微分几何第二章2

1、第第二章二章 曲线论曲线论空间空间曲线的密切平面曲线的密切平面1、定义、定义 过空间曲线上 P 点的切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，平面 的极限位置 称为曲线在 P 点的密切平面。O)(0tP)(0ttQ)(0trR 对于 类的曲线上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切平面。2c 2、密切平面的方程、密切平面的方程 给出 类的曲线（C）： 有因为向量 和 都在平面 上，所以它们的 线性组合 也在平面 上。两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此只要 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为 2C)(trr2021000)

2、()()()(ttrttrtrttrPQ )(0trPQ )()(0022trttrPQt)(0tr 0)()( trtr0)(),(),(000 trtrtrRO)(0tP)(0ttQ)(0trR用 表示 P 点的密切平面上任一点的向径， 则上式表示为如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。 ,ZYXR 0)()()()()()()()()(000000000 tztytxtztytxtzZtyYtxXP题 求园柱螺线上任一点的密切平面。平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。1、给出 类曲线 得一单位向量 ，称为曲线（C）上 P 点的单位切向量单位切向量。 （ 注意到 ） 称 为

3、曲线在 P 点的主法向量主法向量,它垂直于单位切向量。称 为曲线在 P 点的付法向量付法向量。把两两正交的单位向量 称为曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。 2C)(srrdsrdrrr 1,空间空间曲线的基本三棱曲线的基本三棱形形（Frenet)标架2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。),(trr3、对于曲线（C）的一般参数表示 有rrrrrrrrrrrrrrr )()(,空间空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式曲线的曲率，挠率和伏雷内公式2.曲率曲率的几何意义的几何意义是曲线的切向量对于弧

4、长的旋转速度。曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的弯曲程度。 设空间曲线（C）为 的，且以 s 为参数。 1、曲率曲率 定义（C）在 P 为的曲率为 有 （一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）3Cssks0lim)()(s)(ss)(skP1P计算公式计算公式，若曲线)(: )() 1 (srrC.为为自自然然参参数数s )(skr rr ，若曲线)(: )()2(trrC.为为一一般般参参数数t3)(rrrtk ),()()3(xfyC为平面曲线若曲线.)1()(232yyxk . 0率恒等于结论：直线的特征是曲3、挠率挠率 与曲率类似有 ss0lim)(ss )(s

5、s)(s)(skrr )()(,)(sksk./) 1.(, 定义定义 曲线（C）在 P 点的挠率为挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。)(s,异向和当.,同向和当 4、由定义可得 又 于是有 这个公式称为空间曲线的伏雷内（伏雷内（Frenet)公式公式。它的系 数组成一反称方阵)(s)()()()()(ssksks)(s)()(ssk)(sk0)(0)(0)(0)(0sssksk 2.5 曲线论基本定理曲线论基本定理 已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，

6、都是曲线本身的内在不变量的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变持不变. 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了对确定空间曲线的形状已经足够了 曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，但与刚体运动和坐标变换无关。我们把 称为空间曲线的自然方程。)(),(sskk空间曲线论基本定理空间曲线论基本定理)(),(ssk, 0)(s)(s)(s)(s 给出闭区间s0,s1上的两个连续函数 ,则除了空间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得

7、参数 s 是曲线的自然参数，且 和 分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为 , a b11,a b0, l1s2sR12几几个例题个例题例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。例2 曲率恒为零的曲线是直线。例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。.16425,4145,42222bababbaa,sin,cosbaar 16425,sin414,cos414r解解 由题意，可设曲线为园柱螺线 因此得所求园柱螺线为一般一般螺线螺线圆柱螺线圆柱螺线一般螺线一般螺线定义定义)(一一般般螺螺线线.角角的的曲曲线线叫叫做做一一般般螺螺线线切切线线和和固固定定方方

8、向向成成固固定定注注螺线；）一般螺线也叫做柱面（ 1.2是一般螺线的特例是一般螺线的特例平面曲线（包括直线）平面曲线（包括直线）（除外，本节把直线和平面曲线. 0, 0 k即假设即假设性质性质1 1.)(垂直主法线与一个固定方向是一般螺线曲线C证：证：.)(成固定角的单位向量与一个固定方向切向量是一般螺线曲线pC cos p0 p 0 pk 0 p )0( k.垂直主法线与一个固定方向性质性质2 2.)(成固定角副法线与一个固定方向是一般螺线曲线C证：证：垂直的单位向量与一个固定方向是一般螺线曲线pC)(0 p 0 p 0 p )0( .成固定角副法线与一个固定方向常常数数 p ”“常常数数，

9、若若 k, kp 取取 kp kk , 0 .为为常常向向量量p )(kp而而, 0 .)(是是一一般般螺螺线线曲曲线线 C性质性质3 3.)(常数是一般螺线曲线kC证：证：”“是一般螺线，若曲线)(C, p则存在单位向量，使使得得0 p ，即即0 p , 0)( pk 0sincos k).),( p其其中中).(tan常常数数 k标准方程标准方程轴轴，设设柱柱面面的的母母线线平平行行于于 z,3ep 则则可可令令),(srr再设一般螺线的方程为可知：由cos p,cos3 e,cos1 , 0 , 0, dsdzdsdydsdx即即,cosdsdzCsz cos).( 为为常常数数C, 0

10、,0 sz时时若若令令. 0 C则则,cos sz :于于是是一一般般螺螺线线的的方方程程为为,cos),(),( ssysxr ).)(),(为为任任意意函函数数其其中中sysx 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开曲线参数方程在一点的标准展开,6121:)(30020 sksksC 或或.,近似形状邻近的完全决定了曲线在该点率曲线在一点的曲率、挠可见在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影).(2 C上的投影方程为：上的投影方程为：在法平面在法平面0 ,6121030020 sksk s消参数消参数3020292, 0 k （如如图图）它它是是一一条条半半立立方方抛抛物物线线0 P0 0

11、上的投影方程为：上的投影方程为：在切平面在切平面0 ,610300 sks s消参数消参数30061, 0 k 如如图图）它它是是一一条条立立方方抛抛物物线线（0 00 0 P0 0 00 0 P0 上的投影方程为：上的投影方程为：在密切平面在密切平面0 s消参数消参数2021, 0 k ）它它是是一一条条抛抛物物线线（如如图图0 0 0 P,02120 sks结结论论. 30 00 0 P0 0 P0 0 0 0 0 P0 0 0 P00 0 00 0 P0 0 0 0 P00 结结论论. 30 0 0 P00 0 0 0 P00 ，穿穿过过法法平平面面和和密密切切平平面面在在点点曲曲线线P

12、C)()1(但不穿过从切平面；向；总是指向曲线凹入的方主法向量0)2(是右旋的；在点时，曲线PC)(0)3(0.)(00是左旋的在点时，曲线PC2.7 存在对应关系的曲线偶存在对应关系的曲线偶1C2C1C2Cn1C2Csc0s sl2.8 平面曲线平面曲线本节研究平面曲线的特殊性质,平面曲线可以看作挠率为零的空间曲线，但是平面曲线有一些独特的性质，特别是闭曲线的整体性质。一、平面曲线的一、平面曲线的Frenet标架标架Cyx0s slO( ) s( )s, ( )x f xi二、平面曲线的二、平面曲线的Frenet公式公式三、相对曲率的几何三、相对曲率的几何意义意义四、平面曲线论基本四、平面曲线论基本定理定理五、旋转指标五、旋转指标定理定理2cos,sin,cos33tttr