数学专题----三角形,圆,梯形常见辅助线做法汇总

1、 数学专题:三角形-常用辅助线 典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。全等三角形辅助线                                   找全等三角形的方法

2、：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC

3、交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。  （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3：已知，如图，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD。求证：B+ADC=180°。关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

4、见中点即联想到中位线。 （4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。  求证：DE=DF。例5：ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。              解题

5、后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP从而得以解决。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。2）在利用三角形三边关系证明线段不

6、等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例一 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图1：已知AD为ABC的中线，且12,34,求证

7、：BECFEF。二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图2：AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例：如图3：AD为 ABC的中线，求证：ABAC2AD。 图3练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF2AD。 四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图5：在ABC中，ABAC，12，P为AD上任一点。求证：ABACPBPC。五、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求证：ADBC六、连接

8、四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图7：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。七有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图8：在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD的延长于E 。求证：BD2CE 图8八、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且ABDC，ACBD，求证：AD。九、取线段中点构造全等三有形。例如：如图10：ABDC，AD 求证：ABCDCB。圆-常用辅助线1  遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心

9、和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例：如图，是O的直径,POAB交O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PMPN=2PO2.分析：要证明PMPN=2PO2，即证明PMPC =PO2，过O点作OCPN于C，根据垂经定理 NC=PC，只需证明PMPC=PO2，要证明PMPC=PO2只需证明RtPOCRtPMO.证明: 过圆心O作OCPN于C，PC= PNPOAB,

10、 OCPN，MOP=OCP=90°.又OPC=MPO，RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN，PMPN=2PO2.【例1】如图，已知ABC内接于O，A=45°，BC=2，求O的面积。 【例2】如图，O的直径为10，弦AB8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_【例3】如图，弦AB的长等于O的半径，点C在弧AMB上，则C的度数是_.2  遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例 如图，在ABC中，C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC

11、于点N（1） 求证：BA·BM=BC·BN；（2） 如果CM是O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值分析：要证BA·BM=BC·BN，需证ACBNMB，而C=90°，所以需要NMB中有个直角，而BN是圆O的直径，所以连结MN可得BMN=90°。MNOCA（1） 证明：连结MN，则BMN=90°=ACBACBNMBAB·BM=BC·BN（2） 解：连结OM，则OMC=90°N为OC中点BMN=ON=OM，MON=60°OM=OB，B=MON=30°ACB=90

12、76;，AB=2AC=2×3=6【例4】如图，AB是O的直径，AB=4，弦BC=2, B= 3  遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例5】如图，AB、AC是O的的两条弦，BAC=90°，AB=6，AC=8，O的半径是 5  遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。【例6】如图，AB是O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与O切于

13、C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD 6  遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.1无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例7已知：如图，AB是O的直径，ADAB于A， B

14、CAB于B，若DOC= 90°.求证：DC是O的切线.分析：DC与O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OEDC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中，需证明DEODAO证明：作OEDC于E点，取DC的中点F，连结OF.又DOC= 90°. FO=FD 1=3.ADAB，BCAB, BCAD, OF为梯形的中位线.OFAD . 2=3. 1=2.DO是ADE的角平分线. OADA，OEDC，OA=OE=圆的半径. DC是O的切线.2有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该

15、半径与直线垂直.例8已知：如图，AB为O的直径，BC为O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是O的切线.分析：D在O上，有点连圆心，连结DO，证明DODC即可. 证明：连结DO，OCAD DAO=COB，ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB，又OC=OC，DO=BO DOCBOC ODC=OBC， BC为O的切线，切点为BOBC=90°， ODC=90°，又D在O上，CD是O的切线.【例7】如图所示，已知AB是O的直径，ACL于C，BDL于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与O相切。 【例8】如图，ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且

16、分别交OA、OB于点E、F 求证：AB是O切线； 7  遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。【例9】如图，P是O外一点，PA、PB分别和O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作O的切线分别交PA、PB于D、E，若PDE的周长为12，则PA长为_8  遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：    内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

17、60;   内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图，ABC中，A=45°，I是内心，则BIC= 【例11】如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离9  遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。课后冲浪1已知：P是O外一点，PB，PD分别交O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分BPD.2 如图，ABC中，C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15，BO=10，求圆O的半

18、径.3已知：ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切O于E点.求证：AD也和O相切.4如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米小时，则受噪音影响的时间是多少秒？5如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BCOA，连结AC，求阴影部分的面积.我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；已知有两圆，常画连心

19、线；.遇到相交圆，连接公共弦；遇到相切圆，作条公切线；“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.梯形-常见辅助线的作法一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。例1如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD,ACBD,梯形的高CF为10，求梯形ABCD的面积。                          

20、0;            二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。 例2如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是(  )       A.9O° B.6O° C.45° D.30°例3如图，在梯形ABCD中，ADBCAD<BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EFBC。求证：B=C。