等比数列的通项公式(教案)

1、学习必备欢迎下载等比数列的通项公式（教案）一、教学目标1、 掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。2、 掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。二、教学重点、难点各种结论的推导、理解、应用。三、教学过程1、 导入复习等比数列的定义：an 1qnN *an通项公式： ana1qn 1nN *用归纳猜测的方法得到，用累积法证明2、 新知探索例 1 在等比数列an中，（1）已知 a13,q2, 求 a6 ；（ 2）已知 a320, a6 160, 求 an .，分析（ 1）根据等比数列的通项公式，得a6a1q596（2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组a3a1q22

2、0解得a15所以 an a1qn 15 2n 1a6a1q5160q2问：上面的第（2）题中，可以不求a1 而只需求得 q 就得到 an 吗 ?分析在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：a2a1q,a3a2 qa1q2 ,a4a3 qa2q2a1q3 ,an an 1qan 2 q2an 3q3.a2qn 2a1qn 1注意观察等式右边各项的下标与q 的次方的和，可以发现，an 的表达式中，始终满足an amqn m*n, m N结论 1 数列 an是等比数列，则有anamqn mn, m*N 。再来看一下例1 中（ 2）的另一种解法：a6 a3q3，所以 q=2 ，所以 an a

3、1qn 15 2n 1习题 2.3（ 1） P492、在等比数列an中，学习必备欢迎下载（ 1） 已知 a4 4, a9972, 求 an ； （2）已知 a26, a632,求an .（ 1）可以根据定义和结论1 给出两种解法。27分析方法一3a4a1q4方法二a9a4q5，所以 q=3 ，所以 ana4qn 443n 4。（2） a6a2q4，所以 q23当 q2 时 ,ana2 qn 26 ( 2 )n 233当 q2 时, ana2qn 26 ( 2 )n 233例 2在 243 和 3 中间插入3 个数，使这5 个数成等比数列。分析设此三个数为 a2， a3， a4 ，公比为 q，则

4、由题意得 243， a2， a3， a4 ，3 成等比数列；3243q4 ，所以得 q13当 q1 时， a281， a327， a4 93当 q1 时， a281， a3 27， a493故插入的三个数为81， 27， 9 或 -81， 27，-9.问：观察一下例2 中，当 q1243，-81，27，-9，3，可以发现什么时，这 5 个数分别为3规律？答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题 2.3（ 1） P496、在等比数列an中， a10 ， a2a42a3 a5a4a625 ，求 a3a5 的值。分析a3a4得 a32a2 a4 ，同理得 a52a4 a

5、6a2a3a10 a30, a50 a3a50a a 2a a aa6a22a a a2(a a)22524354335535a3a55例 3已知等比数列a的通项公式为 an32n ，求首项和公比 q.n学习必备欢迎下载分析a13 2 6, a2 3 2212 qa22a1在例 3 中，等比数列的通项公式为an3 2n ，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点(n,an ) 均在函数 y 3 2x 的图像上。问：如果一个数列an 的通项公式为anaqn ，其中 a ， q 都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？分析a1an 1aqnq ，所以是等比数列。

6、a q 0 ，aqn1an一般可以看作是等比数列通项公式的变形，ana1qn 1a1 qnaqn ，其中 aa1qq结论 2等比数列an 的通项公式均可写成anaqn （ a ， q 为不等于零的常数）的形式。反之成立。习题 2.3（ 1） P495、在等比数列an中，（1） a52a1a9 是否成立？ a52a3 a7 是否成立？（2） an2an 2 an2 （ n>2 ）是否成立？（3）你能得到更一般的结论吗？分析 （ 1） a1a9a1 a1q8( a1q4 ) 2a52a3 a7a1q2a1q6(a1q4 ) 2a52，所以成立。（2） an2an2 a1qn 3 a1qn 1

7、(a1qn 1) 2an2，所以成立。（ 3）从（ 1）（ 2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列an 中，当 m+n=p+q (m,n,p,q 都是正整数 )时，有 amanap aq ，可以猜测：在等比数列an 中，当 m+n=p+q (m,n,p,q 都是正整数) 时，有amanapaq .证 aaa qm 1a qn 12 m n 2p 1q 12 p q 2a q， ap aqa1q a1qa1 qm n111所以 amanap aq .学习必备欢迎下载结论 3在等比数列an中，当 m+

8、n=p+q (m,n,p,q 都是正整数 )时，有 aman ap aq .习题在等比数列an中， a1 ， a99 是方程 x210 x 160 的两个实根，求 a40a60 .分析 可以利用结论 3.因为 a1 ， a99 是方程 x210x 16 0 的两个实根，所以可得a1a99 =16，所以 a40a60 = a1 a99 =16.在结论3 中，当 m=n 或 p=q 时，可以发现此项总是处于另两项的中间。结论 4若 a ， G，b 成等比数列，则称 G 为 a 和 b 的等比中项，且G 2ab 。习题 2.3（ 1） P497、（ 1）求 45 和 80 的等比中项；（2）已知两个数k+9 和 6-k 的等比中项是 2k，求 k.分析（ 1）设此等比中项是 G，则 G 2 =4580=3600，所以 G=60.（2） (2 k )2( k9)(6 k) ，化简，得 5k 23k 54 0，所以 k18 或k35四、归纳总结本节课的主要内容是由等比数列的通项公式引深而得到的几个结论， 要求学生能牢记并灵活运用。五、布置作业做与本节课内容相关的练习册。六、教学反思本节课的内容都是由等比数列的通项公式推导而