第一讲比例线段与平行线分线段成比例

1、个性化教学辅导教案学科学生姓名年级任课 老师授课时间年 月 日教学目标教学目标：1.了解比例中项的概念。2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）。3.通过实例了解黄金分割。教学重难点：教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。课堂教学过程课前检查作业完成情况：优 良 中 差建议: 过程一 课前交流，了解学生上次课的复习情况二 知识梳理1知识点与方法概述A：比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.B：（成）比例线段： 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段

2、叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.C：黄金分割： 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点. 注意：1、AC»0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.D：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的

3、对应线段成比例.推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD中，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一

4、边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在ACF中，AB=BC 求证：AE=EFF：三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点求证：，(拓展）G：梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。已知：梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：，.3 典型例题 例1： 已知：，則x+y+z=6，則x=_，y=_，z=_。变式训练：1. 已知：，則_，

5、=_。 2.已知：a:b:c=1:3:5，則=_。例2：已知=x，求x变式训练：1.若a,b,c为非零实数，且满足，且，求x的值？2. 已知，求代数式的值。例3：如图，CE是DABC的中线，. 若EF=18cm，则BG= cm；若CD=9cm，则AF= cm.变式训练：1.如图，DABC中，E为BC上一点，CD平分交AE于点D，且CDAE，交AB于F。若AF=2cm，则AB= cm.2.已知：如图，DABC中，BD、CE分别是、的平分线，于H，于F，若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的长.例4：已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点AP2

6、=ABPB；AP=AB；PB=AB；其中正确的是 （填“序号”）变式训练：1. 已知：M是线段AB的黄金分割点，AM>BM. 求证：.2.一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人比例协调。一个参加空姐选拔活动的选手肚脐以上的高度是65cm，肚脐以下的高度是95cm，那么，她该穿多高的鞋子才好看？（精确到1cm）例5：如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FGBE交AE于G，求证GFFB变式训练：1.已知：如图，ABC中，AD/EF，AC/ED，求证：BF:FD=BD:DC。2.已知：如图，AD/EG，CD/FG，求

7、证：AC/EF。例6：如图，已知，若，求证：.变式训练：1.已知：如图，梯形ABCD中，AB/DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF/AB分别交AD、BC于E、F。求证：2.如图，在等边ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F求证：例7：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E、F为BC的三等分点，求BG、GH、HD的长变式训练：1.如图，ADEGBC，AD=6, BC=9, AE:AB=2:3，求GF的长2.如图，在ABC中，D是AC的中点，过点A作EABC，F是AB上一点，连接DF的直线交AE于点E，交BC的延长线

8、于点P.（1） 求证：AE=CP (2)若AB=4AF;EP=12,求DF的长例8：如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线。（1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是ABC的黄金分割线你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于

9、点E，再过点D作直线DFCE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是ABC的黄金分割线，请你说明理由。（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点。 变式训练：在ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时发现了如下的事实（1）当=时，有=（如图甲） （2）当=时，有=（如图乙）（3）当时，有(如图丙）在图丁中，当=时参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）。4 巩固练习 1.已知ABC和ABC，且AB+BC+CA16cm.则AB+BC+AC .2已知：，设，那么A、B、C的大小顺序是 .3.如图5.1-2，D、E分别在ABC的边AB、AC上，且ABC与ADE的周长之差为15cm，求ABC与ADE的周长.4.如图，在ABC中，, 延长BC到点F，使得，连接DF, 交AC于点E. 求证：（1）DE=EF (2) AE=2EC5.如图，在ABC中，D为BC的中点，F为AC上一点，且CF：AF=1：2，BF交AD于点E求的值6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与