数理统计部分 方差分析与协方差分析 回归方程 非参数统计PPT课件

1、专题一：方差分析与协方差分析专题一：方差分析与协方差分析1. 1. 单因素试验及有关的基本概念 在试验中，有可能影响试验指标并且有可能加以控制的试验条件称为因素。通过试验的设计，在试验中只安排一个因素有所变化、取不同的状态或水平，而其余的因素都在设计的状态或水平下保持不变的试验称为单因素试验。 一、单因素方差分析一、单因素方差分析第1页/共54页 可设单因素试验的因素为A，共有A1、A2、Ar等r个水平、分别安排了n1、n2、nr次重复试验，其中的第i个水平Ai安排了ni次重复试验，所得到的样本为Xi1、Xi2、Xini，相应的观测值为xi1、xi2、xini，式中的n1+n2+nr= n。

2、水平水平 观测值观测值 A1 x11 x12 x1n1 A2 x21 x22 x2n2 Ar xr1 xr2 xrnr 第2页/共54页,injijiixnx11设设 riiirinjijxnnxnxi11111 在单因素试验中，假设有在单因素试验中，假设有r r个编号为个编号为i i1 1至至r r的正态总体，它们分别服从的正态总体，它们分别服从N(N(i i,2 2) )分布，分布， 第3页/共54页当i及2未知时，要根据取自这r个正态总体的r个相互独立且方差相同的样本检验原假设H0：各i(i=1至r)相等，所作的检验以及对未知参数的估计称为方差分析。 称为总平均值称为总平均值 , ,第4

3、页/共54页总离均差平方和的分解总离均差平方和的分解对对总总平平均均值值考考虑虑全全体体样样本本观观测测值值ijx的离均差平方和的离均差平方和 ix,)( rinjijixxSST112,)(rinjijixxSSE112记记第5页/共54页结论结论1 1）SST=SSE+SSA； rinjijixxSST112)( rinjiiijixxxx112)()( rinjirinjiijiixxxx112112)()( rinjiiijixxxx112)(第6页/共54页 rinjiiijixxxx11)(而而. )()(011 rinjiijiixxxx.SSASSESST第7页/共54页结论结

4、论2 2）);(rnSSE22 结论结论3 3）当H0为真时， );(122rSSA 结论结论4 4）当H0为真时，SSE、SSA相互独立； 第8页/共54页结论结论5 5）当H0为真时，时，时，rnSSEMSErSSAMSA,1),(rnrFMSEMSAF1.),(011HrnrFF时拒绝时拒绝当当第9页/共54页2 单因素方差分析的计算单因素方差分析的计算 data ex；do a=1 to 3；input n ； do i=1 to n； input x ； Output；end；end； Cards； 8 21 29 24 22 25 30 27 26 10 20 25 25 23 2

5、9 31 24 26 20 21 6 24 22 28 25 21 26 ； proc anova; class a;model x=a； means a/duncan cldiff；run;第10页/共54页 例1.1切胚乳试验切胚乳试验用小麦种子进行切胚乳试验，设计分3种处理，同期播种在条件较为一致的花盆内，出苗后每盆选留2株，成熟后测量每株粒重(单位：g)，得到数据如下： 处理处理 未切去胚乳未切去胚乳 切去一半胚乳切去一半胚乳 切去全部胚乳切去全部胚乳 每株粒重每株粒重 21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,2

6、2,28,25,21,26第11页/共54页第12页/共54页方差来源 A 误差 总和 平方和 6.77223.73230.50自由度 2 21 23均方和 3.39 10.65 F值 0.32显著性 N第13页/共54页 例例1.21.2药剂处理药剂处理用用4 4种不同的药剂处种不同的药剂处理水稻种子，发芽后观测到苗高理水稻种子，发芽后观测到苗高( (单位：单位：cm)cm)如下：如下： 处理处理 1 2 3 4 苗苗 高高 19, 23, 21, 13 21, 24, 27, 20 20, 18, 19, 15 22, 25, 27, 22第14页/共54页data ex;do a=1 t

7、o 3;do i=1 to 5 ;input x ;output;end;end;cards;19 23 21 13 21 24 27 20 20 18 19 15 22 25 27 22;proc anova; class a;model x=a;means a/duncan cldiff;run;第15页/共54页第16页/共54页方差来源 A 误差 总和 平方和 104 118 222自由度 3 12 15均方和 34.67 9.83 F值 3.53显著性 *第17页/共54页二、双因素方差分析二、双因素方差分析（一）不考虑交互作用的双因素方差分析（一）不考虑交互作用的双因素方差分析1.

8、理论理论 通过试验的设计，在试验中只安排两个因素有所变化、取不同的状态或水平，而其他的因素都在设计的状态或水平下保持不变的试验称为双因素试验。 第18页/共54页 可设双因素试验的一个因素为A，共有A、A、A等r个水平，另一个因素为B，共有B、B、B等s个水平。 这两个因素的水平互相搭配各安排一次试验，其中A因素的A水平与B因素的B水平搭配安排试验所得到的样本为X，相应的观测值为x 第19页/共54页2)(xxSSTijij2)(xxxxSSEjiijij2)(xxSSAiij2)(xxSSBjij第20页/共54页MSEMSBFB服从 F(s-1,(r-1)(s-1)分布 方差来源平方和自由

9、度均方和 F值显著性 A B 误差 总和 SSA SSB SSE SST r-1 s-1(r-1)(s-1) rs-1 MSA MSB MSE FA FBMSEMSAFA服从F(r-1,(r-1)(s-1)分布 第21页/共54页2.不考虑交互作用的双因素方差分析的计算第22页/共54页data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 5;input x ;output;end;end;cards;53 56 45 52 49 47 50 47 47 53 57 63 54 57 58 45 52 42 41 48;proc anova;class a b;model x=a b;m

10、eans a b/duncan cldiff;run;第23页/共54页第24页/共54页第25页/共54页（二）考虑交互作用的双因素方差分析（二）考虑交互作用的双因素方差分析 1.理论考虑交互作用的双因素试验 可设双因素试验的一个因素为A，共有A1、A2、Ar等r个水平，另一个因素为B， 共有B1、B2、Bs等s个水平。这两个因素的水平互相搭配各安排m次试验，其中A因 素的A水平与B因素的B水平搭配安排试验所得到的样本为X，相应的观测值为x。第26页/共54页ijkjikxxSST2)(ijijkjikxxSSE2)(iijkxxSSA2)(ijjkxxSSB2)(ijijjikxxxxSS

11、AB2)(第27页/共54页MSEMSAFA服从F(r-1,rs(m-1)分布 MSEMSBFB服从 F(s-1,rs(m-1) )分布 MSEMSABFAB服从 F(r-1)(s-1),rs(m-1)分布 第28页/共54页方差来源平方和自由度均方和 F值显著性 A B AB 误差 总和 SSA SSBSSAB SSE SST r-1 s-1 (r-1)(s-1)rs(m-1) rsm-1 MSA MSB MSAB MSE FA FB FAB第29页/共54页考虑交互作用的双因素方差分析第30页/共54页data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 3;do i=1 to 2;

12、input x ;output;end;end;end;cards;58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.849.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.4 60.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.775.8 71.5 58.2 51 48.7 41.4;proc anova;class a b;model x=a b a*b;means a b/duncan cldiff;run;第31页/共54页第32页/共54页第33页/共54页 统计控制的基本概念 如果在单因素、双因素或多因素试验中有无法控制的因素x影响试验的结果Y，且x可以测量、x与Y之间

13、又有显著的线性回归时，常常利用线性回归来矫正Y的观测值、消去x的差异对Y的影响。例如，研究施肥对苹果树产量的影响，由于苹果树的长势不齐，必须消去长势对产量的影响。又如，研究饲料对动物增重的影响，由于动物的初重不同，必须消去初重对增重的影响。这种不是在试验中控制某个因素，而是在试验后对该因素的影响进行估计，并对试验指标的值作出调整的方法称为统计控制，可以作为试验控制的辅助手段。以统计控制为目的，综合线性回归分析与方差分析所得到的统计分析方法，称为协方差分析，所需要统计控制的一个或多个因素，例如苹果树的长势，又如动物的初重等等称为协变量。第34页/共54页三、单因素协方差分析三、单因素协方差分析1

14、.理论理论第35页/共54页第36页/共54页第37页/共54页第38页/共54页第39页/共54页第40页/共54页 施用三种肥料的产量矫正后有极显著的差异 第41页/共54页 data ex; do a=1 to 3;do i=1 to 8; input x y ;output ;end;end; cards; 47 54 58 66 53 63 46 51 49 56 56 66 54 61 44 50 52 54 53 53 64 67 58 62 59 62 61 63 63 64 66 69 44 52 48 58 46 54 50 61 59 70 57 64 58 69 53

15、66 ; proc glm;class a;model y=x a/solution; lsmeans a/stderr pdiff;run;第42页/共54页第43页/共54页四、双因素协方差分析 （一）不考虑交互作用的双因素协方差分析 方差来源平方和自由度 均方和 F值 显著性 A QA r-1 MQA FA B QB s-1 MQB FB 误差 QErs-r-s MQE 总和 QT rs-2第44页/共54页第45页/共54页 data ex;do a=1 to 3 ;do b=1 to 5 ;input x y ;output; end; end;cards;8 2.85 10 4.2

16、4 12 3.00 11 4.94 10 2.8810 3.14 12 4.50 7 2.75 12 5.84 10 4.0612 3.88 10 3.86 9 2.82 10 4.94 9 2.89;proc glm;class a b ;model y=x a b/solution;lsmeans a b/stderr pdiff;run;第46页/共54页第47页/共54页 方差来源平方和 自由度 均方和 F值 显著性 A0.6046 2 0.3023 2.49 N B7.1245 4 1.7811 14.66 * 误差0.8502 7 0.1215 总和8.5793 13各小区的产量矫

17、正后没有显著的差异，各品种的产量矫正后有极显著的差异。第48页/共54页（一）考虑交互作用的双因素协方差分析 方差来源平方和自由度 均方和 F值 显著性 A QA r-1 MQA FA B QB s-1 MQB FB AB QAB(r-1)(s-1) MQAB FAB 误差 QErs(m-1)-1 MQE 总和 QT rsm-2第49页/共54页第50页/共54页 方差来源 平方和自由度 均方和 F值显著性 A277.43485 3 92.4782866.51 * B 2.845259 3 2.845259 0.20 N AB 12.848100 1 4.282700 0.30 N 误差 99.441171 7 14.205882 A与B的交互作用矫正后不显著，促生长剂之间的差异极显著，试验批次间的差异不显著 第51页/共54页 data ex; do a=1 to 4; do b=1 to 2; do i=1 to 2;input x y ;output;end;end;end; cards; 14.6