-第五章拉普拉斯变换及收敛区

1、第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析5.1 引言 傅里叶级数、傅里叶变换和频域分析法引入了信号频谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理意义。( )e t H( )( )* ( )zsr te th t( )( )( )zsREH1( )( )zszsr tFR( )( )e tE( )( )h tH傅里叶变换的局限性( )( ),0tf tet1、有些信号非绝对可积，傅里叶变换不存在；2、反变换是复变函数的广义积分，难以计算，甚至求不出； 3、用傅里叶变换可求rzs(t)，但求不出rzi(t)。 1( )()2j tf tF jed第五章第五章 连续时间系统的复频域分

2、析连续时间系统的复频域分析0( )tef t引入（）因子与信号相乘解决方法：( )( )tf tf t e衰减因子一定满足绝对可积的条件 频域中的傅里叶变换 复频域中的拉普拉斯变换推广第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析第五章 主要内容拉普拉斯变换与反变换线性系统的拉斯变换分析法线性系统的模拟(方框图)信号流图与梅森公式5.2 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换在数学中是直接从积分变换的观点定义的，我们将从信号分析的角度出发，由傅里叶变换推广到拉普拉斯变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 函数f(t)不满足绝对可积条件往往是由于当t 时f(t)不衰减造成的，因此若人为乘上一个衰

3、减因子e-t，则 就可能可能符合绝对可积条件，因而其傅里叶变换存在。5.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 2、拉普拉斯变换的物理意义（理解 est）5.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换()( )jtf t edt( )( )tf tf t e( )( )jttteeFf tf tedt( )stf t edtsj令1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 ( )L ( )( )stFf tfst edt拉普拉斯正变换：( ) ( )tf tF se5.2 拉普拉斯变换1( )2stjjsjFe ds 1ddsj,sjj sj()1( )( )2jtf tF s ed反变换：( )F

4、( )tfseFt 1( )2jtF s ed-11( )L ( )( )2sjtjf tFFsjs e ds 拉普拉斯反变换：双边拉普拉斯变换更常用的是单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换，定义为：dtetfsFstD)()(1( )( )2jstDjf tFs e dsj 0( )L ( )( )stF sf tf t edt11( )L ( )( )2( )jstjf tF sF s e dsjt )()(sFtf象函数原函数5.2 拉普拉斯变换1.工程技术中所遇到的激励信号与系统响应大都为有始函数2.积分下限为何取为0-，考虑激励与响应中在原点存在冲激函数或其各阶导数的情况，所以积分区间应

5、包括时间零点在内3.反变换，S包含的w从-无穷到+的各个分量，所以积分区间不变2、拉普拉斯变换的物理意义1:( )()21()2j tj tFf tF jdF jdee是将信号分解为无穷多个分量，每个分量的幅度为1:( )( )21( )2jjststLf tF sdsjs deFjes 是将信号分解为无穷多个分量，每个分量的幅度为s常称为复频率 , 因此拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法5.2 拉普拉斯变换 在傅里叶变换中一对 合成一个实信号，代表的是一个正弦分量； 在拉普拉斯变换中的一对 也应合成一个实信号。那么，它代表的是一个什么分量呢？ tjtjee,ststee,3ste、 的含义

6、sj=sttjstteeeee复平面复平面stj tsee实部 反映指数函数幅度变换的速率虚部 反映指数函数中因子作周期变化的频率A1A2B1B2C1C1*C2C2*3ste、 复平面上不同的点所对应的stj tsee实部 反映指数函数幅度变换的速率虚部 反映指数函数中因子作周期变化的频率2.复平面上不同位置的点对应了不同的s值，因此也对应了指数函数 怎么对应法？1.复频率s可以表示用复平面来表示，横轴为实轴，纵轴jw为虚轴stestesteste,=sttjstteeeeesjstj tsee实部 反映指数函数幅度变换的速率虚部 反映指数函数中因子作周期变化的频率te具体分析复平面上的点2.

7、在复平面上的点。这些点w=0,所以每一点都对应一个指数函数随时间按指数规律作单调增长或衰减的指数函数规律规律：点的位置离虚轴越远， 的绝对值越大，所对应的函数增长或者衰减的速率越大1. 原点 对应不随时间变化的常数stesteste2cosjtjtststteeeeet+=2cosj tj teet3.在复平面虚轴上的点。出现了负频率的形式，注意是形式。与第三章中所讲一样，只是用指数分量来表示信号的一种数学形式。第三章中在傅里叶变换中一对 +-jw的指数函数可以合成一个正弦分量；在拉普拉斯变换中的一对共轭复频率的指数也可以合成P209任一函数表示为指数函数之和时，其复频率一定是共轭成任一函数表

8、示为指数函数之和时，其复频率一定是共轭成对出现的，所以时间上并不存在负频率的变幅正弦分量对出现的，所以时间上并不存在负频率的变幅正弦分量3.在复平面虚轴上的一对互为共轭的点，对应等幅的正弦振荡，且共轭点里实轴越远，相应的振荡频率愈高 4.既不在实轴又不在虚轴上的点每一对互为共轭的点，都对应一个幅度按照指数规律变换的正弦振荡 左半平面，衰减stesteste4.既不在实轴又不在虚轴上的点每一对互为共轭的点，都对应一个幅度按照指数规律变换的正弦振荡 左半平面，衰减左半平面的点对应幅度按指数律的正弦振荡右半平面的点对应幅度按指数律的正弦振荡共轭点离虚轴的远近，决定幅度变换的快慢共轭点离实轴的远近，决

9、定振荡频率的高低最终结论：复平面s上的每一对共轭点或实轴上的每一点都分别唯一对应一个确定的时间函数模式拉普拉斯变换的意义拉普拉斯正变换是将 f(t)沿-j+j分解为无穷多个est分量傅里叶变换是将 f(t)沿-j+j，即沿虚轴虚轴分解与叠加5.2 拉普拉斯变换5.3 拉普拉斯变换的收敛域44( )( )ttf t eet若取则绝对可积22( )( )ttf t eet若取则3( )( )tf tet例如：不满足绝对可积条件3;3可见满足绝对可积条件仍不满足绝对可积条件( )( )tL f tFf t e()( )jtf t edtf(t) e-t是否收敛，取决于的取值，这就是拉普拉斯变换的收敛

10、域问题不满足绝对可积的条件5.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域1、定义：能使f(t) e-t 满足绝对可积条件的的取值范围称拉普拉斯变换的收敛域收敛域 在收敛域内f(t)的拉普拉斯变换F(s)存在，在收敛域外则不存在。 F(s)的所有极点必须在收敛域外2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法0( )F s则即为的收敛域0lim( )0ttf t e若时( )( )tf t eF s绝对可积存在0SS平面上以为界将 平面分成两个区域（1）、持续时间有限的单个脉冲信号2、常用单边拉普拉斯变换的收敛域)(2t）、单位阶跃信号（)(3tet）、单边指数函数（)(4tt）、单边斜变函数（5.3

11、拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域不管取何值， 总是满足 ，收敛域为整个s平面，拉斯变换无条件存在。0)(limttetf（1）、持续时间有限的单个脉冲信号2、常用单边拉普拉斯变换的收敛域)(2t）、单位阶跃信号（信号能量有限信号能量有限lim( )0ttet0只要所以，收敛域为不包含虚轴的右半平面。)(3tet）、单边指数函数（lim( )0ttteet只要()lim0tte 5.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域)(4tt）、单边斜变函数（lim( )0tttte0只要( ) t所以收敛域与单位阶跃信号相同。5.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域结论：结论：1、在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶函数，单边