高中数学论文_图形计算器应用能力测试活动学生_探究如何用影子的长度和身高计算纬度 (1)

1、辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 探究如何用影子的长度和身高计算纬度【摘要】在旅行或者初次到达一个陌生的地方的时候，你有可能会很想知道当地的一些地理信息。那么，经纬度便是必不可少的。可如何就手边的条件求出我们所在的经纬度呢？我们根据建模、构图、探究以及卡西欧图形计算器的拟合论证，得出了影子长度与人所在地理位置之间的联系，同时还找出了不同时间测量数据即测量精度的差异。通过推理论证与试验，我们肯定了我们的结果，并且在实验过程中领悟了团队合作的重要性以及毫不气馁的奋斗精神。【关键词】影长，太阳高度角，纬度，经度，直射点，卡西欧图形计算器Abstract ：

2、arrived in a strange place in travel or first, you may want to know some of the local geographic information. Then, the longitude and latitude is essential. How can you hand term to calculate the latitude and longitude of where we are? According to the modeling, composition, research, demonstration,

3、 the shadow between the length and location of contact, but also finds out the difference that measurement accuracy of different time measurement data. By reasoning and test, we confirm our results, and realize the importance of teamwork and the spirit of struggle not discouraged in the course of th

4、e experiment.Keywords：shadow, solar altitude, altitude, longitude, direct point， CASIO一 引言发现过程与资料调查在一次放学回家时，我们发现夕阳将我们的影子投射出去很长，又联想到中午的时候影子的长度只有一小段，于是我们想到一天之间人的影长与时间之间存在一定的关系。这使得我们联想到冬天和夏天物体在正午时间的影子长度是有差别的，而生活中我们也知道，不同位置不同时间的影子的长度与方向是有区别的，也就是说影子的长度和方向和时间还有位置都有关系。那么这种关系有没有量化公式呢？在此想法的基础上，我们查阅了很多有记载影长与时

5、间关系的网站，发现虽然里面有表述影子的长度的粗略应用，但并没有什么实际作用，只是一种辅助说明而已。因此我们想根据学过的数学、地理知识进行论证研究。二 原理论证由影长与身高比求人所在纬度为了便于研究，我们以北半球为例。在不同时间段例影子可能会出现以下三种情况：符号说明：我们规定为人所在的纬度，为太阳光线与赤道面的夹角，即正午太阳高度角的余角，的正切值就是正午时影子与身高的比值。假设一个人的身高为，正午时我们测得影子长为，规定 ，那么。1 如右图，太阳在我们的南方，但太阳直射点在赤道以北，这种情况出现在每年的3月21日和当年的9月23日之间。2如右图，太阳在我们的南方，且太阳直射点在赤道以南，这种

6、情况出现在每年的9月23日和次年的3月21日之间 3如右图，太阳在我们的北方，这种情况下人只可能在赤道以北，北回归线以南 为了将以上三种情况统一，我们规定人在北半球时，恒大于零，太阳直射点在北半球时大于零，太阳直射点在南半球时小于零，那么。由高中地理知识可知，太阳直射点在一年中有两次扫过赤道，并各有一次到达南北回归线，且南北回归线所在的为都是23°26´N和23°26´S，由春分日开始太阳直射点的运动经过顺序为赤道（3月21日）北回归线（6月22日）赤道（9月23日）南回归线（12月22日）赤道（3月21日）。因此在一年中所变化的角度为4×23

7、°26´=3416´，一年中有365天（不考虑闰年多出来的一天），那么，有计算器可知在每一天里变化的角度就是3416´÷365=9.3589´（近似值），我们将它记为常数.由于的大小随日期的变化而变化，且在3月21日和9月23日之间为正（太阳直射点在北半球），在9月23日和3月21日之间为负（太阳直射点在南半球），因此我们可以作出图像。 由与我们并不好求出此图像所对应的准确的函数解析式，但是我们可以大致分析与的函数关系。我们取使满足，此时对应两个，即和，且和关于6月22日对称，因此虽然,但，所以和距离和它们最近的春分和秋分的天数是相等

8、的，所以我们可以用测量日距离和它最近的春分和秋分的天数与建立函数关系，这个关系可以表示为。但由此以来产生问题：天数总是正数，有正有负，我们如何将的正负区分开呢？为此我们取,使满足，此时对应两个，即和，且和关于12月22日对称。经过分析可知：春分之后秋分之前（图像中轴上方的部分），每远离一天或临近一天，增加或减少；秋分之后春分之前（图像中X轴下方的部分），每远离一天或临近一天减少或增加。因此为保证的正负，我们规定在3月21日和9月23日之间时为正，在9月23日和次年3月21日之间为负。于是我们可以得到公式，因为，所以。 当，即时（A，B图）， ，此时；当，即时（C图），此时；当，即时，没有影子，

9、不在考虑范围之内。当人在南半球时，我们规定恒大于零，太阳直射点在北半球时大于零，太阳直射点在南半球时小于零，。由于同的关系未变，所以我们依然采用刚才的图像，则。 由于，所以。 图D 图E 图F 当，即（如图D，E）时，此时；当，即（如图F）时，此时；当，即时，没有影子，不在考虑范围之内。 因此我们得到了一个形式较为统一的公式：为简化分类原理，我们观察六幅图,其中,两图中影子指向北极；图中，影子指向赤道；两图中影子指向南极；图中，影子指向赤道，并且图在北半球，图在南半球。因此对于公式， 当影子指向两极时，； 当影子指向赤道时，； 当影子在北半球时，； 当影子在南半球时，。由影长与身高比求人所在纬

10、度（推广）图G如右图G中，、为不同纬度相同经度的不同太阳位置.为人，为地面上的点，且、垂直于地面，分别为、所对应的影子，因为、到地面距离近似相等（取为，注：AU为天文学单位，即1.49597870691亿公里），所以，由相似可证，易证 ，即太阳在同经度上不同纬度的变化不会影响影子在东西方向上的长度。图H同理当太阳在同纬度上不同经度的变化也不会影响影子在南北方向上的长度。如图H，假设人高，某时刻（非正午）人影长为.将人的影长正交分解为南北方向的与东西方向的.图I如图I,假定太阳某时刻直射的经线与当天直射的纬度所交的点为，人所在位置为，为地心，为与同纬度与同经度的点，设人影长与正北方向所成角为，可

11、得上文中转化为。由此，我们可以不在正午测量影子长度也可以测量纬度。由影长与身高比求人所在经度图J 图K如图J，为已知经度为的一点，为人所在点、为赤道上的点，且与同经度，与同经度。当阳光直射点在所在经线，即点影子不向东西方向偏转时，测量处影子。同样地，用如图H正交分解为南北方向的与东西方向的。将立体图J用平面图K表示，C为A2点，D为A1点设人身高为，人影长为与正北方向所成角为，图中BO与l夹角为，可得。由于地球到太阳的距离D约为1.5亿千米，地球的平均半径d约为0.6371千米均远大于人高，因此ACB。（此时图K可以表示为图L）图L 因此设AOB=，则CAO=，由正弦定理可得，即（取），所以。

12、取东经为正，西经为负，即经度范围为，若人的影子向西偏转，则人所在位置经度为-；若人的影子向东偏转，则人所在位置经度为+。（注：若±范围超过，则自动减或加）。应用推广因为一天中，地球自转一周，所以角速度为，此时人所在当地时间为（分钟）（若影子偏向西方为正，反之为负）。三 验证结论为验证公式的可用性，我们做了以下实验：时间： 2013年3月20日 地点：北京说明：北京的纬度约为40°由于在北半球且影子指向北极，所以选用公式3月21日为春分日前一天，所以测得（影子长）=169，(身高)=189，所以所以由卡西欧计算器计算有=arc tan(169/189) -1X41.5424误差为1.5424误差分析：我们进行测量的时间是12:45，已经过去正午将近一个小时，对影子长度的影响比较大测量上的误差，影响较小，可忽略地球为球形，越是到了高纬，影长的实际值就比理论值大的越多，影响稍小，可忽略因此测量和的时间是否准确就直接影响纬度测量的结果，但通过上述实验来看，这种测算纬度的方法是十分可取的，误差在我们可以接受的范围之内。四、感悟与感谢通过此次探究，我们学会了很多，首先我们学习到了如何进行选题，如何将选题融入生活当中，并且能活学活用现有