两个计数原理第2课时

1、第一章计数原理第一章计数原理人人教教A版版 数学数学 选修选修2-1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一章第一章第第2课时两个基本原理的应用课时两个基本原理的应用 第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-新知导学新知导学1用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析计算之前要进行仔细分析需要分类还是需要分步需要分类还是需要分步应用应用_原理时，要注意原理时，要注意“类类”与与“类类”之间的独立之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；

2、性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用应用_原理时，要注意原理时，要注意“步步”与与“步步”之间是连续的，之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成成，这件事才算完成加法加法乘法乘法第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-2分类要做到分类要做到_，分类后再分别对每一类进行，分类后再分别对每一类进行计数，最后用计数，最后用_求和，得到总数求和，得到总数3分步要做到分步要做到_，步与步之间要，步与步之间要_，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相

3、乘得到总根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数数不重不漏不重不漏分类加法计数原理分类加法计数原理步骤完整步骤完整相互独立相互独立第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-数字问题解析解析组成的自然数可以分为以下四类：组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有第一类：一位自然数，共有4个；个；第二类：二位自然数，又可分两步来完成，先取出十位上的数字，再取出个位上的数第二类：二位自然数，又可分两步来完成，先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有字，共有4416(个个)；第三类：三位自然数，又可分三步来完成每一步都可以从第三类：三位自然数，

4、又可分三步来完成每一步都可以从4个不同的数字中任取一个不同的数字中任取一个，共有个，共有44464(个个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成每一步都可以从第四类：四位自然数，又可分四步来完成每一步都可以从4个不同的数字中任取一个不同的数字中任取一个，共有个，共有4444256(个个)由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为41664256340(个个)数字问题第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2- 用用0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字的比可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数大的四位奇数_个个答

5、案答案120解析解析按末位是按末位是1、3、5分三类计数：第一类：末位是分三类计数：第一类：末位是1，共有，共有44348个；第二类，末位是个；第二类，末位是3的共有的共有34336个；第三类末位是个；第三类末位是5的共有的共有34336个，由分类加法计数原个，由分类加法计数原理知共有理知共有483636120(个个)数字问题数字问题第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2- 1在在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为组成分数，其中假分数的个数为()A20 B10 C5 D24答案答案B解析解析假分数的

6、分子不小于分母故以假分数的分子不小于分母故以2为分母的有为分母的有4个；以个；以3为分母的有为分母的有3个；以个；以5为分母的有为分母的有2个；以个；以7为分母的只为分母的只有有1个由加法原理知共有个由加法原理知共有432110个个数字问题数字问题第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-平面区域问题1234解析解析第一类：第一类：1号区域与号区域与4号区域同色，此时可分三步来完号区域同色，此时可分三步来完成，第一步，先涂成，第一步，先涂1号区域和号区域和4号区域，有号区域，有5种涂法，第二步，种涂法，第二步，再涂再涂2号区域，只要不与号区域，只要不与1号区域和号区

7、域和4号区域同色即可，因此有号区域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂种涂法；第三步，涂3号区域，只要不与号区域，只要不与1号区域和号区域和4号区域同号区域同色即可，因此也有色即可，因此也有4种涂法，由分步乘法计数原理知，有种涂法，由分步乘法计数原理知，有54480种涂法；种涂法；第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-平面区域问题1234第二类：第二类：1号区域与号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成，第一步，先涂号区域不同色，此时可分四步来完成，第一步，先涂1号区域，有号区域，有5种涂法，第二步，再涂种涂法，第二步，再涂4号区域，只要不与号区域，只要不与1

8、号区域同色即可，号区域同色即可，因此有因此有4种涂法；第三步，涂种涂法；第三步，涂2号区域，只要不与号区域，只要不与1号区域和号区域和4号区域同色即号区域同色即可，因此有可，因此有3种涂法；第四步，涂种涂法；第四步，涂3号区域，只要不与号区域，只要不与1号区域和号区域和4号区域同号区域同色即可，因此也有色即可，因此也有3种涂法由分步乘法计数原理知，有种涂法由分步乘法计数原理知，有5433180种涂法依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为种涂法依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为80180260.第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-如图，一环形花坛

9、分成A、B、C、D四个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同的种法种数为()A96B84C60D48答案B平面区域问题解析解析A、C区域种同样的花时，区域种同样的花时，A、C区域有区域有4种种法，种种法，B区域有区域有3种种法，种种法，D区域有区域有3种种法；种种法；A、C区域种不同的花时，区域种不同的花时，A区域有区域有4种种种法，种法，C区域有区域有3种种法，种种法，B区域有区域有2种种法，种种法，D区域有区域有2种种法所以种种法所以一共有一共有433432284种不同的种法种不同的种法第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学

10、数学 选修选修2-计数原理与其他知识交汇第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-答案12计数原理与其他知识交汇第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-两个计数原理的综合应用解析解析第一类：第一类：“多面手多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有可，有2种选法种选法第二类：第二类：“多面手多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法种选法第三类：第三类：“多面手多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语既不参加英语又不参加日语，则需从只会

11、日语和只会英语中各选一人，有和只会英语中各选一人，有2612(种种)方法方法故共有故共有261220(种种)选法选法第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-某文艺小组有某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中中14人会唱歌，人会唱歌，10人会跳舞从中选出会唱歌与会跳舞的各人会跳舞从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有人，有_种不同选法种不同选法答案答案130解析解析由条件知只会唱歌的有由条件知只会唱歌的有10人，只会跳舞的有人，只会跳舞的有6人，人，既会唱歌又会跳舞的有既会唱歌又会跳舞的有4人这样就可以分成四类完成：人

12、这样就可以分成四类完成：第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步人，用分步乘法计数原理得乘法计数原理得10660(种种)；两个计数原理的综合应用第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得人，用分步乘法计数原理得10440(种种)；第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得人，用分步乘法计数原理得6424(种种)；第四类：从既会唱

13、歌又会跳舞的人中选第四类：从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有人，有6种方种方法根据分类加法计数原理，选出会唱歌与会跳舞的各法根据分类加法计数原理，选出会唱歌与会跳舞的各1人的人的选法共有选法共有6040246130(种种)两个计数原理的综合应用第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-两个计数原理的综合应用正解正解每次升每次升1面旗可组成面旗可组成3种不同的信号；每次升种不同的信号；每次升2面旗可组面旗可组成成339种不同的信号；每次升种不同的信号；每次升3面旗可组成面旗可组成33327种种不同的信号根据分类加法计数原理得，共可组成：不同的信号根据分类加法计数原理得

14、，共可组成：392739种不同的信号种不同的信号第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-、7560075600有多少个正约数有多少个正约数? ?有多少个奇约数有多少个奇约数? ?解解: :由于由于 75600=275600=24 43 33 35 52 27 7(1)(1)7560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成的形式的形式, ,其中其中, , , , lkjl753240i30 j20 k10l于是于是, ,要确定要确定7560075600的一个约数的一个约数, ,可分四步完成可分四步完成, ,即即i,j,k,li,j,k,l分别在各自的范围

15、内任取一个值分别在各自的范围内任取一个值, ,这样这样i i有有5 5种取种取法法,j,j有有4 4种取法种取法,k,k有有3 3种取法种取法,l,l有有2 2种取法种取法, ,根据分步计数根据分步计数原理得约数的个数为原理得约数的个数为5 54 43 32=1202=120个个. .第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2- 解解:从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1有三类方法有三类方法,从从局部上看每类又需两步完成局部上看每类又需两步完成,所以所以, 第一类第一类, m1 = 12 = 2 条条 第二类第二类, m2 = 12

16、= 2 条条 第三类第三类, m3 = 12 = 2 条条 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近路线共有最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。条。3.一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？的另一个顶点的最近路线共有多少条？第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A例例5.计算机编程人员在编写好程序以计算机编程人员在编写

17、好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执行路径的程成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，帮助程序员设计一

18、个测试方式，以减少测试次数吗？以减少测试次数吗？第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：分析：整个模块的任意一条路整个模块的任意一条路径都分两步完成径都分两步完成：第：第1步是从开步是从开始执行到始执行到A点；第点；第2步是从步是从A点点执行到结束。而第一步可由子执行到结束。而第一步可由子模块模块1或子模块或子模块2或子模块或子模块3来来完成；第二步可由子模块完成；第二步可由子模块4或子或子模块模块5来完成。因此，分析一条来完成。因此，分析

19、一条指令在整个模块的执行路径需指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。要用到两个计数原理。第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A再测试各个模块之间的信息交流是否正再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：常，需要测试的次数为：3*2=6。如果每个子模块都正常工作，并且各个如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。个程序模块就正常。这样，测试整个这样

20、，测试整个模块的次数就变为模块的次数就变为 172+6=178（次）（次）2）在实际测试中，程序员总是把每一）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测整个模块。这样，他可以先分别单独测试试5个模块，以考察每个子模块的工作个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：是否正常。总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172。第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2- 3.如图如图,该电路该电路,从从A到到B共有多共有多少条不同的线路少条不同的线路可通电？可通电？AB第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数学数学 选修选修2-第一章第一章1.1第第2课时课时人人教教A版版 数