀随机数检验的均匀随机数检验的SAS程序程序SAS结果输出：结果输出：2、均匀性检验结果：、均匀性检验结果： K-S检验检验由于由于K-S检验的检验的P值等于值等于0.54，大于，大于0.05，所以接受原，所以接受原假设，即随机数在假设，即随机数在(0,1)这个区间出这个区间出现的机会均等。现的机会均等。35均匀随机数检验的均匀随机数检验的SAS程序程序3、独立性检验结果：、独立性检验结果： 自相关系数检验自相关系数检验由于自相关系数检验

23、的由于自相关系数检验的P值等于值等于0.8646，大于，大于0.05，所以接受，所以接受原假设，即随机数之间是相互独立的。原假设，即随机数之间是相互独立的。P值值原假设原假设36n由均匀分布随机数产生非均匀分布随机由均匀分布随机数产生非均匀分布随机数的主要方法有：直接抽样法，逆变换数的主要方法有：直接抽样法，逆变换法，值序抽样法，合成法和筛选法。法，值序抽样法，合成法和筛选法。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录37n1 1 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）1 1）连续分布的直接抽样法）连续分布的直接抽样法随机数的产生与

24、模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录如果随机变量如果随机变量 是分布函数是分布函数 的反函数，则的反函数，则)(),1 , 0(1FUR)(xF)()(1xFRF如果分布如果分布 有概率密度函数有概率密度函数 ，则，则)(xF)(xfdxxfFR)()(由均匀随机数由均匀随机数 直接产生直接产生 分布随机数的方法称为直分布随机数的方法称为直接抽样法。接抽样法。ir)(xF38n1 1 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）1 1）连续分布的直接抽样法）连续分布的直接抽样法随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数

25、的产生 本章目录本章目录abadxabdxxfFRa1)()(则其他，已知, 0,1)(baxabxfaRab)(即得抽样公式为例：产生例：产生 上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数 。,ba解：解：39n1 1 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）1 1）连续分布的直接抽样法）连续分布的直接抽样法随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录edxeFRx1)(0因为，0, 0) 0( 0,)(xxexfx);1ln(1R即得抽样公式为例：产生密度函数为例：产生密度函数为 的随机数，其中的随机数，其中)(xfRln1为实际应用中抽样公

26、式常解：解：40n1 1 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）2 2）离散分布的直接抽样法）离散分布的直接抽样法随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录41n1 1 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）2 2）离散分布的直接抽样法）离散分布的直接抽样法随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录42n1 1 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）2 2）离散分布的直接抽样法）离散分布的直接抽样法随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数

27、的产生 本章目录本章目录第一步：由第一步：由pk(k=1,2,.)把单位长度的区间把单位长度的区间0,1依次分依次分为长度为为长度为p1，p2，.的小区间的小区间(pi=1)；第二步：产生第二步：产生RU(0,1)，若，若R 长度为长度为pk的小区间，令的小区间，令=x=xk k。重复第二步，即得到离散分布重复第二步，即得到离散分布的随机数序列的随机数序列。43n1 1 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）2 2）离散分布的直接抽样法）离散分布的直接抽样法随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录44n1 1 直接抽样法（反函数法）

28、直接抽样法（反函数法）2 2）离散分布的直接抽样法）离散分布的直接抽样法随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录45n1 1 直接抽样法的局限性：直接抽样法的局限性：连续型分布函数反函数连续型分布函数反函数没有解析表达式时；另一方面可能有效率更高没有解析表达式时；另一方面可能有效率更高的产生随机数的方法。的产生随机数的方法。随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录46随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 n2 2 逆变换法：逆变换法： 本章目

29、录本章目录47随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 n2 2 逆变换法：逆变换法： 对任意分布函数对任意分布函数 ,要产生服从该分布要产生服从该分布的随机数，由定理知其抽样步骤为：的随机数，由定理知其抽样步骤为：（1）由）由 抽取抽取 ; ;（2） 计算计算)(xF) 1 , 0(UR)(1RF本章目录本章目录48随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 n2 2 逆变换法逆变换法： 49n2 2 逆变换法逆变换法： 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录)

30、1 (1)(2xxpn例例1 1 已知已知 ( (柯西分布柯西分布) )， 试给出其试给出其抽样方法。抽样方法。50n2 2 逆变换法逆变换法：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 解：设解：设 , ,则则 , ,因此因此其抽样步骤如下：其抽样步骤如下：（1 1）由）由 抽取抽取 ; ;（2 2）计算）计算) 1 , 0( UR)()(tan21xpR ) 1 , 0 (UR)(tan21R本章目录本章目录51随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2 非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 3 3 值序（次序统计量）抽样法值序（次序统计量）抽样法nXX

31、X,21将样本将样本 按取值由小到大进行重排得到按取值由小到大进行重排得到值序统计量（或称次序统计量），记为值序统计量（或称次序统计量），记为 。所谓值序抽样法就是利用值序统计量产生随机数的方法。所谓值序抽样法就是利用值序统计量产生随机数的方法。)()2()1(,nXXX52随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 3 3 值序（次序统计量）抽样法值序（次序统计量）抽样法), 1 (),min( )1 ,(),max(1)1(1)(nRRRnRRRnnn注：53随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 3 3 值序（次

32、序统计量）抽样法值序（次序统计量）抽样法例：利用值序抽样法产生例：利用值序抽样法产生100个个 的随机数。的随机数。) 1 ,10(解：其抽样步骤如下：解：其抽样步骤如下：1、先产生、先产生n=10个均匀随机数个均匀随机数r1，r2，r10；2、按从小到大的次序重新排列；、按从小到大的次序重新排列；3、r（10）为为(10(10，1)1)的随机数；的随机数；4、循环、循环100100次，产生次，产生100100个个(10，1)的随机数。的随机数。54随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 部分部分SAS结果为结果为:55随机数的产生与模拟随机数的产生与模

33、拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 3 3 值序（次序统计量）抽样法值序（次序统计量）抽样法如产生如产生 随机数，先产生随机数，先产生n=14个均匀随机数个均匀随机数 ，按从大到小的次序重新排列，则，按从大到小的次序重新排列，则 为为 的随机数。的随机数。)10, 5(1421,rrr)5(r)10, 5(一般地产生一般地产生 随机数的步骤为随机数的步骤为(a，b为整数为整数)：(1) 产生产生n=a+b-1个均匀随机数个均匀随机数r1，r2，rn；(2) 排序：排序： r(1)r(2) r(n);(3) 令令 ，并输出服从，并输出服从 分布的随机数分布的随机数),(ba)(ar),

34、(ba56n4 4 复合抽样法（合成法）复合抽样法（合成法） ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录57n4 4 复合抽样法（合成法）复合抽样法（合成法） ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录 例例2：设设 时梯形分布的密度函数为时梯形分布的密度函数为 试用合成法产生其随机数。试用合成法产生其随机数。10 a其他 , 0 1 , 0,)1 ( 2)(xxaaxfaa2)(xf01x2S1S58n4 4 复合抽样法（合成法）复合抽样法（合成法） ：随机数的产生与模拟随机数的产

35、生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 解：解：首先将首先将 进行分解进行分解， 即即)(xf)()1 ()()(21xfaxafxf其他 0 1 , 0, 1)(1xxf) 1 , 2( ( , 0 1 , 0,2)(2分布其他orxxxf本章目录本章目录59n4 4 复合抽样法（合成法）复合抽样法（合成法） ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 产生产生产生产生令令产生产生令令输出输出YN) 1 , 0( URaR ) 1 , 0 (UUU) 1 , 0(,UVU),max(VU本章目录本章目录其抽样框图为其抽样框图为60n5 5 筛

36、选抽样法（舍选法）筛选抽样法（舍选法） ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录61n5 5 筛选抽样法（舍选法）筛选抽样法（舍选法） ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录舍选抽样定理：舍选抽样定理：注：注：h(X)不必是密度函数。不必是密度函数。62n5 5 筛选抽样法（舍选法）筛选抽样法（舍选法） ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录证明：证明：63n5 5 筛选抽样法（舍选法）筛选抽样法（舍选法） ：1) 1

37、) 舍选抽样法舍选抽样法I I 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录设随机变量设随机变量 的分布密度的分布密度 有上界函数有上界函数 ：且且 ，令，令 ；取；取为均匀分布密度，则舍选抽样法为均匀分布密度，则舍选抽样法I产生产生Z随机数的抽样过程为：随机数的抽样过程为：Z)(zp)(zM)z( )()(对一切zMzpdxxMC)(CxMxf/ )()()(yg1、生成、生成 ；2、生成、生成3、如果、如果 ，令，令Z=X；否则转到；否则转到1重新抽样，重新抽样，则则Zp(z)。)(xfX独立；与，且随机数，即产生RXRUygR) 10(

38、)()(/ )(XMXpR 64随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录注：注：上界函数上界函数 的选取除满足的选取除满足 外，外， 还要求还要求 的随机数容易生成。的随机数容易生成。 故对区间故对区间a,b上的密度函数上的密度函数 ，常取，常取 恒为常数，恒为常数， 就是就是a,b上均匀分布的密度函数。上均匀分布的密度函数。)(zM)z( )()(对一切zMzpCxMxf/ )()()(xp)(xM)(xfn5 筛选抽样法（舍选法）筛选抽样法（舍选法） ：1) 舍选抽样法舍选抽样法I 65随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀

39、随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录n5 筛选抽样法（舍选法）筛选抽样法（舍选法） ：1) 舍选抽样法舍选抽样法I 66n5 5 筛选抽样法筛选抽样法1) 1) 舍选抽样法舍选抽样法I I：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录例例4 试产生密度函数为试产生密度函数为 的随机数的随机数 ，其中，其中 的取值在有限的取值在有限区间区间 上，且上，且 。)(xp,ba0,)(supfxpbax解：解：则其他，取 , 0,)( 0baxfxMelsebaxabdxfxMxfba0,1)()(00)()(fxpxh67n5 5 筛选

40、抽样法（舍选抽样法筛选抽样法（舍选抽样法I I） ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录1、生成、生成 ；2、生成、生成3、如果、如果 ，令，令Z=X；否则转到否则转到1重新抽样，则重新抽样，则Zp(z)。,),(baxxfX独立；与，且RXygR)(0/ )(fXpR 抽样过程为：抽样过程为：抽样框图为：抽样框图为：产生产生 ，计算计算) 1 , 0( URhR ZXZ，输出令01/ )(,)(fxphaRabX) 1 , 0(1UR是是否否68n5 5 筛选抽样法（简单舍选法）筛选抽样法（简单舍选法） ：随机数的产生与模拟随机数的

41、产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录当随机变量当随机变量Z在有限区间在有限区间a，b上取值，且上取值，且Z的密度函数的密度函数p(x)有上界有上界f0，这类密度函数的抽样法也称，这类密度函数的抽样法也称简单舍选抽样法简单舍选抽样法。0 xyab)(xp1P2P0f69n5 5 筛选抽样法（简单舍选法）筛选抽样法（简单舍选法） ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目录简单舍选抽样法的简单舍选抽样法的效率效率：70随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章目

42、录n5 5 筛选抽样法筛选抽样法 1) 1) 舍选抽样法舍选抽样法I I：例子：例子- -带有上下界的密度带有上下界的密度解：因为解：因为Zp(z)，z (0，2)；21)(3 . 0zzp181)(,82)(41)(, 2)(,21)(1220ppFxxxFxxfdxxMczxM是密度，令算法算法：(1) 生成生成Xf(x)，用反函数法；，用反函数法； (2) 生成生成RU(0，1)，与，与X独立；独立；否则重新抽样。接受必成立，（？），则若XXMXpRxMR)(/ )()(/3 . 0) 3(说明：使用下界函数说明：使用下界函数可以减少计算可以减少计算p(x)。71随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 本章目录本章