第一讲相似三角形——比例线段

1、 第一讲 相似三角形相似与比例线段 第一课时一放缩与相似1. 相似形的概念一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形叫做相似形。2. 相似形的特征(1) 相似三角形的特征 A' =A ; B'=B; C' =C =K(2) 相似多边形的特征推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。【典型例题】1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm，那么长春到大连的实际距离为 千米。【同类变式】2. 在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的

2、图纸上，量得ABC的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际A'B'C'的周长是多少米？3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A地（正方形场地）面积是3cm2,问该地实际面积是多少？4. 下列说法正确的有（ ）个（1）有一个角是的等腰三角形相似 （2）有一个角是的等腰三角形相似（3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似（5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相

3、似形，求原长方形的长与宽之比。【同类变式】6. E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB=1。求矩形ABCD的面积。7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？二比例线段(1) 线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作a:b或。(2) 比例线段：在四条线段a b c d中，其中两条线段a, b的比等于两条线段c,d的比, 即，那

4、个这四条线段叫做比例线段。其中，a b c d叫做成比例的项。(3) 比例外项，比例内项，第四比例项(4) 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b=b:c,那么线段b叫做线段的比例中项。比例的性质(1) 比例的基本性质 ad=bc (运用等式的基本性质)特别地，a:b=b:c，那么b2=ac,反之亦然(2) 合比,分比性质如果，那么(两种证明方法)，(3) 等比性质如果，那么=推论=.=k注意 b1+b2+b3+.+bn0(4) 反比性质如果，那么(5) 更比性质如果，那么（交换内项）或（交换外项）【典型例题】1. (1) 已知a, b, c, d是成比例线段，其中a=3,b=2,

5、c=6,求d的大小 (2) 已知线段a, b, c其中一条线段是另两条线段的比例中项，且a=3,b=6,求c的大小2. 已知 3. 已知 4. 若互不相等的四条线段的长满足，m是任意实数，则下列各式中正确的是（ ）A B. C. D. 7. ，若 8. 已知x, y, z三个不同的正数，且。求x: y9. 已知，AD=15，AB=40，AC=28，求AE的长度。10. 已知.求证：(1);(2) 第二课时三黄金分割黄金分割：当AP:AB=0.618，我们称之为黄金分割。注：(1) 黄金分割数不是一条线段的长。它指的是一条线段被点P黄金分割所分成的两条线段中较长的线段比上原线段的比值。(2) 条

6、件AP>PB,AP:AB=是在这个前提下才能成立(3) 黄金分割清晰定义：线段上一点把它分成两条线段，其中较长线段是较短线段与原线段的比例中项，这种分割叫做黄金分割。1. (1) 已知线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC>BC,求线段AC和BC的长。 (2) 乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器面上，支撑点C是靠近点B的黄 金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点。求CD的长。【同类变式】2. 已知线段AB的长为4cm，P是线段AB的黄金分割点，则线段BP的长是多少？3. 已知：C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC.D是AB延长线上一点，BD

7、<AB,且B是线段AD的黄金分割点。求证：AC=BD4. 有以下命题：如果线段d是a,b,c的第四比例项；则有如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项，如果C是线段AB的黄金分割点，且ACBC那么AC是AB与BC的比例中项；如果点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，且AB=2，则AC=。其中判断正确的是 。5. 在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，CM=3，求AD的长。6. 顶角为的等腰三角形称为黄金三角形。如图，已知AB=1，试求CD的长。（选做） 四 同高的两个三角形的面积比等于对应底边的比1. 如图，已知. 求证：2. 已知，梯形ABCD中,ADBC，,分别求出AOB, AOD面积并分别求出的值。3. 在ABC中，AD=1，DC=2，AB=4，点E是AB上一点，且DEC的面积等于ABC的面积的一半，求线段EB的长。3. 梯形ABCD中，BCAD，BC=3AD, 点E在AB边上，且,求 4