华南理工大学等数学多元函数的重点知识点和例题分析

1、1多元函数多元函数1. 二元函数二元函数（1）定义域：规律与一元函数类似）定义域：规律与一元函数类似( , )zf x yarcsinarccos,0,0.xyzabab的定义域例例3 3 求求解：要求满足解：要求满足1,1xxaaaxabybyybb 自己完成：自己完成：1（3）（）（4）2（2）函数符号的应用）函数符号的应用33( , )2,(,).f x yxyfxy设求p335p335：3 3解：直接代入法解：直接代入法33(,)()2()fxyxy 自己完成：自己完成：5，6332xy 3（2）函数符号的应用）函数符号的应用22(,)3,( , ).f xy xyxyf x y设求p

2、333p333：例：例6 6解：换元法解：换元法xyuxyv令自己完成：自己完成：92222( , )322uvvuf u vuuvv22uvxvuy22( , )f x yxxyy42、 二元函数的偏导数的定义二元函数的偏导数的定义00000000( , ),(,)(,)(,)(xzf x yxyyyxxxzf xx yf xyx对对二二元元函函数数在在点点处处，当当 固固定定在在 ，而而在在有有增增量量时时，相相应应函函数数有有增增量量称称为为对对 的的偏偏增增量量）0000000000000000(,)(,)(,)(,)limlim( , )(,)z,(,),(,) xxxxxxyxyz

3、f xx yf xyxxzf x yxyxffxyzxyxx如如果果极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为在在点点处处对对 的的偏偏导导数数，记记作作 500000000( , ),(,)(,)(,)(yzf x yxyxxyyyzf xyyf xyy对对二二元元函函数数在在点点处处，当当 固固定定在在 ，而而在在 有有增增量量时时，相相应应函函数数有有增增量量称称为为对对 的的偏偏增增量量）0000000000000000(,)(,)(,)(,)limlim( , )(,)z,(,),(,)yyyyyxyxyzf xyyf xyyyzf x yxyyffxyzxyyy 如如果果极极限限存

4、存在在，则则称称此此极极限限为为在在点点处处对对 的的偏偏导导数数，记记作作 63、 二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法( , ),( , )zzf x yzf x yyxx 对对求求时时，将将中中的的变变量量 看看成成常常数数，而而对对自自变变量量 求求导导。0000(,)(,)( , )xxxyfxyfx y0000(,),(,)( , )yyxyzfxyfx yy同同理理对对7p345，15（1）23(1,2)3,(1,2).yzzx yyfx设设求求60zxyx解解： (1,2)6 1 212. zx2233zxyy 22(1,2)3 13 215. yf自己完成：自己完成：

5、16（3）（）（4）（）（5），），1784、 二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数,zzx yxy 对对, ,继继续续关关于于求求偏偏导导221( , )xxzzxfx yxx（） 22( , ) xyzzxfx yx yy（ ） 23( , ) yxzyzfx yy xx（ ） 224( , )yyzyzfx yyy（ ） 自己完成：自己完成：26，2795、 二元函数的全微分二元函数的全微分( , )zzzf x ydzdxdyxy的的全全微微分分为为：自己完成：自己完成：3400000000(,)(,)(,)(,)xyxyxyzzzf xydzdxdyxy的的全全微微分分为为：p3

6、58，3722sin(),.zxxy设设求求d dz z2222sin()cos() 2zxyxxyxx解解：22cos() 2zxxyyy2222222sin()2cos()2cos()dzxyxxydxxyxydy106、 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则),(),(),(yxvyxuvufz ).,(),(yxyxfz 复合函数为复合函数为,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都在点都在点及及如果如果 ,的偏导数的偏导数和和具有对具有对yx在对在对且函数且函数),(vufz ),(vu应点应点则则复合函数复合函数),(),(yxyxfz 的两个的两个在对应

7、点在对应点),(yx偏导数存在偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算具有连续偏导数具有连续偏导数,的情形的情形.zzuzvyuyvy uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图变量树图uv ( , ),( , )zfx yx y 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy p360例例31,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求自己完成：自己完成：41，42，43，46137、隐函数微分

8、法、隐函数微分法1.( , )0( )dyf x yyy xdxx由由确确定定了了，求求方方程程两两边边关关于于 求求导导.( , , )0( , ),zzf x y zzz x yxyx y由由确确定定了了，求求方方程程两两边边关关于于求求导导自己完成：自己完成：55，57，59，60148、二元函数极值、二元函数极值00(,)0,xfxy驻驻点点：. 0),(00 yxfy),(),(00yxyxfz在点在点设函数设函数 的的某邻域内连续某邻域内连续, 有一阶及二阶有一阶及二阶连续偏导数连续偏导数, 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00ayxfxx 令令,),(

9、00cyxfyy ,),(00byxfxy ),(),(00yxyxf在点在点则则处处是否取得极值的条件如下是否取得极值的条件如下:(1)时时02 bac有极值有极值,时时当当0 a有极大值有极大值,时时当当0 a有极小值有极小值;(2)时时02 bac没有极值没有极值;(3)时时02 bac可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.15求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤: :),(yxfz 第一步第一步解方程组解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解求出实数解,得得驻点驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值

10、.cba、第三步第三步 定出定出2bac 的的符号符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.例例 求函数求函数xyyxyxf3),(33 的极值。的极值。解解,33),(2yxyxfx .33),(2xyyxfy 求解方程组：求解方程组： . 033, 03322xyyx得驻点得驻点 .,22xyyx).1 , 1( ),0 , 0(,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfa, 3)0 , 0( xyfb. 0)0 , 0( yyfc92 bac. 0 因此，驻点因此，驻点. )0 , 0(不是极值点不是极值点,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfa, 3)0 , 0( xyfb. 0)0 , 0( yyfc92 bac. 0 因此，驻点因此，驻点. )0 , 0(不是极值点不是极值点, )1 , 1( 处处在在, 06)1 , 1( xxfa, 3)1 , 1( xyfb. 6)1 , 1(