《概率论1讲》PPT课件

1、概率论第1讲第一章预备知识本文件可从网址math.shekou上下载概率论是研讨随机事件的规律性的一个数学分支, 直观地说是指这样的事件: 在一次实验中, 它出现与否是具有偶尔性的, 但是在大量反复实验中, 它却是具有内在的必然性即规律性的.第一章 预备知识第一节 陈列与组合乘法原理: 假设一个过程可以分成两个阶段进展, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个阶段的任一种做法都可以与第二个阶段的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.一, 陈列从n个不同的元素中, 恣意取出r个不同的元素(0 r n)按照一定的顺序排成一列, 这样的一列

2、元素叫做从n个不同元素中取r个不同元素组成的一种陈列. 对于一切不同陈列的种数, 通常表示为rnP先设0rn, 每一种陈列由在r个有次序位置上各放上一个元素所组成. 第一个位置上的元素有n种不同的取法; 在它取定之后, 第二个位置上的元素只需n-1种不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三个位置上的元素只需n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只需n-r+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所求陈列种数为(1)(2)(1)rnPn nnnr 或改写为(1)(2)(1)(1)(1)()(1)3 2 1()(1)3 2 1!()!rnPn nnnrn nnrnr nrnr nrnnr

3、 当r=n时, 所求陈列种数为n!. 假设规定0!=1, 那么上式依然成立. 因此, 当0rn时, 上述陈列问题的答案总可以表达成!()!rnnPnr例1 计算从八个不同的元素中任取三个的陈列种数.解 所求陈列种数为388 7 6336P 例2 从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不同的数组成的三位数中有几个是偶数?解 所得的三位数是偶数, 它的个位上应是2,4,6中的一个. 因此, 按置在个位上的数有三种不同的取法, 而十位, 百位上的数共有65种不同的取法. 从而所求的个数为 365=90以上陈列问题中参与陈列的元素是不允许反复的. 但有时需求思索允许反复的情况, 例如号码就允许数

4、字反复. 现思索从n个各不一样的元素里任取一个, 然后放回去, 再取一个, 然后又放回去, 这样共进展r次, 问所得不同的陈列共有多少种? 显然, 这种情况下陈列种数共有rn nnnr 例3 用0,1,2,.,9这十个数字组成三位数, 在这些三位数中,(1) 如思索数字可以反复, 问可以组成多少不同的三位数?(2) 三个数字没有反复的有几个?(3) 三个数字都一样的有几个?(4) 只需两个数字一样的有几个?解 (1) 在数字可以反复的情况下, 计算能组成多少个不同的三位数时, 由于百位数上不能放置0, 所以组成的不同的三位数的个数应为 91010=900(2) 百位上的数字有9种不同的取法.

5、在百位上的数字取定后, 十位上的数字有9种不同的取法. 在百位和十位上的数字都取定后, 个位上的数字只需8种不同的取法, 所以没有反复数字的三位数的个数为 998=648.(3) 由于百位上的数字有9种不同的取法, 在百位上的数字取定后, 十位上及个位上的数字随之而定, 所以三个数字都一样的三位数的个数为9.(4) 只需百位上与十位上的数字一样的三位数的个数为99, 只需十位上与个位上的数字一样的三位数的个数为99, 只需百位上与个位上的数字一样的三位数的个数为99. 所以只需两个一样数字的三位数的个数为99+99+99=243二, 组合设有n个不同的元素, 从它们中间任取r个(0 r n)构

6、成一组. 这里, 不思索这r个元素的次序, 只研讨有多少种不同的取法, 这就是组合问题. 称每一个获得的组为一个组合. 对于一切不同的组合的种数, 通常把它记作rnCrn或从n个不同元素中任取r个元素出来, 得到一个组合, 对这r个元素进展各种陈列, 共得r!种不同的陈列, 但一切这些陈列均是由一种组合变来的, 所以陈列的种数rnP是组合种数nr 的r!倍, 即!()! !rnnnPnrnrrnrr 例4 有五本不同的数学书, 八本不同的物理书, 从中任取两本数学书, 四本物理书. 问有多少种不同的取法?解 从五本数学书中任取两本, 种数为55 41021 2 从八本物理书中任取四本, 种数为

7、88 7 6 57041 2 3 4 因此所求总数为1070=700.第二节 集合集合, 有时简称为集, 是具有某种特定性质的事物所组成的集体. 通常用大写字母A,B,C,.来表示集合. 组成集合的各个事物称为这集合的元素. 假设e是集合A的一个元素, 便记作eA. 假设e不是A的元素记作eA. 假设集合A是由元素e1,e2,.等组成的, 记作A=e1,e2,.集合的元素可以是恣意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如,(1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:A=1,2,.;(2)在给定直线上全体点组成的集合;(3)平面上区域D中一切点组成的集合;(4)数轴上一切区间组成的

8、一个集合;(5)定义域为区间(a,b)的一切延续函数;(6)某地域一切学龄前儿童组成的一个集合.在讨论集合时, 反复的元素只算一次. 例如把1,2,2,3与1,2,3看作是同一个集合.假设一个集合中只需有限多个元素, 称这集合为有限集. 假设一个集合中有无限多个元素, 称这集合为无限集.假设一个无限集中的诸元素能与全体自然数构成一一对应关系, 那么称这无限集为可数集或可列集, 否那么为不可数集.),(,)(;,41,31,21,41,31,21;3 , 2 , 13 , 2 , 1 ,集它也是一个不可数无限称它为区间的实数组成一个集合于小所有大于数的无限集所有实数组成一个不可为元素的可数集是以

9、数字为元素的有限集是以三个数字例如bababa集合之间的关系与集合的运算一, 子集假设属于集合A的任一元素都属于集合B, 那么称集合A是集合B的子集, 记作AB(或BA), 读作A含于B(或B包含A).BA例如, 由一切偶数组成的集合是由一切整数组成的集合的子集; 区间(1,2)是区间(1,4)的子集. 特别地, 一个集合A是它本人的一个子集. 显然, 当AB且BC时, AC.为了讨论方便, 把不含任何元素的集合称为空集, 记作. 把空集作为任一集合A的子集, 即对任一集合A, A.假设AB且BA, 那么称集合A,B相等, 记作A=B书上印错二, 并集由至少属于集合A或集合B二者之一的一切元素

10、所组成的集合称为集合A与集合B的并集, 记作AB. AB例如, 集合1,2,3与集合3,4,5的并集为集合1,2,3,4,5; 区间(1,3)与(2,4)的并集为区间(1,4); 区间(-,3)与区间(-,1)的并集为区间(-,3)由平面上坐标满足1x2的点的全体组成的集合与由坐标满足2y4的点的全体组成的集合的并集如下图:O1224yx三, 交集由同时属于集合A及集合B的一切元素所组成的集合称为集合A与集合B的交集, 记作ABAB例如, 区间(-, 3)与区间(1, +)的交集为区间(1,3); 由平面上圆x2+y2=1内的一切点的集合与由横坐标大于零的一切点组成的集合的交集如下图的右半圆.

11、xy11O假设AB=, 即A,B无公共元素, 就称集合A与集合B互不相交.例如, 由一切正数组成的集合与由一切负数组成的集合互不相交; 区间(1,2)与区间(2,3)互不相交.集合的并与交满足如下的分配率:(AB)C=(AC)(BC).ABC证 以下诸关系式是相互等价的:e(AB)C,eAB且eC,eAC或eBC,e(AC)(BC).从而上述分配律成立.集合的并及交可以从两个推行到有限多个或可数多个集合上去, 诸集合A1,A2,.的并集A1A2.就是由至少属于A1,A2,.中一个的一切元素组成的集合; 诸集合A1,A2,.的交集A1A2.就是由同时属于A1,A2,.的一切元素组成的集合. 分配律对于有限个或可数多个集合的并集也成立,即(A1A2.)C=(A1C)(A2C).四, 差集 余集设A,B为恣意两个集合, 称由属于集合A而不属于集合B的一切元素组成的集合为集合A与集合B的差集, 记作A-BAB例如, 区间(1,4)与区间(0,2)的差集为区间2,4). 特殊地,