第九章压杆的稳定

1、91 压杆稳定的概念压杆稳定的概念92 两端铰支两端铰支 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力93 其他支座条件下其他支座条件下细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力9-4 9-4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式 9-5 9-5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核9-6 9-6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施构件的承载能力：构件的承载能力：强度强度刚度刚度稳定性稳定性 工程中有些构工程中有些构件具有足够的强度、件具有足够的强度、刚度，却不一定能刚度，却不一定能安全可靠地工作。安全可靠地工作。91 压杆稳定的概念压杆稳定的概念一、稳定性的概念一、稳定性的概念1、稳定平衡

2、、稳定平衡影片：影片：14-1稳定性：保持原有平衡状态的能力稳定性：保持原有平衡状态的能力2 2、随遇平衡、随遇平衡3 3、不稳定平衡、不稳定平衡影片：影片：14-2二、压杆失稳与临界压力二、压杆失稳与临界压力 ：F稳稳定定平平衡衡PPcr不不稳稳定定平平衡衡F影片：14-3影片：14-4压杆失稳：压杆失稳： 压杆丧失其直线形压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线状的平衡而过渡为曲线平衡平衡 压杆的临界压力压杆的临界压力： 由稳定平衡转化为由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压不稳定平衡时所受轴向压力的界限值，称为临界压力的界限值，称为临界压力。力。影片：14-5P工程结构失稳的实例工程结构失稳

3、的实例1、1907年，加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥，在架设年，加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥，在架设中跨时，由于悬臂桁架中受压力最大的下弦杆丧中跨时，由于悬臂桁架中受压力最大的下弦杆丧失稳定，致使桥梁倒塌，失稳定，致使桥梁倒塌，9000吨钢铁成废铁，桥吨钢铁成废铁，桥上上86人中伤亡达人中伤亡达75人。人。工程结构失稳的实例工程结构失稳的实例加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥工程结构失稳的实例工程结构失稳的实例采用悬臂法施工采用悬臂法施工工程结构失稳的实例工程结构失稳的实例因失稳倒塌工程结构失稳的实例工程结构失稳的实例重重建建后后的的魁魁北北克克大大桥桥工程结构失稳的实例工程结构失

4、稳的实例2、1922年，美国华盛顿镍克尔卜克尔剧院，在大雪年，美国华盛顿镍克尔卜克尔剧院，在大雪中倒塌，死亡中倒塌，死亡98人，受伤人，受伤100多人，倒塌原因是由多人，倒塌原因是由于屋顶结构中一根梁雪后超载过甚，引起梁失于屋顶结构中一根梁雪后超载过甚，引起梁失稳，从而使柱和其他结构产生移动，导致建筑物稳，从而使柱和其他结构产生移动，导致建筑物的倒塌。的倒塌。3、1925年，前苏联莫兹尔桥，在试车时由于桥梁桁年，前苏联莫兹尔桥，在试车时由于桥梁桁架压杆丧失稳定而发生事故。架压杆丧失稳定而发生事故。PvxM)( 假设压力假设压力P 已达到临界值，杆处于微弯状态，如图，已达到临界值，杆处于微弯状态

5、，如图， 从挠曲线入手，求临界力。从挠曲线入手，求临界力。EIMv （1）弯矩：（2）挠曲线近似微分方程：0 vEIPv02 vkv 92 细长压杆的临界力细长压杆的临界力一一. 两端铰支两端铰支 细长压杆的临界力细长压杆的临界力vEIPv lP=PcrP=PcrPyPMv, 2EIPk令yxxv（3）微分方程的解：确定积分常数：由边界条件 x=0，v=0；x=l，v=0 确定kxBkxAvcossin,0,0,0Bvx得由0Ankl , 2222nlkkxAvsin即0sin,0,klAvlx得由, 2EIPk 由0sin kl222 lEInP上式称为两端铰支压杆临界力的欧拉公式欧拉公式2

6、2lEIPcr临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取 n=1若是球铰，式中：I=IminyzPyzyIIminkxAvsin压杆的挠曲线：曲线为一正弦半波，A为幅值，但其值无法确定。xlAsinP=PcrxxyvlP=Pcr二二. 其他约束情况下其他约束情况下压杆的临界力压杆的临界力1、一端固定、一端自由、一端固定、一端自由 Pl22)2( lEIPcr2l2l2、一端固定一端铰支、一端固定一端铰支P0.7llEIMv C 挠曲线拐点22)7.0(lEIPcr03、两端固定、两端固定Pl22)5.0(lEIPcrlPl/2 长度系数长度系数（或约束系数）。（或约束系数）。 l 相当长度

7、相当长度22)(lEIPcr上式称为细长压杆临界压力的一般形式上式称为细长压杆临界压力的一般形式欧拉公式欧拉公式其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定两端固定一端固定一端固定一端自由一端自由=1= 0.7=0.5=2Pl0.5l 例例11求中间带约束的细长压杆的临界压力求中间带约束的细长压杆的临界压力 22)5.0(lEIPcrPMkvkvEI022 0)(MPvxMvEI EIPk 2:令PMkxBkxAv0sincos0,;0,0vvLxvvx解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:试由挠曲

8、线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。PLxPM0PM0PM0 xPM0yy 例例22 求两端固定细长压杆的临界力求两端固定细长压杆的临界力 ,0, 0, 0, 0, 00BvxPMAvx得由得由nkl2kxBkkxAkvPMkxBkxAvcossinsincos0kxkPMvPMkxPMvsincos000nkLklvlxnkLklvlx 0sin, 0, 2, 1cos, 0,即得由即得由2222)2 /(4LEILEIPcr为求最小临界力，P应取除零以外的最小值，即取：n=1所以，临界力为： 2 nkL = 0.5222224LEInEIkPEIPk又22224Lnk)1017.

9、 4121050433min(mmI2min2) ( lEIPcr 例例3 求细长压杆的临界力。解：2332)5007 . 0(1017. 4102005010Pll=0.5m，E=200GPa(kN)14.67(N)1014.67340mincm89. 3yII2min2) (lEIPcr解：查表P366，2432)5002(1089. 310200Pl(4545 6) 等边角钢已知：压杆为已知：压杆为Q235钢，钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长求细长压杆的临界压力。压杆的临界压力。441089. 3mm(kN)8 .76若是Q235钢，s=235MPa，则杆子的屈服载荷：APss

10、(kN)119可见杆子失稳在先，屈服在后。可见杆子失稳在先，屈服在后。 例例3 xxx0 x1x1y0y0z0 x0(N)108 .763210076. 5235(N)101193APcrcr一、一、 临界应力和柔度临界应力和柔度AlEI22)()(惯性半径 AIi il 9-3 9-3 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力 22Ecr记：）杆的柔度（或长细比 AIlE 22)(222)( liE 22)(ilE临界应力（欧拉公式）临界应力（欧拉公式）1，大大柔度杆柔度杆二、欧拉公式二、欧拉公式 的适用范围的适用范围22Ecrcr1P即：欧拉公式的

11、使用条件是欧拉公式的使用条件是 Pcr在时成立PcrE212PE21Q235钢，1001三、中小柔度杆的临界应力三、中小柔度杆的临界应力 压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图iL cr 22 Ecr 临界应力总图临界应力总图bacrP S 122basbas2 中中柔度杆柔度杆大大柔度杆柔度杆 粗短粗短杆杆（小柔度杆）（小柔度杆）式中式中a、b为材料常为材料常数。见表数。见表9-2(P302)四、小结四、小结scrbas222Ecr1，大大柔度杆柔度杆 2 1，中中柔度杆柔度杆bacr 2，粗短粗短杆杆PE21 il AIi APcrcr9-4 9-4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核PPncr1

12、.1.工作安全系数工作安全系数: :式中：式中：nst 规定的规定的安全系数安全系数2. 稳定条件：稳定条件：stcrnPPn stcrnPP 或或一、安全系数法一、安全系数法的函数，是，折减系数， 1轴向压缩强度条件：轴向压缩强度条件：稳定条件：稳定条件：二、折减系数法二、折减系数法AP AP 对于钢结构、木结构和混凝土结构，对于钢结构、木结构和混凝土结构，由设计规范确定，可以由设计规范确定，可以查表查表或查计算或查计算公式而得到。公式而得到。一压杆长l=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰支，压力P=150kN，材料为Q235钢， E=200GPa， P=200MPa， S=

13、235MPa， a=304MPa，b=1.12MPa， nst =2，试校核其稳定性。(一个角钢A1=8.367cm2，Ix=23.63cm4，Ix1=47.24cm4 ，z0=1.68cm ）, zyII 解：两根角钢图示组合之后4cm26.4763.2322xyII 例例4 yzxxx0 x1x1y0y0z0 x04cm486.9424.47221xzII367. 8226.47cm68. 1AIiy PE21bacrQ235钢：APcrcrstn杆子满足稳定性要求。杆子满足稳定性要求。il 200102003299bas212 3 .8912. 1304)MPa(204PPncr68.

14、115013 .8912.1235302 6 .61)27 .836(204)kN(34127.2150341图示立柱，l=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座，材料为Q235钢，E=200GPa， P=200MPa，试问 （1）a取多少时立柱的临界压力最大；（2）若 nst=3,则许可压力值为多少？) cm52. 1 ,cm74.12021zA41cm6 .3963 .19822zzII)2/( 22011azAIIyy)2/52. 1 (74.126 .2522a解：两根槽钢图示组合之后，Pl 例例5 y1C1z0z14141cm6 .25 ,cm3 .198 (yzII时

15、合理；得当zyII cm 32. 4 ayzail PE21求临界压力：1APcrcr(kN)8 .443大柔度杆，由欧拉公式求临界力。AIlz 74.1226 .3966007 . 05 .106AE2212742)5 .106(10200232(N)108 .44333 .992001020032stcrnPP稳定条件：stcrnPP)kN(14838 .443许可压力P148kN22)( lEIPcr(kN)8 .443或：23432)1067 . 0(106 .39610200(N)108 .4433 例例66工字形截面连杆，材料3号钢，两端柱形铰，在xy平面内失稳，z=1.0，在xz

16、平面内失稳，y=0.6。已知P=35kN，=206MPa，符合规范中a类中心受压杆的要求，试校核其稳定性。l1=580l2=750yxzy66241222xz2mm552A解： （1）计算横截面的几何性质zy6624122244mm1041. 1yI44mm104 . 7 zImm58.11552104 . 74AIizzmm05. 55521041. 14AIiyy58.1175011zzzilzy（2）计算连杆的柔度）计算连杆的柔度l1=580l2=750yxxz在在xy平面内失稳平面内失稳8 .64在在xz平面内失稳平面内失稳05. 55806 . 02yyyil9 .68xz平面内先失

17、稳平面内先失稳)849. 0844. 0(109849. 0或)MPa(174206845.0st（3）求稳定许用应力及稳定校核）求稳定许用应力及稳定校核9 .68y查表，并用内插值法：845. 0844. 0)MPa(4 .6310552103523ANst连杆满足稳定性要求。连杆满足稳定性要求。 例例77AB梁16号工字钢，CD柱63635角钢。q=48kN/m，材料为Q235钢， E=200GPa，P=200MPa， S=235MPa， a=304MPa，b=1.12MPa， n =1.4， nst =2.5，问梁和柱是否安全。AB2m2m48kN/mCDyz102mAB2m2m48kN/mCDAB2m2m48kN/mCNClfC 48 3EI