全国通用版高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数二学案 新人教A版选修22

1、13.3函数的最大(小)值与导数(二)学习目标1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题知识点用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f(x)；(2)求极值嫌疑点：即f(x)不存在的点和f(x)0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.类型一由极值与最值关系求参数

2、范围例1若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()a(1，) b(1,4)c(1,2 d(1,2)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案c解析由f(x)33x20，得x±1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得a212<1<a，解得1<a<.又当x(1，)时，f(x)单调递减，且当x2时，f(x)2.a2.综上，1<a2.反思与感悟函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内跟踪训练1若函数f(x)x36bx3b在(0,1)

3、内有最小值，则实数b的取值范围是()a(0,1) b(，1)c(0，) d.考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案d解析由题意得，函数f(x)x36bx3b的导数f(x)3x26b在(0,1)内有零点，且f(0)<0，f(1)>0，即6b<0，且(36b)>0，0<b<，故选d.类型二与最值有关的恒成立问题例2已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)<c2恒成立，求实数c的取值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取

4、值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因为f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为，(1，)；单调递减区间为.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，f c为极大值，因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值要使f(x)<c2(x1,2)恒成立，只需c2>f(2)2c，解得c<1或c>2.故实数c的取值范围为(，1)(

5、2，)引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x1,2，不等式f(x)<c2恒成立”改为“若存在x1,2，不等式f(x)<c2成立”，结果如何？解由典例解析知当x1时，f(1)c为极小值，又f(1)c>c，所以f(1)c为最小值因为存在x1,2，不等式f(x)<c2成立，所以只需c2>f(1)c，即2c22c3>0，解得cr.故实数c的取值范围为r.反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2(1)已知函数f(x)2xln x，g(x)x2ax3对一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，则a的取值范围是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导

6、数求恒成立中参数的取值范围答案(，4解析由2xln xx2ax3，得a2ln xx.设h(x)2ln xx(x>0)则h(x)，当x(0,1)时，h(x)<0，h(x)单调递减，当x(1，)时，h(x)>0，h(x)单调递增h(x)minh(1)4.a4.(2)设l为曲线c：y在点(1,0)处的切线求l的方程；证明：除切点(1,0)之外，曲线c在直线l的下方考点利用导数求函数中参数的取值范围题点恒成立中的证明问题解设f(x)，则f(x)，所以f(1)1，所以l的方程为yx1.证明设g(x)x1f(x)，除切点外，曲线c在直线l的下方等价于x>0且x1，g(x)>0

7、.g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0<x<1时，x21<0，ln x<0，所以g(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递减；当x>1时，x21>0，ln x>0，所以g(x)>0，故g(x)在(1，)上单调递增；所以，x>0且x1，g(x)>g(1)0.所以除切点外，曲线c在直线l的下方.1函数f(x)xex，x0,4的最大值是()a0 b. c. d.考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案b解析f(x)exxexex(1x)，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增，当1x4时，f(x)

8、0，f(x)单调递减，当x1时，f(x)maxf(1).故选b.2函数f(x)xln x的最小值为()ae2 bece1 d考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案c解析f(x)xln x，定义域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)>0，解得x>，令f(x)<0，解得0<x<，函数在上单调递减，在上单调递增，故当x时，函数取最小值，故选c.3已知函数f(x)exxa，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是()a(1，) b(，1)c1，) d(，1考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案a解析f

9、(x)ex1，令f(x)>0，解得x>0，令f(x)<0，解得x<0，故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故f(x)minf(0)1a，若f(x)>0恒成立，则1a>0，解得a>1，故选a.4已知函数f(x)x33x22，x1，x2是区间1,1上任意两个值，m|f(x1)f(x2)|恒成立，则m的最小值是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案4解析f(x)3x26x3x(x2)，当1x<0时，f(x)>0，f(x)单调递增，当0<x1时，f(x)<0，f(x)单调递减，所以

10、当x0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)2，又f(1)2，f(1)0，所以f(x)的最小值为2，对1,1上任意x1，x2，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4，所以m|f(x1)f(x2)|恒成立，等价于m4，即m的最小值为4.5已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x>0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x>0，不等式f(x)2c2恒成立，求实数c的取值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)在x1处取得极值3c知f(

11、1)bc3c，得b3.又f(x)4ax3ln xax4·4bx3x3(4aln xa4b)，由f(1)0，得a4b0，a4b12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x>0)令f(x)0，得x1.当0<x<1时，f(x)<0，f(x)为减函数；当x>1时，f(x)>0，f(x)为增函数因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(3)由(2)知f(1)3c既是极小值，也是(0，)内的最小值，要使f(x)2c2(x>0)恒成立，只需3c2c2，即2c2c30.从而(2c3)(c1)0，解得c或c1.故实数c的取值范围为

12、(，1.1若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内2已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.一、选择题1已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)在1,1上的最大值、最小值分别为()a0，4 b.，4c.，0 d2,0考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案b解析由题意得即得则f(x)x32x2x，f(x)3x24x1，令f(x)0得x1或x，由f ，f(1)4，f(1)0，f(x)max，f(x)min4.2已知a

13、，b为正实数，函数f(x)ax3bx2在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为()a0 b.c2 d2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值答案a解析因为a，b为正实数，所以f(x)ax3bx2是增函数，函数f(x)ax3bx2在0,1上的最大值f(1)ab24，ab2.在1,0上的最小值为f(1)(ab)20.3若关于x的不等式x33x3a0恒成立，其中2x3，则实数a的最大值为()a1 b1c5 d21考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案d解析若关于x的不等式x33x3a0恒成立，则ax33x3在2,3上恒成立，令f(

14、x)x33x3，x2,3，则f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)>0，解得1<x<1，令f(x)<0，解得x>1或x<1，故f(x)在2，1)上单调递减，在(1,1)上单调递增，在(1,3上单调递减，而f(2)1，f(1)5，f(1)1，f(3)21，故a21，故a的最大值是21.4当x(0,3)时，关于x的不等式exx2mx>0恒成立，则实数m的取值范围是()a. b.c(，e1) d(e1，)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案a解析当x(0,3)时，关于x的不等式exx2mx>0恒成立，即

15、为2m1<在(0,3)上的最小值，令f(x)，则f(x)，当0<x<1时，f(x)<0，f(x)单调递减；当1<x<3时，f(x)>0，f(x)单调递增可得f(x)在x1处取得最小值e，即有2m1<e，可得m<.5若函数f(x)x33x21在a，)上的最大值为1，则a的取值范围是()a3，) b(3，)c(3,0) d3,0考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案d解析f(x)x33x21，f(x)3x26x，令f(x)3x26x0，解得x0或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,0)0(0，)f(

16、x)00f(x)极小值极大值由f(x)1，得x33x211，解得x0或x3.当x>0时，f(x)<f(0)1，当x<3时，f(x)>f(3)1，又f(x)x33x21在a，)上的最大值为1，a的取值范围为3,06关于函数f(x)(2xx2)ex的命题：f(x)>0的解集是x|0<x<2；f()是极小值，f()是极大值；f(x)没有最小值，也没有最大值其中正确的命题是()a bc d考点导数在最值问题中的应用题点最值与极值的综合应用答案a解析由于ex>0，所以f(x)>0，即需2xx2>0解得x|0<x<2，正确因为f(x)

17、(2xx2)ex的定义域是r，f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，令f(x)0，得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f()是极小值，f()是极大值，正确由图象(图略)知f()为最大值，无最小值，错误7若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最大值，则实数a的取值范围是()a(，1) b(，1c(，2) d(，2考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案d解析由题意知f(x)x33x，所以f(x)3x233(x1)(x1)，当x<1或x>1时，f(x)>0；当1<

18、;x<1时，f(x)<0，故x1是函数f(x)的极大值点，f(1)132，令x33x2，解得x2，由题意得解得<a2.二、填空题8已知f(x)x2mx1在区间2，1上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案4，2解析f(x)m2x，令f(x)0，得x.由题意得2，1，故m4，29已知e是自然对数的底数，若函数f(x)ex的图象始终在函数g(x)xa图象的上方，则实数a的取值范围是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案(1，)解析由题意知f(x)g(x)exxa>

19、0，对一切实数x恒成立，令h(x)exxa，则h(x)min>0，h(x)ex1，令h(x)0得x0，当x<0时，h(x)<0，则h(x)在(，0)上单调递减，当x>0时，h(x)>0，则h(x)在(0，)上单调递增，当x0时，h(x)取得极小值，即最小值为h(0)1a，1a>0，即a>1.10已知函数f(x)ax33x1，且对任意x(0,1，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案4，)解析当x(0,1时，不等式ax33x10可化为a.设g(x)，x(0,1，则g(x).令

20、g(x)0，得x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：xg(x)0g(x)极大值因此g(x)的最大值等于极大值g4，则实数a的取值范围是4，)11已知函数f(x)axln x，g(x)exax，其中a为正实数，若f(x)在(1，)上无最小值，且g(x)在(1，)上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案1，e解析f(x)axln x(x>0)，f(x)a，若f(x)在(1，)上无最小值，则f(x)在(1，)上单调，f(x)0在(1，)上恒成立，或f(x)0在(1，)上恒成立，a或a，而函数y在(1，)上单调递减，当x1时，

21、函数y取得最大值1，a1或a0，而a为正实数，故a1，又g(x)exax，g(x)exa，函数g(x)exax在区间(1，)上单调递增，g(x)exa0在区间(1，)上恒成立，a(ex)min在区间(1，)上恒成立而ex>e，ae.综合，a1，e三、解答题12已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cr)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)<2|c|恒成立，求实数c的取值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x3处取得极

22、值，1,3是方程3x22axb0的两根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，令f(x)3x26x90，得x1或x3.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值而f(1)c5，f(3)c27，f(2)c2，f(6)c54，当x2,6时，f(x)的最大值为c54，要使f(x)<2|c|恒成立，只需c54<2|c|.当c0时，c54<2c，c>54；当c<0时，c54<2c，c<18.故实数c的取值范围是(，18)(54，)13已知函数f(x)，若当x0,2时，f(x)恒成立，求a的取

23、值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解f(x).当a0时，令f(x)0，得x1.在(0,1)上，有f(x)>0，函数f(x)单调递增；在(1,2)上，有f(x)<0，函数f(x)单调递减又f(0)0，f(2)，故函数f(x)的最小值为f(0)0，结论不成立当a0时，令f(x)0，得x11，x21.若a<0，则f(0)a<0，结论不成立若0<a1，则10.在(0,1)上，有f(x)>0，函数f(x)单调递增；在(1,2)上，有f(x)<0，函数f(x)单调递减只需得到所以a1.若a>1，则0<1<1，函数在x1处有极小值，只需得到因为2a1>1，<1，所以a>1.综上所述，a的取值范围是a.四、探究与拓展14设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点m，n，则当|mn|达到最小时t的值为()a1 b. c. d.考点利用导数求函数的最