浅析坐标法求立体几何中的角

1、浅析坐标法求立体几何中的“角”浙江省宁波市鄞州高级中学刘翔（315194）摘要：本文在介绍坐标法求解立体几何中异面直线所成的角和直线与平面所成的角的基础上，重点介绍了在利用坐标法求解二面角的大小时所遇到的困难，通过引入卦限的定义，以及对二面角的内部与外部加以界定，使难点得以突破。从而也使教育工作者在处理坐标法求解二面角大小的过程中处理这方面的难点有所着落，并且此法具有很强的可操作性，易教易学。关键字：卦限、二面角、二面角内部、坐标、法向量引子学习了立体几何以后我们知道应用传统的立体几何方法解决立体几何问题会遇到很多困难，例如：证明线面平行问题时想在已知平面内找到一条平行于已知直线的直线，或是找

2、到两个有用的平行平面等不容易（通常都需要作辅助线，而作辅助线的方法恰恰是很多学生的软肋）；证明线面垂直时要在已知平面内找到两条与已知直线垂直的相交直线也不太容易。类似这些诸如证明面面平行、面面垂直等问题都是我们学生学习立体几何的难点。对学生而言更难的问题是立体几何中求角的问题，诸如异面直线所成的角，线面角等，尤其是求解有关二面角的一些问题对学生而言更是难点。学习了空间向量以后，我们似乎找到了可以轻松突破以上问题的有效方法，但事实却并非如此，。笔者下面将就学生在利用空间向量坐标法求解立体几何问题时所遇到的困难及笔者本人的一些见解和观点详述之，希望能够得到有关同仁的指正，以求更好地将这些问题梳理清

3、楚，有利于今后的课堂教学。先介绍几个“概念”：（一）卦限 我们在建立空间直角坐标系以后，实际上是在一个三维空间中放置了三个两两垂直的平面平面，平面以及平面，此三个坐标平面把三维空间分成八个部分，我们将每个部分叫做一个卦限。并且将含有轴正半轴、轴正半轴、轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四分别在平面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限（如图1）。可以通过已知点的坐标确定其所在的卦限或平面。例如点在第四卦限，在第六卦限，在平面直角坐标系下的第四象限等（如图2）。七一二四五六三八图1（二）二面角的内部与外部 如图3所示，我们把图中二面角所夹的

4、空间部分称为二面角的内部，而其余的部分称为二面角的外部。即一个二面角恰好将一个三维空间分成两个互不相交的两部分。二面角内部二面角外部二面角外部二面角外部图3图2正文笔者在本文中主要解决的问题是：利用向量的坐标法解决立体几何中的有关角的问题。在立体几何中我们学习的有关角的问题主要有三种：异面直线所成的角、线面所成的角、二面角的平面角。详述如下：一、异面直线所成的角在人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学必修2第二章空间中直线与直线的位置关系一节中介绍了异面直线所成的角的概念。学生在学习这部分内容时，通常的求解方法是将空间中两条异面直线通过平移的方法平移到同一个平面中，通过转化的方法求

5、解。但是在具体的题目中这种平移往往不易做到，大多数情况下要作辅助线、补图等方法求解。学习了空间向量的坐标表示以后，可以仅仅通过向量的坐标运算就可以解决空间中异面直线所成的角的问题，而不用作任何辅助线。具体操作如下：设，是空间中两条异面直线，与的方向向量分别为，可以通过求解这两条异面直线的方向向量的夹角来确定异面直线，所成的角。图4图5显然，利用直线的方向向量求空间中异面直线所成的角会遇到如图4、图5两种情况的讨论。事实上可以利用空间中异面直线所成的角的范围（）将这两种情况“归一”。 （1）、在图4中异面直线与所成的角与向量，的夹角互补，即：.（2）、在图5中异面直线与所成的角与向量，的夹角相等

6、，即：.所以不论哪种情况我们都有：，从而可以求出两条异面直线与所成的角。ABCDOP图6小结：向量的坐标法求解异面直线所成的角时，克服了学生在利用立体几何知识将两条异面直线平移到同一平面中所遇到的困难，事实上，我们只要将这两条异面直线“放”到空间直角坐标系中（建立空间直角坐标系）就可以很容易解决这类问题。当然，空间直角坐标系要是选择的好，可以使运算更方便。例1、如图6，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，ACDB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PBPD.求异面直线PD与BC所成角的余弦值；解析：我们知道，若能通过平移直线的方法找

7、到两条异面直线PD与BC所成的角，可以求解。可以过点D作直线DE/BC,再连接PE，则的余弦值的绝对值就是题目中要求的异面直线PD与BC所成角的余弦值。但是通过这种方法求解此题最大的难点就在于将两条异面直线平移到一个三角形中，不易办到。而且即使找到异面直线所成的角，其运算量也很大，要通过解三角形利用余弦定理求解。如果我们使用空间向量的坐标法求解此题会更容易一些。如图6，在底面上的投影为,且所以可以如图建立空间直角坐标系，,设异面直线PD与BC所成的角为，故直线PD与BC所成的角的余弦值为二、直线与平面所成的角OAB图7立体几何中线面所成的角的概念是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书

8、数学必修2第二章直线与平面垂直的判定一节中介绍的。求线面所成的角的方法主要是通过在直线上任选一点，过作,连接斜足与垂足所在的直线，如图7，则就是直线与平面所成的角。基于此，我们知道，学生在解决线面所成的角的问题时，首先要解决的问题就是如何作高，及找角。，如果我们利用空间向量的坐标法可以使我们在解决此类问题时，迎刃有余。具体操作如下：OAB图9OAB图8设直线与平面，其中直线的方向向量，平面的法向量，下面我们通过直线的方向向量和平面的法向量求解直线与平面所成的角。如图8、图9所示：存在以上两种情况，下面我们利用直线与平面所成的角的定义分别分析这两种情况：（1）、在图8中直线与平面所成的角与直线的

9、方向向量与平面的法向量的夹角互余，即（2）、在图9中直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量的夹角满足关系：所以以上两种情况下都有：，从而可以求出直线与平面所成的角的大小。ABCDOP图10例2、如例1的其它条件不变，求直线PA与平面PBC所成角的余弦值。解析：要想通过做辅助线地方法在图中作出直线PA与平面PBC所成的角，可谓困难重重。现在我们仍按照图10中所示的方法建立空间直角坐标系，使用坐标法加以求解，读者可以发现其中的奥妙。如图10，我们需要下列点的坐标，：, 设平面PBC的法向量为，所以由方程组令，可得平面PBC的一个法向量为，设直线PA与平面PBC所成角的大小为，可得直线PA

10、与平面PBC所成角的余弦值为小结：向量的坐标法在求解直线与平面所成的角时克服了学生因为找不到直线与平面所成的角的困难,通过直线的方向向量与平面的法向量所成的角转化求解.可以达到事半功倍的效果.三、二面角的平面角二面角的平面角的求解一直是学生学习立体几何的一个难点，很多教育工作者试图通过各种方法试图在图形中找到二面角的平面角，然后利用解三角形的知识加以求解。笔者在此同样将二面角放到空间直角坐标系下，利用构成二面角的两个半平面的法向量的坐标表示和坐标运算加以求解。如下图图12图11图14图13所以，第一个需要解决的问题是：二面角的平面角与组成二面角的两个半平面的法向量的夹角之间的关系是怎么样的呢？

11、有以下两种情形：（1）当两个法向量的方向均指向二面角的内部或外部时，如图11和图12所示，此时二面角的平面角的大小与两个法向量的夹角互补。即：（2）当两个法向量的方向分别指向二面角的内部和外部时，如图13和图14所示，此时二面角的平面角的大小与两个法向量的夹角相等。即：这样我们需要解决的第二个问题是：什么时候法向量指向二面角的内部，什么时候法向量指向二面角的外部呢。要解决这个问题就要用到我们在本文一开始引入的卦限的概念。首先来解决法向量的指向问题，CBAO图15根据空间向量的平移不变性，要解决法向量的指向问题，我们只需要将向量的起点平移到坐标原点O，终点设为P，则终点P的坐标和平面的法向量的坐

12、标表示一样。从而根据法向量的坐标所在的卦限判断法向量的指向。如图15所示空间直角坐标系下的平面ABC，其法向量存在两种可能：或，设，所以若取平面ABC的法向量为时，取平面ABC的法向量为时，。CBAO图16P从而我们可以根据空间向量的平移不变性由向量的坐标来确定其所在的卦限，进而我们可以判断一个二面角的两个半平面的法向量到底是指向二面角的内部还是外部。具体的我们参考下例：如图16设四棱锥P-OABC底面为正方形，满足条件,，所以平面POA的法向量指向平面POA与平面PBC构成的二面角的内部，而平面PBC的法向量指向平面POA与平面PBC构成的二面角的外部。例3、如例1的其它条件不变，求平面PA

13、D与平面PBC所成角的平面角的余弦值。ABCDOP图17解析：如图17所示，由题意及例1和例2我们知道： ，不难求出平面PAD的一个法向量为，对应的点在第四卦限，指向平面PAD与平面PBC所成二面角的外部。平面PBC的一个法向量为，对应的点的坐标在第二卦限，也指向平面PAD与平面PBC所成二面角的外部。不妨设此二面角平面角的大小为，所以所以平面PAD与平面PBC所成角的平面角的余弦值为小结：（1）、利用坐标法的方便之处在于可以不用作出二面角的平面角，通过求平面的法向量的夹角就可以求出二面角平面角的大小。（2）、利用坐标法需要注意的就是先要准确利用上述方法判断法向量的指向，然后才能确定二面角的平面角与两个法向量夹角之间的关系，从而正确求角。尾声：（1）、本文中利用坐标法求解二面角方便、有效、可操作，如果上课老师在上课时向学生介绍此法时可以将图