《则运算的连续》PPT课件

1、一一 四那么运算的延续性四那么运算的延续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如, ,),(cos,sin内内连连续续在在 xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx1.9 延续函数的运算与初等函数的延续性延续函数的运算与初等函数的延续性二二 反函数与复合函数的延续性反函数与复合函数的延续性定理定理2 2严厉单调的延续函数必有严厉单调的延续严厉单调的延续函数必有严厉单调的延续反函数反函数. .例如例如,2,2sin上

2、上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.),(cotarc,arctan上上单单调调且且连连续续在在 xyxy反三角函数在其定义域内皆延续反三角函数在其定义域内皆延续.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;意义意义定理定理3 3.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 例如例如, ,), 0()0,(

3、1内内连连续续在在 xu,),(sin内内连连续续在在 uy.), 0()0,(1sin内内连连续续在在 xy)(lim0 xfxx ).()()(lim000ufxfxfxx 证证,)(0连续连续在点在点uuuf .)()(,00成立成立恒有恒有时时使当使当 ufufuu),()(lim00 xxxx 又又, 0, 0 对对于于.)()(00成成立立恒恒有有 uuxx, 0, 0 ,0时时使当使当 xx综合两步综合两步: :, 0, 00时时使使当当 xx)()()()(00 xfxfufuf .成立成立 )(lim0 xfxx ).()(lim00ufxfxx 三三 初等函数的延续性初等函

4、数的延续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是延续的延续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理4 4 根本初等函数在定义域内是延续的根本初等函数在定义域内是延续的. . xy xaalog ,tay )0( log xxta， ,), 0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内延续均在其定义域内延续 )定理定理5 5 一切初等函数在其定义区间内都是延一切初等函数在其定义区间内都是延续的续的. .定义区

5、间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内延续初等函数仅在其定义区间内延续, 在在其定义域内不一定延续其定义域内不一定延续;例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义. .), 1上上连连续续函函数数在在区区间间 注注:例例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例2 2.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220

6、xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx2. 初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法.思索题思索题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.思索题解答思索题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的第一类是它的第一类(可去可去)延续点延续点. 0, 10, 00, 1)(xxxxf 求函数求函数)tan(/4)1()( xxxxf在区间在区间(0, 2)内的延续点，并判别其类型内的延续点，并判别其类型.解解 f(x)在在(0, 2)内有延续点为内有延续点为,47,45,43,4 x,43处处在在 x; 1)(lim43 xfx.)(47,43