概率论与数理统计期末考试试卷答案(二)

1、概率论与数理统计试卷A(考试时间：90分钟；考试形式：闭卷)(注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效) 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1、A, B为二事件，则 AU B =()A AB b、AB c、 aB d 、RUB2、设A, B, C表示三个事件，则 ABC表示()A、A, B, C中有一个发生B、A, B, C中恰有两个发生C、A, B, C中不多于一个发生 D、A, B, C都不发生3、A、B为两事件，若 P(A|JB)=0.8, P(A)=0.2, P(B)=0.4,则()成立A、 P(AB)=0.32 B 、 P(AB

2、)=0.2C、P(BA)=0.4 D、P(BA)=0.484、设A, B为任二事件，则()A、P(A-B) =P(A)-P(B) B、P(A|JB) =P(A)+P(B)C、P(AB) =P(A)P(B) D 、P(A) = P(AB)+P(AB)5、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是 (A、A与B独立 B 、A与B独立C、P(AB) =P(A)P(B) D、A与 B一定互斥6、设离散型随机变量 X的分布列为第9页共15页X012P0.30.50.2其分布函数为F(x),则F(3)=(X 0,1其它A、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 cx47、设离散型随机变量 X的密度函数为f

3、(x) = « 0,A、- B、1 C、4 D、55421 j8、设XN(0,1),密度函数<P(x) =-=e 2 ,则中(x)的最大值是(2 二9、设随机变量X可取无穷多个值0,1,2,3k，其概率分布为p(k;3) = e,k = 0,1,2,| ,则下式成立的是 k!1A EX = DX =3 B、EX = DX =1 3-11C EX =3, DX D、EX =, DX =9 3310、设X服从二项分布B(n,p),则有()A E(2X -1) =2npBD(2X 1) =4np(1 - p) 1C E(2X 1) =4np 1 DD(2X -1) =4np(1 -

4、p)11、独立随机变量 X ,Y,若XN(1,4) , YN(3,16),下式中不成立的是(A E X Y =4 B 、E XY =3 C、D X -Y =12 D、E Y 2 =16X123p1/2c1/412、设随机变量 X的分布列为：则常数c=A 0 B 、1 C 、1 D 、14413、设XN (0,1),又常数c满足PX之c=PX <c，则c等于(A 1 B 、0 C 、1 D 、-1214、已知 EX =1, DX =3 ，则 E 3(X2 2 )= ()A 9 B 、6 C 、30 D 、3615、当X服从() 分布时，EX = DX。A、指数 B 、泊松 C、正态 D、均

5、匀16、下列结论中，(是随机变量 X与Y不相关的充要条件。A E(XY) = E(X)E(Y) B 、D X Y = DX DYC Cov(X,Y) = 0 D 、X与Y相互独立17、设 X b(n, p)且 EX =6,DX =3.6,则有()A n=10,p=0.6 B、n=20,p=0.3C n =15, p =0.4 D、n =12, p =0.518、设p(x ,y)p x)p 11y )分别是二维随机变量 哈门)的联合密度函数及边缘密度函数，则 ( )是U与 。独立的充要条件。A、Ei E E B 、D1；“)： D DC 之与"不相关 D 、对 vx, y,有 p(x,

6、 y )= pt(x)pn( y )19、设是二维离散型随机变量，则X与Y独立的充要条件是()A E(XY) = EXEy B 、D(X+Y)=DX+DY C 、X 与Y不相关D X ,Y的任何可能取值 xi , yjPj = P|_Pj4xy. 0 x. y 120、设(X ,Y )的联合密度为p(x,y)=， y,、'0,其它若F(x,y)为分布函数，则F(0.5,2) = ()A 0 B 、1 C 、1 D 、1 42二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)1、若事件 A 与 B相互独立，P(A)=0.8 P(B)=0.6。求：P( A + B)和 P A|(A + B

7、)2、设随机变量 X U N(2,4),且中(1.65) =0.95。求 P(X ±5.3)0,3、已知连续型随机变量的分布函数为F(x) =0 <x <4 ,求 EE和 Dto4，x > 44、设连续型随机变量 X的分布函数为F (x) = A + Barctgx< x < +=c求： (1)常数A和B；(2) X落入(-1 , 1)的概率；2，-,如果命中了就停止射击,3EX ； (3) DX(3) X的密度函数f(x)5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为否则一直独立射到子弹用尽。求：(1)耗用子弹数 X的分布列；(2)Zxy, 0<x,y

8、 <16、设（的联合密度为p（x,y） = <苴二 ，0求：（1）边际密度函数 px）, py）； （2） EE, En ; （3）。与州是否独立三、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）1、设X/X2是来自正态总体 N（N,1）的样本，下列三个估计量是不是参数 N的无偏估计量，若是无偏估计量，试判断哪一个较优？1 =1X11X2le x 02、设 J f(x,6)=日 e0 其它44（日>0） x1，x2，”。为之的一组观察值，求 日的极大似然估计。概率论与数理统计试卷答案及评分标准、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）题号12345678910答案

9、BDCDDDDCAD题号11121314151617181920答案CCBBBDCDDB、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1、解：A与B相互独立P(A+B) = P(A) + P(B)P(AB) ( 1 分)= P(A) +P(B) -P(A)P(B) (1 分)= 0.8 0.6-0.8?0.6= 0.92 (1 分)又 p(A|a + b)=PA* (1 分)P(A+B)=p(AB) =p(A)p(B)(2 分)P(A B) P(A B)=0.13 ( 1 分)2、解：P(X >5.3) =1 一 I'53-2- 1(5分)=1 (1.65) =1 -0.95

10、=0.05 ( 2 分)3、解：由已知有3!_ U （0,4 ） （ 3分）则：e =a"/ =222b-a4D =.1 23(2分)(2分)4、解：(1)由 F(g) =0, F(y) =1有:A-B =02A B =12一， 11解之有：A B =2 二(3分)1(2分)(2) P(-1 ：二 X ；1) = F(1) F(1) =2 f(x) =F (x)=2二(1 x )(2分)5、解：(1)X123P2/32/91/9(3分)(2) EX =、 xipi=1 2 2 ±3 二13(2分)2 一(3) EX =£2.xi pi =123DX =EX2 -(

11、EX)2236、解：(1) px) = P -p(x,-* -Od132(7)13881(2分)y)dy = 04xydy = 2x0 _x_1其它2x P (x)二0一2y同理：p (x)=0< y<10,其它(3分)二 1 2(2) E = xp (x)dx = 2x dx .02(2分)(2分)同理：E =23(3) p(x, y) = pi(x)pn(y)£与”独立三、应用题(本大题共2小题，每小题9分，共18分),21,1、解： EN1 =E(X1 +-X2) = N33同理：E-2 = E -3 = 3吃，匕，匕为参数N的无偏估计量(3分),21415 2又D

12、1 =D(X1X2)DX1 DX2=-c-3399910 22 2同理：D2=一仃 2, D3=一仃2164且D3二D1。2一、(共30分，每题5分)也较优（6分）2、解：Xi,X2，Xn的似然函数为:n i L（Xi, X2,，Xn=口 -e Ei 4 11 ,n,1i 1-.e -（3分）1 nLn（ L） = n In 1-q xi-i 4dLn（L）din 1 J n2 -为=012 i4解之有:八 1二 一x = Xi = Xn i 4（6分）第13页共15页1、设事件 A 与 B相互独立，P( A) = 0.5,P(AU B) = 0.8,求 P(AB).解：因为事件A与B相互独立

13、，所以P(AB) = P(A)P(B)P(AU B) = P(A)+ P(B) - P(A)P(B).2 分由 P(A) = 0.5, P(AU B) = 0.8,得 P(B) = 0.6.2 分P(AB) = P(A)P(B) = 0.2.1 分 、一 11 12、三人独立地去破译一份密码，他们译出的概率分别为-,-,-.5 3 4求能将此密码译出的概率.1113解：P = 1 (1 -)(1 -)(1 -) = -.5 分53453、设随机变量X的分布律为X-1012p0. 1250. 250.250. 375.3分.2分求Y=X2+1的分布律，并计算P(1<X<3).Y125

14、P0.250. 3750.375P(1 £ X 3) = 0.6254、设随机变量X服从参数为九的泊松分布，且已知E(X - 1)(X - 2) = 1求九.2分解：E(X) = D(X) =，,，E(X 1)(X 2) = E(X2 3X 2)2.2分=D(X) E(X)2 3E(X) 2 = 1所以九2 2九十1 = 0 ,得九=1.1分5、为检查某食用动物含某种重金属的水平，假设重金属的水平服从正态分布X N”,。2)”产均未知，现抽取容量为25的一个样本，测得样本均值为186,样 本标准差为10,求N的置信度为0.95的置信区间.解：总体均值N的置信度为0.95的置信区间为.

15、2分s(X-nt0.025(n-1)(186 -102.0639).2分所求置信区间为(181.8722, 190.1278).1分6、某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖重量X N (匕。2),当机器正常时, 其均值N =0.5公斤，标准差仃=0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常，随机 地抽取它所包装的糖9袋，称得平均重量为0.511公斤，问这天包装机工作是否正常？(取显著水平口 =0.05)解：由题意设 H0：N=0.5;H1：N#0.5.1 分X - 0 5拒绝域为| J05FZ0.0 2 5.1分由于|X 0.5二 n0.511 0.5 0.015 9 22z0.025

16、 = 1.96,.2分即2.2>1.96,拒绝原假设，认为这天包装机工作不正常.1分、(共18分，每题6分)1、设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为2e-2xfx(X)二 0,x 0,x < 0.3e y, fY(y),0,y 0,y w 0.求：(1) E(2X3Y);(2) D(2X 3Y); (3) PXY .11角牛：(1) E(2X 3Y) =2E(X) 3E(Y) = 2m -3m =0;.2 分 23(2) D(2X -3Y) = 4D(X)+9D(Y) = 49父 1 = 2; 2分49(3)因为量X和Y相互独立，所以PXY=0.2分2第2、已知随机变量 X N

17、 (1,25),Y N (2, 36) , Pxy = 0.4 ,求：U=3X+2Y与V=X-3Y的协方差.号解：Cov(U,V) =Cov(3X +2Y,X -3Y)学= 3D(X) -9Cov(X,Y) + 2Cov(X,Y) -6D(Y)- -.3 分= 3D(X)-7：xy D(X) D(Y) -6D(Y)=3父25-7父0.4父 5M 6-6父36= -225.3 分名姓3、设X1,X2，X13是来自正态总体N(0,1)的一个样本，且已知随4c13cc机变量Y =a(£ Xi)2 + b伍Xi)2服从自由度为2的”分布， i =1i =5求a,b的值.普 解:因为Xi N

18、(0,1)且相互独立，i = 1,2,，13.,413八B计统理数与论率所以，£XiN(0,4), £XiN(0,9),.2 分yi=541 131£XiN(0,1), 1£XiN(0,1),且相互独立.2 分2u3iw由7 2分布的定义，得(1改1)5春1(5- F Xi)2 7 2(2),2y 13i 书三、(共18分海题6分)1、设总体X N (52, 62)，现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值X落入(50.8,53.8)之间的概率.解：X - N(52,1),.2 分P50.8 X 53.8 = ：' (53.8 52) - ：

19、(50.8 一 52).1分= 6(1.8) G(1.2)=0.9641 1 十0.8849.3 分= 0.849Aex,x m 0,I2、设随机变量X的分布函数为F(x)=<B,0< x< 1,1 - Ae-(x-1), x> 1.1求：(1) A,B 的值；(2) PX >-.3解：(1)由连续型随机变量分布函数的连续性，得lim F(x) = F(0), lim F(x)= F(1), x0 一x1一-A= B -八即解得A=B = 0.5.3分月=1 - A一11(2) PX > = 1 F(一) = 1一0.5 = 0.5.3 分33第21页共15

20、页3、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄 球，二号袋中装2个红球，1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中 任取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率.解:设Ai=从箱子中取到i号袋i =1,2B=抽出的是红球P(B) = P(A1)P(B|Ai)P(A2)P(B|A2).2分112 2=53 3 3 3 9.1分P(A1|B)二心!3_ ' P(Ai)P(B|Ai) i 1.3分四、(8分)设随机变量X具有密度函数f(x)=«'Ax, 0 < x < 1,0, 其它.(1)常数A; (2) X的分布函数.(1)因为亡f (x)dx =1.2分级班题试B计统理数与论率概IXxd21X0O 1广 一 1 .1 1 12ax1>-五、（8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为 60、30、10件，现从中随机抽取一件，记Xi =1,若抽到i等品a没有抽到i等品.求X1,X2的联合分布律.解：设A1, A2,A3分别表示抽到一、P(X1 =0,XP(X1 =0,XX1，X20)= p(a3) =0.11) = P(A2) =0.3二、三等品,P(X1 = 1,XP(X1 = 1,X0) = P(A1) = 0.61) = 02.8分（每个2分）六、（10分）设随