课件——IIR数字滤波器的设计方法

1、IIR数字滤波器的设计方法 1、基本概念、基本概念2、最小与最大相位延时系统，最小与最大相、最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统位超前系统 3、全通系统、全通系统 4、用模拟滤波器设计、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的映射方数字滤波器的映射方法：冲激响应不变法、双线性变换法法：冲激响应不变法、双线性变换法5、实例：用巴特沃思或切比雪夫低通滤波设、实例：用巴特沃思或切比雪夫低通滤波设计低通、带通、高通、带阻等数字滤波器计低通、带通、高通、带阻等数字滤波器6.16.1基本概念基本概念数字滤波器是线性移不变离散时间系统数字滤波器是线性移不变离散时间系统1、数字滤波器设计内容：、数字滤波器

2、设计内容：（1）根据要求确定滤波器的性能要求；）根据要求确定滤波器的性能要求；（2）用）用因果稳定的离散线性移不变的系统函数逼近其性因果稳定的离散线性移不变的系统函数逼近其性能要求（包括能要求（包括IIR和和FIR系统函数）系统函数）；（3）用算法实现该系统函数（包括选择运算结构、字长、）用算法实现该系统函数（包括选择运算结构、字长、有效数字的处理等）；有效数字的处理等）；（4）实际的技术实现（软件或硬件等）实际的技术实现（软件或硬件等）本课程主要讨论性能逼近或本课程主要讨论性能逼近或系统函数的设计系统函数的设计。2 2、描述滤波器的基本参数、描述滤波器的基本参数见图见图6-2(1)谱带谱带:

3、在滤波器的在滤波器的幅值频谱幅值频谱中，有通带、阻带和过渡中，有通带、阻带和过渡带之分带之分通带：通带：以带内的幅值大小来表示，幅值较大或接近最大以带内的幅值大小来表示，幅值较大或接近最大值的带为通带值的带为通带阻带：阻带：幅值较小或接近最小值的带为阻带幅值较小或接近最小值的带为阻带过渡带：过渡带：在通带和阻带之间变化的带为过渡带在通带和阻带之间变化的带为过渡带 (2)容限容限:在各带内的幅值可波动，但不能超过允许的限在各带内的幅值可波动，但不能超过允许的限度。该度。该容许的波动量容许的波动量或系数是容限或系数是容限可用容限和衰减系数表示可用容限和衰减系数表示通带和阻带的通带和阻带的容限容限分

4、别为分别为a a1、a a2；通带和阻带的通带和阻带的衰减系数衰减系数用分贝表示用分贝表示 1=-20lg(1-a a1)， 2=-20lg(a a2)(1-a a1)是通带的是通带的最小幅值最小幅值，a a2是阻带的是阻带的最大幅值最大幅值3 3、数字滤波器按频率特性分低通、高通、带通、带阻、数字滤波器按频率特性分低通、高通、带通、带阻、全通等。其理想幅频响应全通等。其理想幅频响应- - , , 或或00,2,2 图图6.16.102|H|高通02|H|带通02|H|全通02|H|低通02|H|带阻4、频率换算关系、频率换算关系采样频率为采样频率为fs，数字滤波器设计中的各频率，数字滤波器设

5、计中的各频率f换算为换算为数数字角频率字角频率 =2=2 f/fs根据奈奎斯特定理，滤波器的频率特性只能限于根据奈奎斯特定理，滤波器的频率特性只能限于| | | s/2=s/2= 也称为折叠频率也称为折叠频率5、数字滤波器的三个参量、数字滤波器的三个参量系统函数是系统函数是H(z)，z平面单位圆上的频响是平面单位圆上的频响是 H(ej )频率特性参量：频率特性参量：幅幅(度平方度平方)频响应频响应,相频特性相频特性,群延时响应群延时响应(1)幅度平方响应幅度平方响应(意义意义) 单位冲击响应是实数单位冲击响应是实数,H(z)和和H*(z)满足共轭对称条件满足共轭对称条件,则则若若z是是H(z)

6、的极点的极点,则则1/z是是H*(z)的极点的极点,必存在必存在;其零极点是其零极点是共轭对称的，且以单位圆为镜像对称共轭对称的，且以单位圆为镜像对称2*1()()()()()( )()jjjjjjz eH eH eHeH eH eH z H z系统函数零极点的选取：系统函数零极点的选取：为使为使H(z)是可实现的是可实现的(收敛收敛)系统，只取系统，只取单位圆内的极单位圆内的极点作为点作为H(z)极点；极点；而零点可在而零点可在z平面的任意位置，故平面的任意位置，故只取单位圆内的极点作为只取单位圆内的极点作为H(z)的极点。的极点。如果选如果选z平面单位圆内的零点为平面单位圆内的零点为H(z

7、)H*(z)的零点，则的零点，则得得最小相位延迟最小相位延迟滤波器。滤波器。(2) (2) 相位响应相位响应( (意义意义) )因因 所以所以 （6.5）又又又有又有 （6.6）)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(jjjeHeHarctgejejjjeeHeH* jezjjjjjzHzHjeHeHjeHeHje1*ln21ln21ln21(3)(3)群延迟响应群延迟响应波波Acos( t= )中，波的位置和状态参量是相位，幅值表征中，波的位置和状态参量是相位，幅值表征能量；群延时是滤波器平均延迟的度量，为相位对角频能量；群延时是滤波器平均延迟的度量

8、，为相位对角频率的导数的负值率的导数的负值 （6.7）化为化为 （6.8）因因所以所以dedejj)()(jjezezjdzzdjzddzdzzde)()()()(|)(|ln)(lnjjjejeHeH)(lnIm)(jjeHe又有又有 （6.9）同样可化为同样可化为 （6.10）注意：注意：当滤波器为线性相位响应特性当滤波器为线性相位响应特性(相位与频率成比相位与频率成比例例)时，则通带内群延迟特性为时，则通带内群延迟特性为常数常数。)(lnIm)(jjeHddejjjjezezezezjzHdzzdHzzHdzdzdzzHdjzddzdzzHde)(1)(Re)(lnRe)(lnIm)(l

9、nIm)(IIRIIR滤波器设计中的逼近问题滤波器设计中的逼近问题( (任务任务) )IIR系统函数系统函数(与与FIR的区别的区别) （6.11）IIR滤波器设计滤波器设计: 求出滤波器各系数求出滤波器各系数ak、bk，使其在规定，使其在规定频率上逼近所要求的频率上逼近所要求的(幅、相幅、相)特性。特性。z平面上逼近就得数字滤波器，平面上逼近就得数字滤波器，s平面上逼近就是模拟平面上逼近就是模拟滤波器。滤波器。NkkkMkkkzazbzH101)(数字滤波器的设计方法：数字滤波器的设计方法：（1）先设计一个）先设计一个合适的合适的模拟滤波器，然后变换成满足模拟滤波器，然后变换成满足指标要求的

10、数字滤波器。指标要求的数字滤波器。(有现成的模拟滤波器及其公式，方便准确有现成的模拟滤波器及其公式，方便准确)（2）计算机辅助设计方法。）计算机辅助设计方法。IIR的设计计算较复杂，不考试；但须掌握设计过程和的设计计算较复杂，不考试；但须掌握设计过程和方法方法6.26.2最小或最大相位延时或超前系统最小或最大相位延时或超前系统( (四种系统四种系统) )任何线性时不变系统的系统函数为任何线性时不变系统的系统函数为(cm,dK为复数为复数) （6.12）系统频率响应系统频率响应 （6.13）NkkMmmMNNkkMmmNkkkMmmmdzczKzzdzcKzazbzH11111100)()()1

11、 ()1 ()()(arg11)()()()()(jeHjjNkkjMmmjMNjjeeHdeceKeeH对对H(ej )/K进行研究：进行研究：因因h(n)是实数序列，是实数序列，K为实数，只产生固定相位，不影响为实数，只产生固定相位，不影响相频谱的相频谱的分布特性分布特性。H(ej )/K的模的模 （6.14）其相位其相位(三部分三部分) （6.15）11|()|()|()|MjmjmNjkkecH eKed各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积11()argargarg()jMMjjmkmmH eecedNMK若若mi、mo、pi、po为单位圆内外的零、极点数，为单位圆内外的零、极点数，则

12、则M=mi+mo，N=pi+po说明零极矢量：说明零极矢量：零（极）矢是指零（极）点指向零（极）矢是指零（极）点指向z平面单平面单位圆上频率点的矢量。位圆上频率点的矢量。(ej =零极矢零极矢+cm或或dk)零极点分布对相角的影响（对应四种特殊系统）零极点分布对相角的影响（对应四种特殊系统）(1)因果稳定系统的收敛域为单位圆内的一个圆的外部因果稳定系统的收敛域为单位圆内的一个圆的外部,故故全部极点在单位圆内全部极点在单位圆内，pi=N，po=0 从从0到到2 时，仅单位圆内零极点对相角有时，仅单位圆内零极点对相角有2 影响影响。故。故 变化变化2 时时, D2, D2，则，则辐角变化量辐角变化

13、量 增加时，辐角变化为负，称为增加时，辐角变化为负，称为相位延时系统。相位延时系统。2()arg2 2 ()222jiiioH empNMKmMmDD (a)当全部当全部零点零点在单位圆内，在单位圆内，mi=M，mo=0，有，有其其相位变化最小，称为最小相位系统相位变化最小，称为最小相位系统。(b)当全部当全部零点零点在单位圆外，即在单位圆外，即mi=0，mo=M，有，有这时相位变化最大，又是负数，即这时相位变化最大，又是负数，即最大相位延时系统最大相位延时系统，仍然是因果稳定系统。仍然是因果稳定系统。2()arg0jH eKDD2()arg2jH eMKDD (2)逆因果逆因果(超前超前)稳

14、定系统，稳定系统，极点全在单位圆外极点全在单位圆外pi=0，po=N当当 从从0变到变到2 时，时，D2D2，则，则辐角变化辐角变化量量一般一般NM，相位的变化是正数，称为，相位的变化是正数，称为相位超前系统。相位超前系统。2()arg22 ()jiH emNMKDD(a)全部零点在单位圆内时，全部零点在单位圆内时，mi=M，mo=0，有，有这时相位变化最大，称这时相位变化最大，称最大相位超前系统最大相位超前系统(逆因果稳定逆因果稳定系统系统)。(b)全部零点在单位圆外时，全部零点在单位圆外时，mi=0，mo=M， 有有 =2 (N-M)这时相位超前最小，称这时相位超前最小，称最小相位超前系统

15、最小相位超前系统(逆因果稳定逆因果稳定系统系统)。02()arg22jH eNpKDD02()arg2 ()joH epmKDD表表6.16.1四种系统与其因果性、稳定性、零点、极点的四种系统与其因果性、稳定性、零点、极点的关系。关系。( (略略) )最小相位系统很重要最小相位系统很重要(通信和图象处理通信和图象处理)，性质，性质有有(1)H(ej )相同的系统中，其负相位最大相同的系统中，其负相位最大(相位最小相位最小)(2)最小相位系统能量集中在最小相位系统能量集中在n=0附近。附近。(3)|H(ej )|相同的各序列，最小相位序列的相同的各序列，最小相位序列的hmin(0)最大最大(脉冲

16、信号的拖尾小，希望的脉冲信号的拖尾小，希望的)。(4)在幅度响应在幅度响应|H(ej )|相同的系统中，有唯一的最小相相同的系统中，有唯一的最小相位延时系统。位延时系统。(5)级联级联全通系统全通系统，将最小相位系统的零点反射到单位圆，将最小相位系统的零点反射到单位圆外，可构成幅度响应相同的非最小相位延时系统外，可构成幅度响应相同的非最小相位延时系统6.36.3全通系统全通系统（1）定义：）定义：系统频率响应的幅度在所有频率均为系统频率响应的幅度在所有频率均为1(或某或某较大数较大数)的系统的系统满足满足|Hap(ej )|=1的的一阶全通系统一阶全通系统为为 （6.16）式中式中a为实数为实

17、数零极点如图零极点如图6.31|0,1)(11aazazzHapa1/a0-1Re(z)Re(z)jIm(z)jIm(z)高阶全通系统：高阶全通系统：由多个一阶系统组成由多个一阶系统组成(包含实零点包含实零点/实极点实极点一阶系统、复零点一阶系统、复零点/复极点对一阶系统复极点对一阶系统)复零点复零点/极点的全通节系统函数极点的全通节系统函数（6.17）a为复数为复数零极点如图零极点如图6.41|0,11*1aazaza a1/a1/a* *0-1-1Re(z)Re(z)jIm(z)jIm(z)1 1复零极点全通系统的特点复零极点全通系统的特点: :(1)(1)零极点在共轭反演或以单位圆为镜的

18、镜像位置零极点在共轭反演或以单位圆为镜的镜像位置(2)h(n)(2)h(n)是实数，复零点或极点以共轭对出现，其共轭是实数，复零点或极点以共轭对出现，其共轭零极点也是系统的零极点，必存在两个一阶全通节零极点也是系统的零极点，必存在两个一阶全通节(3)(3)级联可组成二阶级联可组成二阶实系数实系数全通子系统，其形式如下全通子系统，其形式如下a1/a*0-1Re(z)Re(z)jIm(z)jIm(z)11/aa*1|,11)(1111azaazazazzHapN阶全通系统的频率响应的模都为阶全通系统的频率响应的模都为1。证明：证明：N阶全通系统函数为阶全通系统函数为(零极点及单位圆镜象对称决定零极

19、点及单位圆镜象对称决定)式中式中当当z=ej 时，满足时，满足 D(ej )=D*(e-j ) （6.21）故故 |H(ej )|=1 （6.22）)()(11)(1) 1(111) 1(111*111zDzDzzdzdzdzzdzddzaazzHNNNNNNNNNkkNkNNNNzdzdzdzD)1(111.1)(（2 2）全通系统的应用）全通系统的应用1)任何任何因果稳定的因果稳定的(非最小相位延时非最小相位延时)系统的系统的H(z)都可表示都可表示为全通系统为全通系统Hap(z) 和最小相位延时系统和最小相位延时系统Hmin(z)的级联的级联 （6.23）这样，这样，H(z)和和Hmin

20、(z)幅频响应相同，相频特性不同幅频响应相同，相频特性不同： （6.26）相位是两子系统的相位和相位是两子系统的相位和 argH(z)=argHmin(z)+argHap(z)可用简单的最小相位延时系统表征原因果稳定系统可用简单的最小相位延时系统表征原因果稳定系统 (主要主要是幅频特性相同是幅频特性相同, 相位特性不关心时用相位特性不关心时用)min( )( )( )apH zHzHz| )(| )(| )(| )(|minminjjapjjeHeHeHeH例证：例证：因果稳定非最小相位延时系统因果稳定非最小相位延时系统 （6.24）设设1/z0和和1/z0*是单位圆外的两零点，是单位圆外的两

21、零点，H1(z)零点在单位圆零点在单位圆内，则内，则 （6.25）因因|z0|1，故，故H1(z)(1-z*0z-1)(1-z0z-1)是最小相位延时是最小相位延时(全部全部零极点在单位圆内零极点在单位圆内)，而其余项是一阶全通级联。故，而其余项是一阶全通级联。故6.23式成立。式成立。)()()()(*01011zzzzzHzH*1111*00100*110011*1100100*110011( )( ) () ()11( ) (1) (1)11z zz zH zHzzzzzz zz zzzzzHzz zz zz zz z说明说明:分解为全通和最小相位延时子系统的分解为全通和最小相位延时子系

22、统的方法是方法是：因：因果稳定系统的极点必在单位圆内，而零点分为果稳定系统的极点必在单位圆内，而零点分为单位圆内外两部分；单位圆内的零点单位圆内外两部分；单位圆内的零点(包括圆外包括圆外点在圆内的镜像点在圆内的镜像)为最小相位延时系统的零点，为最小相位延时系统的零点，单位圆外的零点为全通系统的零点单位圆外的零点为全通系统的零点2)若滤波器是不稳定的，可级联全通函数使其为稳定系若滤波器是不稳定的，可级联全通函数使其为稳定系统：不稳定滤波器在单位圆外有极点，由统：不稳定滤波器在单位圆外有极点，由原系统的单原系统的单位圆外极点作为全通系统的零点构建位圆外极点作为全通系统的零点构建；再与原滤波器；再与

23、原滤波器级联，幅值谱不变级联，幅值谱不变(不影响幅频性不影响幅频性)，级联后零极点抵消，级联后零极点抵消，系统稳定。系统稳定。例：例：原滤波器有原滤波器有单位圆外极点单位圆外极点对对 z=r-1ejq q ， |r|1级联全通系统级联全通系统则单位圆外极点抵消，幅度性不变，但系统稳定则单位圆外极点抵消，幅度性不变，但系统稳定1111( )11jjapjjzrezreHzrezre zqqqq3)作为作为相位均衡器相位均衡器(群延时均衡器群延时均衡器):不改变幅频特性时，不改变幅频特性时，可得线性相位。可得线性相位。(略略)一般，一般，IIR滤波器的相位是非线性的滤波器的相位是非线性的设全通滤波

24、器为设全通滤波器为Hap(z)，原，原IIR系统为系统为Hd(z)级联后，级联后，H(z)为为其频谱为其频谱为相位关系相位关系( )( )( )apdH zHz Hz()()()()()()()apdjjjjjjapdapdH eHeHeHeHee( )( )( )apdy 按定义按定义 - 得得在通带，用全通系统的群延时逼近原在通带，用全通系统的群延时逼近原IIR系统群延时的非系统群延时的非线性负值，抵消其非线性部分，使通带的群延时满足线性负值，抵消其非线性部分，使通带的群延时满足0 0常数常数(线性相位系统线性相位系统)逼近误差的平方值逼近误差的平方值要求要求: 全通系统逼近后的误差越小越

25、好。这是优化设计全通系统逼近后的误差越小越好。这是优化设计(寻找困难寻找困难)( )( )dd ( )( )( )apd 22200( )( )( )apde 6.4模拟滤波器转换模拟滤波器转换(设计设计)IIR数字滤波器数字滤波器成熟的模拟滤波器较多，设计简单规范；根据成熟的模拟滤波器较多，设计简单规范；根据已有模拟已有模拟滤波器滤波器可设计数字滤波器可设计数字滤波器基本方法：基本方法：把模拟滤波器把模拟滤波器Ha(s) 的的s平面映射到平面映射到z平面平面的的所需数字滤波器所需数字滤波器H(z)。基本要求：基本要求：1) Ha(s)的频响能模仿的频响能模仿H(z)的频响的频响(即频率轴对应

26、即频率轴对应,s的虚轴的虚轴j 映射到映射到s的单位圆的单位圆)2) 因果稳定系统的因果稳定系统的Ha(s)能映射成因果稳定的能映射成因果稳定的H(z)模拟滤波器原型有巴特沃思、切比雪夫、考尔模拟滤波器原型有巴特沃思、切比雪夫、考尔(椭圆型椭圆型)等等(低通低通)根据不同根据不同频带变换频带变换，从已有模拟到数字滤波器的，从已有模拟到数字滤波器的方法方法有有:方法方法1: 1)用用模拟频带转换法模拟频带转换法将模拟滤波器转换成所需类将模拟滤波器转换成所需类型型(低、高、带、带阻频谱低、高、带、带阻频谱)的模拟滤波器；的模拟滤波器；2)再用模拟再用模拟到数字的映射方法，转换为相应数字滤波器到数字

27、的映射方法，转换为相应数字滤波器.方法方法2: 1)用模拟映射到数字法，将模拟转换为对应的数用模拟映射到数字法，将模拟转换为对应的数字滤波器；字滤波器；2)再用再用数字频带变换法数字频带变换法，将数字的，将数字的(不满足不满足频谱要求频谱要求)转换为转换为所需所需数字滤波器数字滤波器.方法方法3: 对严格带限的数字滤波器对严格带限的数字滤波器(低通或带通低通或带通)，通过频，通过频率变换，可将率变换，可将1)模拟频带转换和模拟频带转换和2)模拟转换数字的过程模拟转换数字的过程合为一步完成合为一步完成。共有关键步骤：共有关键步骤：1)模拟到数字的变换；模拟到数字的变换；2)频带转换频带转换其中，

28、其中，模拟到数字的映射方法模拟到数字的映射方法：冲激响应不变法、双线：冲激响应不变法、双线性变换法、阶跃响应不变法。性变换法、阶跃响应不变法。1 1 冲激响应不变法冲激响应不变法（1）变换基本原理）变换基本原理使数字滤波器的单位使数字滤波器的单位冲激响应序列冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器模仿模拟滤波器的单位冲激响应的单位冲激响应ha(t) 。即用。即用ha(t)的抽样作为的抽样作为h(n) （6.27）用用2.53式得抽样式得抽样z变换与模拟拉氏变换的关系变换与模拟拉氏变换的关系 （6.28）)()(nThnha)2(1)(kTjsHTzHkaezsT变换关系变换关系z=esT，s=(ln

29、z)/T与与2.5节一致，如图节一致，如图6.7：1)S平面的每个平面的每个2 /T宽横条重叠映射到宽横条重叠映射到Z平面，体现平面，体现Z的的相位对相位对S虚轴有虚轴有2 j/T的周期性；的周期性；2)S虚轴虚轴j 映射到映射到z单位圆，虚轴每段单位圆，虚轴每段2 /T的线段重复映的线段重复映射到单位圆的一周；射到单位圆的一周；3)S各横条的左半边映射到各横条的左半边映射到Z单位圆内单位圆内,其右半边映射到单其右半边映射到单位圆外位圆外4)该周期性使冲击响应不变法不代表该周期性使冲击响应不变法不代表S到到Z的简单变换的简单变换(2)(2)模拟滤波器的数字化模拟滤波器的数字化按冲击响应不变法，

30、按冲击响应不变法，变换过程：变换过程：模拟系统模拟系统Ha(s)拉氏反拉氏反变换得变换得ha(t)对模拟响应抽样得对模拟响应抽样得h(n)再取再取z变换变换据极点特点、据极点特点、s和和z平面关系平面关系求变换关系求变换关系：A、设模拟滤波器设模拟滤波器Ha(s) 只有单阶极点，展开成部分分式只有单阶极点，展开成部分分式（分母阶次一般大于分子阶次）（分母阶次一般大于分子阶次） （6.32）冲激响应冲激响应ha(t) 是是Ha(s)的拉氏反变换，再对的拉氏反变换，再对ha(t)抽样得抽样得 （6.33）NkkkassAsH1)(NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()(

31、)()()(对对h(n)求求z变换，得数字滤波器系统函数变换，得数字滤波器系统函数比较比较Ha(s)和和H(z)：1)s单极点单极点s=sk变换到变换到z上上z= exp(skT)处单极点处单极点;2)两部分分式系数相同两部分分式系数相同Ak3)若模拟滤波器稳定若模拟滤波器稳定(Resk0)，变换后的极点在单位，变换后的极点在单位圆内圆内|exp(skT)|1，数字滤波器，数字滤波器也稳定也稳定NkTsknnTsNkknnTsNkknnzeAzeAzeAznhzHkkk110110111)()()()(4)这可保证两者极点间有代数对应关系；这可保证两者极点间有代数对应关系；但不能保证整个但不能

32、保证整个s与与z平面有这种关系，如零点没该关平面有这种关系，如零点没该关系，而是随系，而是随Ha(s)的极点的极点sk及系数及系数Ak变化变化5)由由6-31式知式知,数字滤波器的幅值频率响应还与抽样间数字滤波器的幅值频率响应还与抽样间隔隔T成反比。当抽样频率高时，滤波器增益会太高，成反比。当抽样频率高时，滤波器增益会太高，需对其进行修正需对其进行修正(一般不希望频响特性随抽样频率变一般不希望频响特性随抽样频率变化化)。修正方法修正方法： （6.35）则有则有 （6.36）及及 （6.37）因因ha(t) 是实数，是实数，Ha(s)极点是共轭的；若极点是共轭的；若sk是极点，则是极点，则sk*

33、也也是极点；是极点；Ha(s) 变成变成H(z)的关系为的关系为)()(nTThnhaNkTskzeTAzHk111)(2()()(),jaakH eHjjkHjTTT*1*1,11kkkkkks Ts TkkAAAAssezssez例例6.1设模拟滤波器系统为设模拟滤波器系统为用冲激响应不变法，设计用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器。数字滤波器。解：解：直接用直接用6.36式得数字滤波器系统为式得数字滤波器系统为设设T1(不影响设计过程不影响设计过程)，则，则2211( )4313aHssss)( )111()TTTTTTTTzeeH zezezzeez e11

34、20.318( )1 0.41770.01831zH zzz模拟与数字滤波器的频响为模拟与数字滤波器的频响为|Ha(j )|、|H(ej )|如图如图6.8说明：说明：模拟滤波器模拟滤波器不是充分带限不是充分带限的，转换后有频谱的，转换后有频谱混混叠失真叠失真222()(3)40.3181()1 0.41770.01831ajjjjHjjeH eee (3)(3)混叠失真混叠失真由映射关系知，由映射关系知，z=ej 时，时，s=j /T数字和模拟滤波器的频响关系数字和模拟滤波器的频响关系 （6.29）说明：说明：数字滤波器的频响是模拟频响的周期延拓数字滤波器的频响是模拟频响的周期延拓(抽样抽样

35、)，仅当模拟频响是带限且于折叠频率内时，即仅当模拟频响是带限且于折叠频率内时，即 （6.30）才不产生混叠失真才不产生混叠失真(否则有混叠失真否则有混叠失真)即有即有| | 时时 )2(1)(TkjHTeHakj)(1)(TjHTeHaj2| , 0)(saTjH注意：减少失真注意：减少失真1）模拟频响在折叠频率以上的衰减越快、小，混叠）模拟频响在折叠频率以上的衰减越快、小，混叠失真越小；失真越小；2）当增加抽样频率）当增加抽样频率fs，数字系统频响的延拓周期间，数字系统频响的延拓周期间距大，可减小混叠效应；距大，可减小混叠效应；3）在冲击响应不变法中，当指标用）在冲击响应不变法中，当指标用

36、给定时，若给定时，若 c不变，减小不变，减小T不能解决混叠问题。不能解决混叠问题。(原因：原因：若模拟截若模拟截止频率大于止频率大于 /T， c大于大于 ；若；若 c不变，不变，T减小，模减小，模拟截止频率按比例增大，始终大于折叠频率，出拟截止频率按比例增大，始终大于折叠频率，出现混叠失真现混叠失真)冲激不变响应法特点：冲激不变响应法特点：1)数字滤波器的数字滤波器的冲激响应模仿模拟冲激响应模仿模拟冲激响应，时域逼冲激响应，时域逼近良好；模拟频率和数字频率呈近良好；模拟频率和数字频率呈线性关系。线性关系。2)只只适应限带模拟滤波器适应限带模拟滤波器，高通和带阻不适合；可加，高通和带阻不适合；可

37、加保护滤波器，滤掉高于折叠频率的成分。保护滤波器，滤掉高于折叠频率的成分。2 2、双线性变换法、双线性变换法冲击响应不变法中，数字滤波器的冲击响应不变法中，数字滤波器的h(n)与对应模拟与对应模拟ha(t)的的抽样抽样ha(nT)一致，是时间域的模仿一致，是时间域的模仿因抽样，及因抽样，及Z=es1T特点（重复），数字频谱有周期性延拓，特点（重复），数字频谱有周期性延拓，可能有混叠失真可能有混叠失真。该失真是变换（抽样）产生的。该失真是变换（抽样）产生的。采用双线性变换可克服混叠现象采用双线性变换可克服混叠现象。（1 1）变换原理）变换原理双线性变换法：双线性变换法：使数字滤波器的频响与模拟频

38、响一致使数字滤波器的频响与模拟频响一致的变换法，的变换法，s与与z平面有一一对应关系平面有一一对应关系方法：方法：1)先把先把s平面压缩到某一中介平面压缩到某一中介s1平面的横带里平面的横带里(- /T, /T)；2)再用标准变换再用标准变换z=es1T将此横带变换到整个将此横带变换到整个z平面。平面。这样这样s与与z平面有一一对应，消除混叠。平面有一一对应，消除混叠。具体变换如下：具体变换如下：1) s到中介到中介s1平面变换平面变换s整个整个j 轴压缩到轴压缩到S1的的(- /T, /T) 段，变换关系段，变换关系 （6.50）即即 =变到变到 1 1 /T T， =0变到变到 1=06.

39、50式再式再 写成写成)2tan(1T22221111112cos2sinTjTjTjTjeeeeTTjj 再扩展到整个再扩展到整个s和和s1平面，即令平面，即令 则则（6.51）2)再再s1平面以平面以标准变换标准变换映射到映射到z平面平面 （6.52）Tsez111,js js TsTsTsTsTsTseeTstheeees111111112122223)两者合并得两者合并得s到到z的单值映射关系的单值映射关系（6.53、6.54）或或 注意：注意：进一步，为模拟滤波器的某一进一步，为模拟滤波器的某一频率频率与数字滤波与数字滤波器的任一频率对应，引入待定系数器的任一频率对应，引入待定系数c

40、；即；即6.50，6.51式式变成变成 （6.55） （6.56）1111zzsssz11)2tan(1TcTsTseecTcths1111)2(1仍将仍将z=es1T 代入代入6.56式，得式，得（6.57）（6.58）上两式是上两式是s到到z平面的单值映射关系，平面的单值映射关系，该变换称为双线该变换称为双线性变换。性变换。1111zzcsscscz（2 2）系数）系数c c的确定的确定不同的不同的c可调节不同频带的对应关系。可调节不同频带的对应关系。有两种确定方法有两种确定方法:1）两滤波器在两滤波器在低频处低频处有明确有明确对应对应关系，即低频时关系，即低频时 1 1 。当当 1 1较

41、小时，有较小时，有由由6.55式及式及 1 1得得故故 c=2/T（6.59）此时两者低频特性近似此时两者低频特性近似。11tan()22TT112Tc 2）数字滤波器的数字滤波器的特定频率特定频率 c与模拟原型的特定频率与模拟原型的特定频率 c对应对应因因s1到到z变换时，有变换时，有 = 1T，则有，则有故故 （6.60）此时，特定的模拟和数字频率处的频响严格相等，此时，特定的模拟和数字频率处的频响严格相等，可可准确控制截止频率的位置准确控制截止频率的位置。)2tan()2tan(1ccccTc2cotccc（3 3）逼近情况说明）逼近情况说明( (简简) )双线形变换满足模拟到数字变换的

42、双线形变换满足模拟到数字变换的2点要求：点要求：1）z=ej 代入代入6.57式式 （6.61）说明说明s虚轴虚轴j 与与z单位圆单位圆ej 对应。对应。2）sssj 代入代入6.58因此因此知知: 1)s s0(左面左面)对应对应|z|0对应对应|z|1；(3)s s=0对应对应|z|=1。满足要求可实现变换满足要求可实现变换jjceecsjj)2tan(11jcjcscscz)()(ss2222)()(|ssccz（4 4）特点）特点( (简简) )变换前后的频率关系变换前后的频率关系 （6.62）如如p242图图6.12。可知：可知：1）两频率是单值映射，两频率是单值映射，避免了频响混叠

43、避免了频响混叠现象现象(优优)；2）但在零频附近，呈近似线性关系；频率增加时，存但在零频附近，呈近似线性关系；频率增加时，存在在非线性关系非线性关系 (不足不足) 。)2tan(c0 0 /c 非线性产生的非线性产生的问题问题是：是： i)线性相位系统变换后不能保持相位线性性；线性相位系统变换后不能保持相位线性性； ii)该非线性该非线性要求模拟滤波器的幅频响应是分段常数型，要求模拟滤波器的幅频响应是分段常数型，否则有畸变（否则有畸变（频率不均匀伸缩引起。一般模拟滤波器频率不均匀伸缩引起。一般模拟滤波器是分段常数的，经双线性变换后仍是分段常数型，但是分段常数的，经双线性变换后仍是分段常数型，但

44、在分段边缘的临界频率点仍有畸变）。在分段边缘的临界频率点仍有畸变）。解决办法：解决办法：对频率加对频率加预畸变预畸变来校正畸变。来校正畸变。一般是先确定要设计滤波器的数字频带分布，对所设一般是先确定要设计滤波器的数字频带分布，对所设计计数字数字滤波器的滤波器的临界频率点临界频率点，用频率变换关系，用频率变换关系将临界数字频率将临界数字频率(如上下截止频率如上下截止频率 c1和和 c2)变换成临界变换成临界模拟频率模拟频率( c1和和 c2 ，已预畸变，已预畸变) ，用变换后的模拟频用变换后的模拟频率设计模拟滤波器原型率设计模拟滤波器原型，最后模拟原型转换为数字滤，最后模拟原型转换为数字滤波器（

45、波器（再转换时临界频率处无畸变，是所需频率再转换时临界频率处无畸变，是所需频率）)2tan(c(5) 模拟滤波器数字化方法模拟滤波器数字化方法用用双线性变换双线性变换转换模拟为数字滤波器的转换模拟为数字滤波器的方法有方法有：1）直接用直接用s和和z的变换关系变换为数字滤波器的变换关系变换为数字滤波器 （6.63）2）先）先将将模拟系统分解模拟系统分解为级联为级联(乘乘)或并联子系统或并联子系统: 级联级联: 并联并联: )()()()(21sHsHsHsHmaaaa111111)()(11zzcHsHzHazzcsa)()()()(21sHsHsHsHmaaaa?再对各子系统双线性变换再对各子

46、系统双线性变换，得数字系统，得数字系统H(z)为为级联级联:并联并联:其中其中:注意注意:对对冲击响应冲击响应和阶跃响应不变法，和阶跃响应不变法，模拟系统不能分模拟系统不能分解为级联解为级联（因（因s和和z间是超越函数关系，级联仅适于双间是超越函数关系，级联仅适于双线性变换）线性变换）misHzHzzcsai,2 , 1,)()(11111)()()()(21zHzHzHzHmnisHzHzzcsai,2 , 1,)()(11111)()()()(21zHzHzHzHm(6)(6)双线性变换的表格法实现双线性变换的表格法实现双线性变换中，双线性变换中，分子分母都需处理各自分子分母都需处理各自

47、的分母，的分母，再多再多项式相乘和合并。当项式相乘和合并。当阶次高时，麻烦阶次高时，麻烦。为此，将模拟系统与数字系统的为此，将模拟系统与数字系统的系数间关系列成表系数间关系列成表，此，此后查表即可。后查表即可。其关系和表如其关系和表如p244-245的的6.67、6.68式、表式、表6-26.5 IIR数字滤波器的设计实现数字滤波器的设计实现(6.8-6.11)方法方法1：1)设计模拟设计模拟低通滤波器低通滤波器(Butterworth or Chebyshev )；2)模拟模拟低通低通频带频带转换为希望频带（低、带、高、带阻等）转换为希望频带（低、带、高、带阻等）模拟滤波器；模拟滤波器；3)

48、模拟转换为数字滤波器模拟转换为数字滤波器（冲击响应不（冲击响应不变法、双线性变换法等）。变法、双线性变换法等）。方法方法2：1)同同1；2)模拟模拟低通转换为数字低通转换为数字低通滤波器（冲击响应不低通滤波器（冲击响应不变法、双线性变换法等）；变法、双线性变换法等）；3)数字低通的数字低通的数字频带转数字频带转换换为希望频带（低、带、高、带阻等）数字滤波器。为希望频带（低、带、高、带阻等）数字滤波器。1、方法、方法1：模拟频带转换，再数字化模拟频带转换，再数字化设模拟低通滤波器已设计好设模拟低通滤波器已设计好(见见6.8节节)(1)模拟低通模拟低通-数字低通数字低通冲击响应不变、双线性变换法直

49、接转换冲击响应不变、双线性变换法直接转换(2)数字带通滤波器数字带通滤波器1)模拟低通模拟低通HLP(s)-模拟带通模拟带通Hbp(p)2)模拟带通模拟带通Hbp(p)-数字带通数字带通HBP(z)双线性变换：双线性变换：p是模拟带通拉氏变量，是模拟带通拉氏变量， 模拟带通中心频率，模拟带通中心频率，c系数系数)1336(20pps0)1396(1111zzcp参数的确定参数的确定：(见见p274图图6-27)1) c: 带通数字化的双线性变换中，带通数字化的双线性变换中，带通的中心频率对应带通的中心频率对应，则则2)模拟带通中心频率模拟带通中心频率)1456(2cot00c)1386()13

50、76(12210Bc)1426(2tan2tan2tan2102)1436(2tan2tan12cc00cB11-a1011-a1201B011-a1102图图6-27模拟低通模拟低通-模拟带通模拟带通-数字带通的幅频特性关系数字带通的幅频特性关系模拟低通模拟低通模拟带通模拟带通数字带通数字带通 简并方法：简并方法：模拟频带转换模拟频带转换s-p和数字化和数字化p-z合并合并设设)1406(112212022022202zzcczccs)1476(cos22cos2cos2201212202202ccE)1466(2cot12202cccD则则数字带通滤波器数字带通滤波器为为)1486(112

51、12zEzzDs)1496()()(21211zEzzDsLPsHzH综上，数字带通滤波器的综上，数字带通滤波器的设计步骤设计步骤：1)确定目标确定目标数字带通参数数字带通参数：截止：截止 1、 2及及a a1；2)确定确定模拟带通参数模拟带通参数：截止：截止 及及a a1 设定设定 ;确定确定c;由由 1、 2计算计算 ;计算计算 c3)设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器：根据：根据 c、a a1及阻带最大值设计及阻带最大值设计HLP(s)(见见6.8)4)转换：转换：据据(6-149)式直接转换为数字带通滤波器式直接转换为数字带通滤波器21021(3)数字带阻滤波器数字带阻滤波器设计思想

52、和过程与前述相似设计思想和过程与前述相似1)模拟低通模拟低通HLP(s)-模拟带阻模拟带阻Hbr(p)2)模拟带阻模拟带阻Hbr(p)-数字带阻数字带阻HBR(z)双线性变换：双线性变换：p是模拟带阻拉氏变量，是模拟带阻拉氏变量， 模拟带阻中心频率，模拟带阻中心频率，c系数系数)1516(20220pps0)1586(1111zzcp参数的确定参数的确定：(见见p278图图6-30)1) c: 数字化的双线性变换中，数字化的双线性变换中，带阻中心频率对应带阻中心频率对应，则，则2)模拟带阻中心频率模拟带阻中心频率)1646(2cot00c)1386()1376(2112210cB)1616(2

53、tan2tan2tan21020图图6-30模拟低通模拟低通-模拟带阻模拟带阻-数字带阻的幅频特性关系数字带阻的幅频特性关系0c11-a1102模拟低通模拟低通011-a1201B模拟带阻模拟带阻011-a1数字带阻数字带阻简并方法：简并方法：模拟频带转换模拟频带转换s-p和数字化和数字化p-z合并合并设设)1596(21)()1 (2120220220220zzccczcs)1666(cos22cos2cos22012122022021ccE)1656(2tan12202201cccD则则数字带阻滤波器数字带阻滤波器为为)1676(1)1 (21121zzEzDs)1686()()(2112

54、11)1(zzEzDsLPsHzH综上，数字带阻滤波器的综上，数字带阻滤波器的设计步骤设计步骤：1)确定目标确定目标数字带阻参数数字带阻参数：截止：截止 1、 2及及a a1；2)确定确定模拟带阻参数模拟带阻参数：截止：截止 及及a a1 设定设定 ;确定确定c;由由 1、 2计算计算 ;计算计算 c3)设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器：根据：根据 c、a a1及阻带最大值设计及阻带最大值设计HLP(s)(见见6.8)4)转换：转换：据据(6-168)式直接转换为数字带阻滤波器式直接转换为数字带阻滤波器21021(4)数字高通滤波器数字高通滤波器设计思想和过程与前述相似设计思想和过程与前述

55、相似1)模拟低通模拟低通HLP(s)-模拟高通模拟高通Hhp(p)2)模拟高通模拟高通Hhp(p)-数字高通数字高通HHP(z)双线性变换：双线性变换：p模拟高通拉氏变量，模拟高通拉氏变量， 模拟高通截止频率，模拟高通截止频率，c系数；系数； c模拟低通截止频率，模拟低通截止频率， c=1或或= )1706( pscccc)1736(1111zzcp参数的确定参数的确定：(见见p283图图6-34)1) c: 数字化的双线性变换中，数字化的双线性变换中，高通截止频率对应高通截止频率对应，则，则2) c=1或或 c= c=1为归一化设计（常用）为归一化设计（常用）2cotcccc图图6-34模拟

56、低通模拟低通-模拟高通模拟高通-数字高通的幅频特性关系数字高通的幅频特性关系0c11-a1c模拟低通模拟低通0c11-a1模拟高通模拟高通0数字高通数字高通11-a1简并方法：简并方法：模拟频带转换模拟频带转换s-p和数字化和数字化p-z合并合并设设则数字高通滤波器则数字高通滤波器为为)1746(11111111zzczzcscccc)1756()()(1111)1zzCsLPHPsHzH)1766(2tan1cccccC综上，数字高通滤波器的综上，数字高通滤波器的设计步骤设计步骤：1)确定目标确定目标数字高通参数数字高通参数：截止：截止 c及及a a1；2)确定确定模拟高通参数模拟高通参数：

57、截止：截止 及及a a1 设定设定 ;确定确定c;计算计算 c=1或或=3)设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器：根据：根据 c、a a1及阻带最大值设计及阻带最大值设计HLP(s)(见见6.8)4)转换：转换：据据(6-175)式直接转换为数字高通滤波器式直接转换为数字高通滤波器ccc2、方法、方法2：模拟低通数字化，再数字频带转换模拟低通数字化，再数字频带转换(1)设模拟低通已设计，设模拟低通已设计，模拟低通数字化模拟低通数字化：冲击响应不变、：冲击响应不变、双线性变换等实现；双线性变换等实现；(2)将数字低通转换为希望的数字滤波器：两将数字低通转换为希望的数字滤波器：两z平面的映平面的映射变换，即用数学式关联两变量，实现射变换，即用数学式关联两变量，实现数字频带变换数字频带变换。下面给出数字低通到其他下面给出数字低通到其他数字滤波器数字滤波器的频带转