数理统计中常用的抽样分布PPT课件

1、 统计量统计量 定义：设(X1,X2,Xn )是来自总体X的一个样本,f(X1,X2,Xn)是关于X1,X2,Xn的一个连续函数且f(X1,X2,Xn)中不含有任何未知参数,则称f(X1,X2,Xn)是样本(X1,X2,Xn )的一个统计量. 设(x1,x2,xn )是相应于样本(X1,X2,Xn )的样本值,则f(x1,x2,xn)称是f(X1,X2,Xn)的统计量值.第1页/共41页 常用的统计量常用的统计量 niiXnX11:样本均值 设(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本,则niiXXnS12)(11:样本修正标准差niiXXnS122)(1:样本方差,.2 , 11:1kXnA

2、knikik阶原点矩样本,.2 , 1)(1:1kXXnBknikik阶中心矩样本niiXXnS122)(11:样本修正方差第2页/共41页 注意:若总体均值E(X)存在，总体方差D(X)存在，则由X1,X2,Xn的独立性及同分布性，有12nE XE XE XE X12nD XD XD XD X12()kkkknE XE XE XE X第3页/共41页nXDXE2)()(证明niiniiXEnXnEXE11)(1)1()( 定理:设总体X的均值为,方差为2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有21211)(1)1()(nXDnXnDXDniinii第4页/共41页22)(SE 定理:设总体

3、X的均值为E(X)=,方差D(X)=2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有证明212)(11)(niiXXnESEniiXnXnE122)()(11)()(11221XnEXEnniiniiXXnE12)()(112221)(11 )()(11nnnnXnDXDnnii第5页/共41页nXDXE2)()().,(2nNX故有又服从正态分布因为证明,X).,(,),(),.,(:2221nNXNXXXXn则样本均值的一个样本是来自总体设定理第6页/共41页解 (),()25 16,E XD X因为).1625,(NX故有221.625 1625 16XP XPP U(1.6)( 1.6)2

4、(1.6) 12 0.9452 10.8904 第7页/共41页2 数理统计中常用的抽样分布2.1 2分布分布2分布的概念分布的概念第8页/共41页2分布的的密度函数的示意图第9页/共41页2分布的构造分布的构造 定理:设X1,X2,Xn是相互独立的随机变量,且XiN(0,1),则统计量)(.2222212nXXXn.),(,22平均数方和的标准正态随机变量的个相互独立可分解为则若反之nXn第10页/共41页2分布的性质分布的性质nXEXEEniinii12122)()()( 定理:设12 2(n1), 22 2(n2),且12与 22相互独立 ,则12 + 22 2(n1 + n2).证明

5、由分布的可加性即可证明. 定理:若2 2(n), 则E(2)=n,D(2)=2n.证明 因XiN(0,1),故E(Xi2)=D(Xi)=1; D(Xi2)=E (Xi4)-E(Xi2)2=3-1=2, i=1,2,n于是nXDXDDniinii2)()()(12122第11页/共41页2分布的上分位点分布的上分位点对于(0,1)给定,称满足条件:)(222)()(ndxxfPnn的点n2( )为n2分布的上 分位点.2(n)第12页/共41页2.2 T分布分布T分布的概念分布的概念第13页/共41页T分布的的密度函数的示意图第14页/共41页T分布的构造分布的构造第15页/共41页T分布的性质

6、分布的性质(1) f(t)(1) f(t)关于t=0t=0(纵轴)对称，且 E(T)=0，D(T)0 x,e21) t () t ( flim2tn2(2) f(t)(2) f(t)的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即 第16页/共41页T分布的上分位点分布的上分位点 设T Tt(n),t(n),对于(0,1)(0,1)给定, ,称满足条件: :)()()(ntdttfntTP的点t tn n( ( ) )为t t分布的上 分位点. .t(n)第17页/共41页注注:)()(1ntnt)(1nt)(nt第18页/共41页2.3 F分布分布F分布的概念分布的概念第19页/共41页F分布的

7、的密度函数的示意图(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O第20页/共41页F分布的构造分布的构造 定理:设X 2(n1),Y 2(n2),且X,Y独立,则随机变量),(/2121nnFnYnXF ./)(),(),(,21221221nYnXFnYnXnnFF使量则有相互独立的随机变若反之第21页/共41页分布的性质分布的性质),(1),(12211nnFnnF定理：1),(211nnFFP证明证明:设设FF(n1,n2),则则1),(11211nnFFP),(112nnFF),(11211nnFFP),(112nnFFP得证得证!第22页/共41页分布的上分位点分布的上

8、分位点设F (n1,n2) ，对于给定的a,0a1, 称满足条件的点F F ( (n1,n2) )为F F分布的上 分位点. .OF(n1,n2),(2121d)(),(nnFyypnnFFP第23页/共41页解 因此有 101244. 1iiXP101209. 044. 13 . 0iiXP1012163 . 0iiXP1 . 0第24页/共41页91291)(iiiiYXZ试确定Z的分布. 解 由样本的同分布性知： 9 , 2 , 1),9 , 0(),9 , 0(iNYNXii由此得： ) 1 , 0(9191NXii)9(932912291iiiiYY由t分布的构造知: )9(9991

9、9129191291tZYXYXiiiiiiii第25页/共41页. , 10,)P(X ),1,0(分位点为标准正态分布的上则称点满足条件若设uuuNX57. 2645. 1u u 57. 2645. 1u 995. 00.95- 1005. 00.05uuu查表可知0 x)(xu1u第26页/共41页3 一个正态总体下的统计量的分布nXDXE2)()().,(2nNX故有).,(,),(),.,(:2221nNXNXXXXn则样本均值的一个样本是来自总体设定理证明又服从正态分布因为,X第27页/共41页) 1()() 1()2(221222nXXSnnii 定理:设(X1,X2,Xn)是来

10、自总体XN(,2)的一个样本,则;) 1 (2相互独立与样本修正方差样本均值SX第28页/共41页) 1()(ntSnX) 1 , 0()(/, ),(2NXnnXnNX即因为) 1()() 1(221222nXXSnnii又且它们表示的随机变量是相互独立的,故则本修正方差分别为其样本均值与样与一个样本的是来自总体设定理,),(),.,(:2221SXNXXXXn证明) 1(/ )() 1() 1(22ntSnXnSnnXT第29页/共41页解 ) 1 , 0(/2NnXnX(0.05)(10.95)/20.975n) 1 . 0|(|XPnnXnP/21 . 0/2/21 . 0)05. 0

11、()05. 0(nn95. 01)05. 0(2n所以第30页/共41页解 )9(4) 110(22S222999(2.622)2.6225.8995 ,444P SPSPS查表得 899. 5)9(275. 0 x则有 75. 0)622. 2(2SP由于第31页/共41页4 两个正态总体下的统计量的分布两个正态总体下的统计量的分布YYXXniiYYniiYYYnYniiXXniiXXXnXYYnSYnYNYYYYXXnSXnXNXXXXYX12212211221221)(11,1,),(),.,()(11,1:),(),.,( ,的一个样本是来自总体的一个样本总体是来自相互独立与设总体第3

12、2页/共41页) 1 , 0(/)()(22NnnYXYYXXYX定理：证 独立与由于),(),(22YYYXXXnNYnNX),(22YYXXYXnnNYX所以) 1 , 0(/)()(22NnnYXYYXXYX因此第33页/共41页)2(11)()(YXYXwYXnntnnSYX2) 1() 1(222YXYYXXWnnSnSnS其中 注:此定理只有在两个总体的方差相等时才成立.则本方差分别为其样本均值与样与一个样本的是来自总体值与样本方差分别为其样本均与的一个样本总体是来自相互独立与设总体定理;,),(),.,( ;,),(),.,( ,:22212221YYnYXXnXSYNYYYYS

13、XNXXXXYX第34页/共41页),(2XXnNX) 1 , 0(11)()(NnnYXUYXYX),(2YYnNY) 1() 1(222XXnSnX) 1() 1(222YYnSnY)2() 1() 1(22222YXYYXXnnSnSnV)2(11)()()2/(YXYXwYXYXnntnnSYXnnVUT 证明: (1)因为所以(2)因为(3)故所以第35页/共41页) 1, 1(2222YXXYYXnnFSSF) 1, 1(22YXYXnnFSSF特别,当X2 = Y2时,有则为其样本方差的一个样本是来自总体为其样本方差的一个样本自总体是来相互独立与设总体定理;,),(),.,(;,

14、),(),.,( ,:22212221YYYnYXXXnXSNYYYYSNXXXXYX第36页/共41页证 ) 1() 1(222XXXnSnX) 1() 1(222YYYnSnY),() 1/() 1() 1/() 1(2222YXYYYXXXnnFnSnnSnYX),(2222YXXYnnFSSYX由F分布的构造知 即 由于且相互独立第37页/共41页解 ) 1 , 0(10/110/1)56()(NYX)3 . 1(YXP10/110/1)56(3 . 110/110/1)56()(YXP67. 010/110/1)56()(YXP7486. 0)67. 0(第38页/共41页解 )18(10/110/1)56()(tSYX其中 2) 1() 1(212222112nnSnSnS29733. 0189816. 099130. 09则 ) 3 . 1(YXP10/110/19733. 05