直线与椭圆的位置关系1101

1、方法一方法一：几何法。：几何法。 利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离d与圆半径与圆半径r之间的关之间的关系判断。系判断。dr直线与圆相离直线与圆相离d=r直线与圆相切直线与圆相切d0 直线与圆有两个交点直线与圆有两个交点相交相交 =0 直线与圆有一个交点直线与圆有一个交点相切相切 0 直线与圆没有交点直线与圆没有交点相离相离方法二：代数法（判别式法）方法二：代数法（判别式法）问题：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题：椭圆与直线的位置关系？问题：椭圆与直线的位置关系？不能！不能！所以只能用代数法所以只能用代数法因为他们不像圆一样有

2、统一的半径。因为他们不像圆一样有统一的半径。 一、直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m 0）ax+by+c=0由方程组：由方程组：0相交相交方程组有两解方程组有两解两个交点两个交点代数法代数法= n2-4mp22221xyab 这是求解直线与二这是求解直线与二次曲线有关问题的次曲线有关问题的通法通法。例例1.已知直线已知直线y=x- 与椭圆与椭圆x2+4y2=2，判断它们，判断它们的位置关系。的位置关系。2112yxx2+4y2=2解：联立方程组解：联立方程组消去消去y01452 xx=360，因为因为所以方程（）有两个根，所以方程（）有两个根，则原方程组有两组解则原方程组有两组

3、解.- (1)所以该直线与椭圆相交所以该直线与椭圆相交. 例例2 判断直线判断直线kx-y+3=0与椭圆与椭圆 的位置关的位置关系系141622yx时，相离，即时，相切或，即时，相交或即由解4545-0)3(45450)2(4545,0)1(51616020241414163:22222kkkkkkkxxxyxkxy 例例3 直线直线y=kx+1(kr)与椭圆与椭圆 恒有公共点恒有公共点,求求m的取值范围。的取值范围。1522 myx221:15ykxxym解22(5)10550mkxkxm 22104(5) 550kmkm （）（）22(51)0mkm51501515122mmmmmkmkm

4、且所以且又恒成立得由即二、二、弦长公式弦长公式： 设直线设直线 l与曲线与曲线c 相交于相交于a( x1 ，y1) ，b( x2，y2 )，则则 |ab| 其中其中 k 是直线的斜率是直线的斜率212212111yykxxk22121214)kxxxx （2121|abk xx 例例1 1已知斜率为已知斜率为1 1的直线的直线l l过椭圆过椭圆 的右焦点，交椭圆于的右焦点，交椭圆于a a，b b两点，求弦两点，求弦abab之长之长222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).f右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)a x

5、 yb xy设12128 38,55xxxx22212121211()4abkxxkxxxx85例例 2 2: :已知点已知点12ff、分别是椭圆分别是椭圆22121xy的左、右的左、右 解解法法一一韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造三、中点弦问题三、中点弦问题例例1、已知椭圆、已知椭圆 过点过点p(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.141622yx点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出

6、中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题例例1、已知椭圆、已知椭圆 过点过点p(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.141622yx例例2、如图，已知椭圆、如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于a、b两点，两点， ab的中点的中点m与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。221axby2 2,ab 22oxyabm22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (

7、,)a x yb x y设121221,bbxxx xabab(,)baabmab ab中点22121 21()4abkxxx x又moakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab ，求此椭圆方程。的横坐标为所得椭圆的弦的中点截直线的椭圆和、焦点分别为例212325, 025 , 03xy明理由。的方程；若不存在，说出直线？若存在，求的距离等于与有公共点，且直线与椭圆，使得直线的直线）是否存在平行于（的方程；）求椭圆（为其右焦点，且点经过点的椭圆已知中心在坐标原点福建、例lloaclloacfaco4210 , 23 , 2)2010(43、中点弦问题中点弦问题的两种处理

8、方法：的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率（点差法（点差法） 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式： |ab|= = （适用于任何二次曲线）（适用于任何二次曲线） 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 结结解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交弦中点问题弦中点问题：“点差法点差法”、“韦达定理韦达定理”遇到弦中点遇到弦中点, ,两式减一减两式减一减; ;若要求弦长若要求弦长, ,韦达来帮忙韦达来帮忙. .知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出差构造出中点坐标中点坐标和和斜率斜率112200( ,), (,),(,)a x yb xyabm xy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212abyykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：222222121