高中数学排列组合-平均分组(分配问题)

1、高中数学排列组合-平均分组(分配问题)组合应用题组合应用题高中数学排列组合-平均分组(分配问题)1 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成并成一组一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个个元素的所有组合的个数，叫做从数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC2 2、组合数、组合数: :3、组合数公式、组合数公式:(1)(2)(1)!mmn

2、nmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm01.nC我们规定： 1: mn mnnCC定理高中数学排列组合-平均分组(分配问题)CCmnmn1 :证明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmncccmnmnmn11性质性质2高中数学排列组合-平均分组(分配问题) 注注:1 公式特征：下标相同而上标差公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数的两个组合数之和，等于下标比原下标多之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数较大的相同的一个

3、组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要应用时，我们会看到它的主要应用cccmnmnmn11排列组合中的分组排列组合中的分组(堆堆)分配问题分配问题ababcdcdacacbdbdadadbcbccdcdbdbdbcbcadadacacabab 1.1.把把abcdabcd分成平均两组分成平均两组ababcdcdacacbdbdadadbcbc有有_多少种分法？多少种分法？C4 42 2C2 22 2A2 22 23cdcdbdbdbcbcadadacacabab这两个在分组时只能算一个这两个

4、在分组时只能算一个2.平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以所以分组后要除以Amm，即，即m!，其中，其中m表示组数。表示组数。一、均分无分配对象的问题一、均分无分配对象的问题例例1 1：1212本不同的书本不同的书（1 1）按）按444444平均分成三堆有多少种不同的分法？平均分成三堆有多少种不同的分法？（2 2）按）按22262226分成四堆有多少种不同的分法？分成四堆有多少种不同的分法？C10102 2C8 82 2A3 33 3C12122 2C6 66 6(2)C8 84 4C4 44 4A3 33 3C121

5、24 412!4!8!8!4!4!13!(1)5775点拨提高点拨提高二、均分有分配对象的问题二、均分有分配对象的问题例例2 2：6 6本不同的书按本不同的书按222222平均分给甲、乙、丙三平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？个人，有多少种不同的分法？方法：方法：先分再排先分再排法。分成的组数看成元素的个数法。分成的组数看成元素的个数解：均分的三组看成是三个元素在三个位解：均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列置上作排列C4 42 2C2 22 2A3 33 3C6 62 2A3 33 3C4 42 2C2 22 2C6 62 2=90三、部分均分有分配对象的问题三、部分均分有

6、分配对象的问题例例3 123 12支笔按支笔按3 3：3 3：2 2：2 2：2 2分给分给A A、B B、C C、D D、E E五五个人有多少种不同的分法？个人有多少种不同的分法？方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列作排列C9 93 3C6 62 2A3 33 3C12123 3C4 42 2A2 22 2C2 22 2A5 55 5四、部分均分无分配对象的问题四、部分均分无分配对象的问题例例4 4 六本不同的书分成六本不同的书分成3 3组一组组一组4 4本其

7、余各本其余各1 1本有多少本有多少种分法种分法C64C21C11 A22五、非均分组无分配对象问题五、非均分组无分配对象问题例例5 65 6本不同的书按本不同的书按123123分成三堆有多少种分成三堆有多少种 不同的分法？不同的分法？注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用乘法原理作积再用乘法原理作积C61C52C33例例6 6 六本不同的书按六本不同的书按123123分给甲、乙、丙三个人有分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？多少种不同的分法？六、非均分组分配对象确定问题六、非均分组分配对象确定问题C61C52C33七、非均分组分配对象不固定问题

8、七、非均分组分配对象不固定问题例例7 7 六本不同的书分给六本不同的书分给3 3人，人，1 1人人1 1本，本，1 1人人2 2本本,1,1人人3 3本本有多少种分法有多少种分法C61C52C33A33注意：非均分组有分配对象要把组数当作元素注意：非均分组有分配对象要把组数当作元素个数再作排列。个数再作排列。练习练习11 1：1212本不同的书平均分成四组有多少本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？种不同分法？44333639312ACCCC五、当堂训练五、当堂训练练习练习22 2：1010本不同的书本不同的书（1 1）按）按22242224分成四分成四堆有多少种不同的分法？堆有多少种不同

9、的分法？（2 2）按）按22242224分给甲、分给甲、乙、丙、丁四个人有多少乙、丙、丁四个人有多少种不同的分法？种不同的分法？44262821033442628210CCCC2ACCCC(1)(3 3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？件，各有多少种不同的分法？（1 1）每人各得两本；）每人各得两本；（2 2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3 3）一人一本，一人两本，一人三本；）一人一本，一人两本，一人三本；（4 4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；）甲得四本，乙得一本，丙得一本；

10、(3)(4)C5 52 2C3 33 3C6 61 1A3 33 3C5 52 2C3 33 3C6 61 1C2 21 1C1 11 1C6 64 4(2)C4 42 2C2 22 2C6 62 2(1)高中数学排列组合-平均分组(分配问题)例例4.4.有有1010个运动员名额，再分给个运动员名额，再分给7 7个班，每班至少一个个班，每班至少一个, , 有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为1010个名额没有差别，把它们排成一排。相个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板