椭圆——标准方程

1、 椭圆标准方程【知识点】知识点一椭圆的定义(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：PM|MF1|MF2|2a，2a>|F1F2|.(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系

2、不确定【问题二】若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(3，0).设P(x，y)，依题意得|PA|PB|10，所以10，即点P的轨迹方程为1.椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上              _   (a>b>0)F1(c，0)，F2_2c焦点在y轴上&#

3、160;            _  (a>b>0)F1               ，F2(0，c)2c椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程1(a>b>0)1(a>b>0)焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，

4、c)a，b，c的关系b2a2c2根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，1)，F2(0，1)，焦距|F1F2|2.类型一：椭圆的定义【例1】点P(3，0)是圆C：x2y26x550内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.方程x2y26x550化标准形式为：(x3)2y264，圆心为(3，0)，半径r8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|MP|r8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6|

5、CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.设M(x，y)，据题，圆C：(x3)2y29，圆心C(3，0)，半径r3.由|MC|MP|r，故|MC|MP|r3，【变式】若将本例中圆C的方程改为：x2y26x0且点P(3，0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程.即3，整理得1(x<0).【变式2】下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆；已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段；到定点F1(3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨

6、迹为椭圆.<2，故点P的轨迹不存在；因为2a|F1F2|4，所以点P的轨迹是线段F1F2；到定点F1(3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).类型二：求椭圆的标准方程命题角度1用待定系数法求椭圆的标准方程【例2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，)的椭圆的标准方程.方法一当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(a>b>0).依题意有解得由a>b>0知不合题意，故舍去当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(a>b>0).依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的方程为

7、mx2ny21(m>0，n>0，mn).则解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，故椭圆的标准方程为1.【变式】求与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程.据题可设其方程为1(>9)，又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得11(21舍去)，故所求的椭圆方程为1.总结：(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m>0，n>0).(2)与椭圆1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为1 (a>b>0，b2>)，与椭圆1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为1

8、(a>b>0，b2>).【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的两个焦点坐标分别为F1(4，0)，F2(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；解：设其标准方程为1(a>b>0).据题2a10，c4，故b2a2c29，所求椭圆的标准方程为1.（2）椭圆过点(3，2)，(5，1)；设椭圆的一般方程为Ax2By21(A>0，B>0，AB)，则解得故所求椭圆的标准方程为1.（3）椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).解：设椭圆的标准方程为1(a>b>0).由解得所求椭圆的标准方程为y21.命题角度2用定义法

9、求椭圆的标准方程据题C1(3，0)，r11，C2(3，0)，r29，设M(x，y)，半径为R，则|MC1|1R，|MC2|9R，故|MC1|MC2|10，据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a5，c3，故b2a2c216.【例3】已知一动圆M与圆C1：(x3)2y21外切，与圆C2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.故所求动圆圆心M的轨迹方程为1.总结：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.【变式3】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点

10、P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，不妨取|PF1|，|PF2|，由椭圆的定义，知2a|PF1|PF2|2.即a.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴.在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2，c2，b2a2c2.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为1或1.类型三: 椭圆中焦点三角形问题【例4】已知P是椭圆=1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF230°，求F1PF2的面积.解：由椭圆的标准方程，知a，b2，c1，|F1F2|2.又由椭圆的定义，知|PF1|PF2

11、|2a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cosF1PF2，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|2|PF1|·|PF2|cos 30°，即420(2)|PF1|·|PF2|，|PF1|·|PF2|16(2). |PF1|·|PF2|sinF1PF2×16(2)×84.【例5】已知椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|4，求F1PF2的大小.解：由1，知a3，b，c，|PF2|2a|PF1|2，cosF1PF2，F1PF

12、2120°.【变式】(1)在椭圆C：1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中，F1PF2，点P的坐标为(x0，y0)，求证：PF1F2的面积SPF1F2c|y0|b2tan.(2)已知椭圆的方程为1，椭圆上有一点P满足PF1F290°(如图).求PF1F2的面积.在PF1F2中，根据椭圆定义，得|PF1|PF2|2a.两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.根据余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 4c2.，得(1cos )|PF1|PF2|2b2，（1）SPF1F2|F1F2|y0|c|y0|.所以|PF1|P

13、F2|.根据三角形的面积公式，得 |PF1|PF2|sin ··sin b2·.又因为tan，所以SPF1F2b2tan.（2）由已知得a2，b，从而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|24.又由椭圆定义知|PF1|PF2|2×24，所以|PF2|4|PF1|.所以c1.从而有(4|PF1|)2|PF1|24.解得|PF1|.所以PF1F2的面积S|PF1|·|F1F2|××2，即PF1F2的面积是.总结：(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2

14、的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(c，0)，F2(c，0).(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|MF2|2a列方程，并将其坐标化为2a. (4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2a2c2，可得椭圆标准方程为1(a>b>0). 知识点椭圆标准方程的认识与推导【问题1】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上标准方程的代数特征：方程

15、右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值【问题2】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上【问题3】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|MF2|2a列方程，并将其坐标化为2a.(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2c2)x2a2y2a2

16、(a2c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2a2c2，可得椭圆标准方程为1(a>b>0)(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上由曲线与方程的关系可知，方程是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程(1)椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在x轴上形状、大小相同a>b>0，b2a2c2，焦距为2cF1(c,0)，F2(c,0)1(a>b>0)焦点在y轴上F1(0，c)，F2(0，

17、c)1(a>b>0)(2)方程Ax2By21表示椭圆的充要条件是_A>0，B>0且AB_(3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为_a2b2c2_类型一椭圆标准方程的确定例1求焦点在坐标轴上，且经过A(，2)和B(2，1)两点的椭圆的标准方程解方法一(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，依题意有解得此时不符合a>b>0，所以方程组无解故所求椭圆的标准方程为1.方法二设所求椭圆的方程为Ax2By21(A>0，B&

18、gt;0且AB)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.反思与感悟求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置【变式1】求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点(，)；(2)焦点在y轴上，且经过两点(0,2)和(1,0)解(1)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(a>b>0)由椭圆的定义知：2a 2，即a.又c2，b2a2c26.所求的椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(a>b>0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所求的椭圆的标准方程为x21.类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例2如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹解设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则xx0，y.因为点P(x0，y0)在圆x2y24上，所以xy4.把x0x，y02y代入方程，得x24y24，即y21.所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆反思与感悟如果一个动点P随着另一个在已知曲