函数的连续性()

1、教学要求：教学要求：1. 理解函数连续性的概念；理解函数连续性的概念；2. 会判别函数间断点的类型；会判别函数间断点的类型；3. 了解初等函数的连续性了解初等函数的连续性. .函数连续的概念函数连续的概念一一 .函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类二二 .函数的连续性函数的连续性连续函数的运算与初等连续函数的运算与初等三三 .函数连续的概念函数连续的概念一一1.增量增量 , , 1221记为记为的增量的增量为为则称则称变到变到从从设变量设变量uuuuuu . 12uuu .)()()()( ),()( , ),( 0000000为函数的增量为函数的增量则称则称相应地函数值由相应地函数值由由

2、由当自变量当自变量对于函数对于函数xfxfxfxxfyxxfxfxxxxxfy 一般地，一般地，.的变化而变化的变化而变化随随 xy )(. 20处的连续性定义处的连续性定义在在函数函数xxfy xy00 xxx 0)(xfy x y 0lim0 yxxy0 xx 00 xx y )(xfy 0lim0 yx定义定义1. )( , 0lim ),()(000处连续处连续在在则称则称若若定义在定义在设设xxfyyxUxfyx 定义定义2. )( ),()(lim ),()(0000处连续处连续在在则称则称若若定义在定义在设设xxfyxfxfxUxfyxx :)(3定义定义定义定义 .)()(,

3、0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当概括起来概括起来f(x)在在x0处连续必须满足三个条件：处连续必须满足三个条件：有定义有定义)()1(0 xf存在存在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 3.左右连续定义左右连续定义 ;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 注意：注意：(1)f(x)在在x0连续与它在该点左右连续的关系有如下结论连续与它在该

4、点左右连续的关系有如下结论:)()0()0()()(lim00000 xfxfxfxfxfxx (2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续；对于区间的左端点只要右连续则称为连续； 对于区间的右端点只要左连续则称为连续对于区间的右端点只要左连续则称为连续.4.函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数, ,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续. .,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连

5、续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定!连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.), 0(ln. 1上连续上连续在在证明证明 xyexProof. ), 0(0 x.lnlnlim00 xxxx 即证即证, 0 ,lnln 0 xx要使要使,ln 0 xx只要只要, 0 exxe 即即, 0,000 exxexx 得得由由),1()1(000 exxxex,1,1min00 exex取取,lnln,00成立成立有有时时当当 xxxx.lnlnlim00

6、xxxx .函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类二二1.间断点的定义间断点的定义 若若f(x)至少满足下列条件之一，则称至少满足下列条件之一，则称f(x)在在x0处不连续处不连续, x0为为f(x)的间断点的间断点.无意义无意义)()1(0 xf不存在不存在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx .0,sgn)(. 2处的连续性处的连续性讨论讨论设设 xxxfexSolution. ,0 , 00 , 1)( xxxf, 0)0( f又又, 1)(lim0 xfx),0()(lim0fxfx 但但.)(0,0)(的间断点的间断点为为处不连续处不连续在在xfxxx

7、f ,0)(, 1)0(处的定义处的定义在在改变改变若令若令 xxff.0)(处连续了处连续了在在则则 xxf这种间断点称为这种间断点称为可去间断点可去间断点.0,sin)(. 3处的连续性处的连续性讨论讨论设设 xxxxfexSolution. ,0sin)(处没有意义处没有意义在在 xxxxf.)(0的间断点的间断点为为xfx , 1sinlim)(lim00 xxxfxx又又,0)(, 1)0(处的定义处的定义在在补充补充若令若令 xxff.0)(处连续了处连续了在在则则 xxf这种间断点也称为这种间断点也称为可去间断点可去间断点.1,1 , 21 ,11)(. 42处的连续性处的连续性

8、讨论讨论设设 xxxxxxfexSolution. ,2)1(有定义有定义 f11lim)01(21 xxfx11lim21 xxx, 2)1(lim1 xx11lim)01(21 xxfx11lim21 xxx, 2)1(lim1 xx,)(lim1不存在不存在xfx.)(1的间断点的间断点为为故故xfx 函数图形在间断点函数图形在间断点x=1处发生跳跃，故称处发生跳跃，故称跳跃间断点跳跃间断点.0,1)(. 5处的连续性处的连续性讨论讨论设设 xxxfexSolution. ,01)(处没有意义处没有意义在在 xxxf.)(0的间断点的间断点为为xfx ,1lim)(lim00 xxfxx

9、又又这时称这时称x=0为为f(x)的的无穷间断点无穷间断点.0,1sin)(. 6处的连续性处的连续性讨论讨论设设 xxxfexSolution. ,01sin)(处没有意义处没有意义在在 xxxf.)(0的间断点的间断点为为xfx ,1sinlim)(lim00不存在不存在又又xxfxx ,111sin,0之间振动无限多次之间振动无限多次与与在在时时且当且当 xx这时称这时称x=0为为f(x)的的振荡间断点振荡间断点.2.间断点的分类间断点的分类 间断点是根据左右极限是否存在进行分类的间断点是根据左右极限是否存在进行分类的!,)(0的间断点的间断点为为设设xfx;,)0()0()1(000为

10、第一类间断点为第一类间断点则称则称都存在都存在与与若若xxfxf ; ,)0()0()2(000为第二类间断点为第二类间断点则称则称至少有一个不存在至少有一个不存在与与若若xxfxf 可去间断点可去间断点(左右极限存在且相等的间断点左右极限存在且相等的间断点)跳跃间断点跳跃间断点(左右极限存在但不相等的间断点左右极限存在但不相等的间断点)无穷间断点无穷间断点(极限为无穷大的间断点极限为无穷大的间断点)振荡间断点振荡间断点(极限不确定的间断点极限不确定的间断点)如图所示如图所示可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx

11、0 xoyx0 x .函数的连续性函数的连续性连续函数的运算与初等连续函数的运算与初等三三1.连续函数的运算连续函数的运算 定理定理1（四则运算）（四则运算）.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf Proof. 则则),()(lim),()(lim0000 xgxgxfxfxxxx )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )()(00 xgxf )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )()(00 xgxf 定理定

12、理2（反函数的连续性）（反函数的连续性）严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. .定理定理3（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若Proof. ,)(连续连续在点在点auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(

13、afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置!2.初等函数的连续性初等函数的连续性 (1)基本初等函数在其定义域内是连续的基本初等函数在其定义域内是连续的.三角函数的连续性三角函数的连续性: ),(sin内内连连续续在在 xy ),(cos内内连连续续在在 xy-由连续的定义可证由连续的定义可证. xxxycossintan xxxysincoscot xxycos1sec xxysin1csc -由连续性的四则运算可证由连续性的四则运算可证.反三角函数的连续性反三

14、角函数的连续性: 由反函数的连续性得到由反函数的连续性得到. 对数函数的连续性对数函数的连续性: 内连续内连续在在), 0(ln xy-已证已证内连续内连续也在也在), 0(lnlnlog axxya指数函数的连续性指数函数的连续性: xxeyay ,-由反函数的连续性得到由反函数的连续性得到. 幂函数的连续性幂函数的连续性: xexyln -由复合函数的连续性得到由复合函数的连续性得到. (2) 初等函数在其定义区间内是连续的初等函数在其定义区间内是连续的.注意注意:(1)弄清楚定义域弄清楚定义域, 定义区间定义区间, 连续区间的关系连续区间的关系; 并会求并会求 函数的连续区间函数的连续区

15、间.(2)记住初等函数的连续区间即为定义区间记住初等函数的连续区间即为定义区间; 而分段函而分段函 数需考虑分段点的情况数需考虑分段点的情况.(3)利用函数的连续性可求极限利用函数的连续性可求极限.?, sinsin . 7有连续区间吗有连续区间吗的定义域的定义域求求xxyex Solution. 0sin0sinxx, 0sin x), 2, 1, 0( kkx 为所求函数的定义域为所求函数的定义域.故没有连续区间故没有连续区间. 0 , 10 ,sin . 82连续区间连续区间求求 xxxxxyexSolution. ),()(的定义域为的定义域为xf;,sin)(,0连续连续为初等函数为

16、初等函数时时当当xxxfx ;,1)(,02连续连续为初等函数为初等函数时时当当 xxfx, 1)0( f而而, 1sinlim)(lim)00(00 xxxffxx, 1)1(lim)(lim)00(200 xxffxx.0,)(lim0为间断点为间断点即即不存在不存在 xxfx)., 0)0 ,( 和和连续区间为连续区间为.0, 0, 0,cos)( ,. 9处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfaexSolution.xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使

17、,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a).1, 0( )1(loglim.100 aaxxexax计算计算Solution. xaxaxxxx100)1(loglim)1(loglim )1(limlog10 xxax .ln1logaea .1)ln(lim.110 xexexx 计算计算Solution. xexx)1ln(lim0 原式原式exexex10)1ln(lim xexexe)1ln(lim10 )1(limln10 xexexe .1ln1eee .1)1(lim.120 xxexax 计算计算Solution. ,1)1(uxa 令令,1)1(uxa ),1ln()1ln( uxa 则则. 0,0 ux时时且且xuxxxax00lim1)1(lim )1ln()1ln(lim0uxaxux xxuuax)1ln()1ln(lim0 . a 若若)(xf在在0 x连续，则连续，则| )(|xf、)(2xf在在0 x是否连续？是否连续？又若又若|