第四章 地球椭球及其数学计算

1、上一堂课内容回顾p 地球地球形状形状p 大地水准面与地球椭球大地水准面与地球椭球 大地水准面（一次逼近）大地水准面（一次逼近） 地球椭球（二次逼近）地球椭球（二次逼近） 参考椭球参考椭球p 地球重力场地球重力场 地球引力（位）地球引力（位） 离心力（位）离心力（位） 重力（位）重力（位） 垂线偏差垂线偏差p 地球磁场地球磁场 地磁七要素上一堂课内容回顾p 重力场与地磁场的异同相同点：相同点：均为人为不可控天然稳定场（对导航有利）均随空间位置变化，具有一定的空间分布规律 都随时间发生微小变化不同点：不同点：重力场和地磁场成因不同、性质不同；重力场为单极场，地磁场近似为偶极场；重力场为强场，地磁场

2、为弱场；地磁场为强时变，重力场弱时变；第四章第四章 地球椭球及其数学计算地球椭球及其数学计算张小红武汉大学测绘学院导航学第四章 地球椭球及其数学计算4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系地球椭球的几何参数及其相互关系4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系4.4 地球椭球上的曲率半径地球椭球上的曲率半径4.5 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算4.6 法截线与大地线法截线与大地线4.7 大地主题解算大地主题解算4.8 导航中大地线长度的计算方法导航中大地线长度的

3、计算方法4.9 把地面观测值归算至椭球面把地面观测值归算至椭球面第四讲第四章 地球椭球及其数学计算第四章 地球椭球及其数学计算第一节 地球椭球的几何参数 及其相互关系4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系p 椭球上的点和线 地球椭球是一个具有合适的形状和大小的椭圆绕短轴旋转一周后所形成的一个旋转椭球 北极N和南极S 椭球中心O 赤道平面（赤道圈） 子午面（子午圈） 平行圈或纬圈 旋转椭球体的特点 对称性 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆子午圈的形状和大小子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小决定了地球椭球的形状和大小4.1 地球椭球的几何参数及其相互关

4、系p 椭球的基本几何参数 椭球长半径 椭球短半径 椭球的扁率 椭球的第一偏心率 椭球的第二偏心率 abe eaba22abea22abeb上述上述5个参数中任选两个参数就能表示椭球的形状和大小，但其个参数中任选两个参数就能表示椭球的形状和大小，但其中至少有一个长度参数中至少有一个长度参数 ，通常选，通常选 和和ae20.0066944e 892 10e10111.3 10e其中a，b称为长度元素，扁率反映了椭球体的扁平程度。偏心率是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球的扁平程度，偏心率愈越大，椭球越扁4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系p 椭球几何参数间的相互关系aba

5、1ba22abea21bae21abe22abeb22111ee 22111ee211 e 222e 22111ee4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系p 辅助参数（为简化后续公式推导）极点处的子午曲率半径第四章 地球椭球及其数学计算第二节 大地坐标系、空间直角坐标系 及其相互关系4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系p 大地坐标系 大地坐标系是大地测量学与导航学中常用的一种坐标系，亦称地理坐标系或椭球坐标系 它是以经过椭球定位后的地球椭球上所定义的点线面点线面为参考的一种坐标系。 地面一点的大地坐标（B，L，H) 大地纬度B (N/S 090) 大地经度L (E/W 0180) 大

6、地高H4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系p 空间直角坐标系是大地测量与导航计算常用的坐标系p 空间直角坐标系定义 坐标原点O：位于总地球椭球(或参考椭球)中心 Z轴：与地球平均自转轴相重合，指向某段时间的平均北极点； X轴：指向由平均格林尼治天文台和平均自转轴所确定的子午面与赤道面的交点GeGe； Y轴：垂直于X轴和Z轴构成右手系4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系p 子午面直角坐标系（大地坐标与空间直角坐标系转换所需的中间坐标系） P点为空间某点P 沿法线方向在地球椭球上的投影点，以过P点的子午椭圆中心为原点，建立一个平面直角坐标系，x轴与子午椭圆的长轴重合，y 轴与椭

7、圆的短轴重合。 在该坐标系中，P点的位置用( x, y)表示 过P点作子午椭圆的切线TP，切线的斜率为0tan(90)B22221xyab22tan (9 0)co tBd ybxBd xay 2(1)tanyxeB222221sin1cosxeBaB4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系p 子午面直角坐标系2cos(1)sinxNByNeB引入辅助参数引入辅助参数 cosaBxW2(1)tanyxeB2(1)sinaeyBWcosaNWxNB令：则：代入x4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系p 大地坐标转空间直角坐标2coscoscossin(1)sinXNHBLYNHBL

8、ZNeHB2coscoscossin(1)sinXNBLYNBLZNeB 在椭球面上的点 不在椭球面上的点（推导）cossinXxLYxLZy4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系p 大地坐标系到空间直角坐标系的转换推导思路 建立空间直角坐标系 建立子午面直角坐标系（中间过渡） 推导子午面直角坐标和大地纬度与椭球有关参数之间的关系 找到空间直角坐标和子午面直角坐标之间的相互关系 建立空间直角坐标和大地坐标之间的关系4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系p 空间直角坐标转大地坐标 迭代公式22222222222222sin1tantan1(1)tanarctanarcsinarc

9、coscoszNeBaeBBzxyxyeByyxLxxyxyxyHNB迭代初值：迭代初值：2222222tanBtanxx1+tanzceByyeB或4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系p 空间直角坐标系转大地坐标系 直接公式2222222322232222arctan1sinarctancosarctancossin1sinaZbeub XYXYZZebuBXYe auYLXHXYBZBaeB22232223arctansinarctancosaZub XYZebuBXYe au低精度直接公式低精度直接公式高精度直接公式高精度直接公式纬度的精度可达71 10大地高的误差小于 610

10、cm第四章 地球椭球及其数学计算第三节 地心纬度、归化纬度及其 与大地纬度间的关系4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系p 空间直角坐标与归化纬度间的关系 P点在子午面直角坐标系中的坐标cosxausinybucos coscos sinsinXauLYauLZbu22221xyabcossinXxLYxLZy4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系coscosBuWcoscosBWusinsinBVu2tan(1)taneB2tan1taneuBu4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 大地纬度、地心纬度、归化纬度之

11、间大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当的差异很小，经过计算，当B=45B=45时：时：8.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuB uBBu第四章 地球椭球及其数学计算第四节 地球椭球上的曲率半径4.5 椭球面上的弧长计算p 基本知识 三角函数级数展开4.5 椭球面上的弧长计算p 基本知识弧度和度的定义180=2R周长角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度来表示角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度来表示角度制：角度制：规定周角的规定周角的360分之一为分之一为1度的角度的角弧度制：弧度制：规定长度等于半径的弧长所对的圆心角为规定长度等于半径的弧长所对的圆心角

12、为1弧度弧度4.4 地球椭球上的曲率半径p 子午圈曲率半径MdBdSM( )yf x对于一条平面曲线其曲率半径可用下式计算322221()dydxd ydx22221xyab4.4 地球椭球上的曲率半径p 子午圈曲率半径MBdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1 (sin23eWBadBdx221sinWeBdBdSM4.4 地球椭球上的曲率半径p 子午圈曲率半径M23(1)aeMW3VcM BM说明说明极点处的子午曲率半径4.4 地球椭球上的曲率半径p 卯酉圈 过椭球面上任意一点P可作一

13、条垂直于椭球面的法线PF，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线 过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中与子午面垂直的法截面称为卯酉面卯酉面，卯酉面与椭球面的交线称为卯酉圈卯酉圈 卯酉圈的曲率半径通常用符号N表示4.4 地球椭球上的曲率半径p 卯酉圈曲率半径N 麦尼尔定理：假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧（卯酉圈），一条为斜截弧（平行圈），且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径 r 等于法截弧的曲率半径 N 乘以两截弧平面夹角 B 的余弦cosrNB221sinaaNWeBcosaBrWVcN 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径N就是从就是

14、从P点至法线与椭球短轴的交点点至法线与椭球短轴的交点F间的距离间的距离cosrPFB(课后推导)4.4 地球椭球上的曲率半径p 卯酉圈曲率半径NBM说明说明221sinaNeB4.4 地球椭球上的曲率半径p 子午圈和卯酉圈圈曲率半径级数展开（实际计算）246802468246802468sinsinsinsinsinsinsinsinMmmBmBmBmBNnnBnBnBnB246802468246802468coscoscoscoscoscoscoscosMmmBmBmBmBNnnBnBnBnB或顾及8次项的计算公式一般已能保证mm级的计算精度（参见4-47式）4.4 地球椭球上的曲率半径p

15、任意方向法截弧的曲率半径 子午法截弧是南北向，方位角为0或180 卯酉法截弧是东西向，其方位角为90或270 子午法截弧和卯酉法截弧在P点处正交 过P点的子午曲圈率半径M和卯酉圈曲率半径N称为曲面在该点的两个主曲率半径4.4 地球椭球上的曲率半径p 任意方向法截弧的曲率半径 NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos221(cosB)NVeM 为微小量ABeNANRA2222coscos1cos1)coscos1 (4422AANRA尤尤拉拉公公式式级数展开级数展开A为任意法截弧的大地方位角4.4 地球椭球上的曲率半径4.4 地球椭球上的曲率半径p 平均曲率半径 平均曲率半

16、径就是过该点的所有的法截弧的曲率半径的算术平均值积分积分椭球面上任一点处的平均曲率半径就等于该处的子午圈曲率半椭球面上任一点处的平均曲率半径就等于该处的子午圈曲率半径与卯酉圈曲率半径的几何平均值径与卯酉圈曲率半径的几何平均值4.4 地球椭球上的曲率半径p M、N、R 的关系MRNcMRN909090曲率半径NRM公式4.4 地球椭球上的曲率半径p M、N、R 的数值表BN(m)R(m)M(m)6 378 2456 356 8636 335 5536 379 6756 359 7146 339 8166 383 5886 367 5186 351 4886 388 9456 378 2096 3

17、67 4916 394 3156 388 9366 383 5616 398 2556 396 8116 395 3686 399 6996 399 6996 399 699参数：克拉索夫斯基椭球体参数：克拉索夫斯基椭球体第 五 讲第四章 地球椭球及其数学计算上一堂课内容回顾p 地球椭球的几何参数及其相互关系p 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系p 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系p 椭球上的曲率半径 子午圈曲率半径 M 法截弧、卯酉圈的定义，卯酉圈曲率半径 N 任意方向上的法截弧曲率半径 RA 平均曲率半径 R BuMRNN,R,M均随纬度增大而增大B=90时，N=R=M=c第四

18、章 地球椭球及其数学计算第五节 椭球面上的弧长计算4.5 椭球面上的弧长计算p 子午线弧长 子午椭圆的一半，它的端点与极点重合 赤道又把子午线分成对称的两部分 椭球上每个子午圈的形状和大小均相同 计算子午线弧长与该子午圈的经度无关 推导从赤道沿子午线至任一纬度B的子午线弧长计算公式就可以计算出所需要的子午弧长PPQPQP4.5 椭球面上的弧长计算p 子午线弧长计算公式其中4.5 椭球面上的弧长计算p 子午线弧长计算公式246811sincos222311sincos2cos482851531sincos2cos4cos616321632357711sincos2cos4cos6cos81281

19、63216128BBBBBBBBBBBBBB02468cos2cos4cos6cos8MaaBaBaBaB68240sin2sin4sin6sin82468aaaaSa BBBBB小于小于0.1mm，可以忽略，可以忽略4.5 椭球面上的弧长计算p 子午线计算公式 克拉索夫斯基椭球： 1975年国际椭球： CGCS2000地球椭球： WGS 84椭球：4.5 椭球面上的弧长计算p 当子午线很短时，例如子午线两端的纬差 时，可将子午线视为圆弧。其曲率半径采用两端的平均纬度处的子午曲率半径 p 子午线弧长公式可简化为：20BmBSM3.141592653589793257.2957795130823

20、2103437.746770798493917206264.8062470963551弧度对应的度，分，秒值4.5 椭球面上的弧长计算p 不同地球椭球上的子午线弧长椭球克拉索夫斯基椭球5540944.4632212405.7233328538.7401975年国际椭球5540849.6452212367.2963328482.349CGCS2000椭球5540847.0392212366.2533328480.786WGS 84椭球5540847.0562212366.2563328480.800205020 50S北纬 至北纬 的子午线弧长 4.5 椭球面上的弧长计算p 平行圈（圆）弧长计算

21、经度差4.5 椭球面上的弧长计算p由子午线弧长求大地纬度 迭代解法 直接解法10106824/()/()sin2sin4sin6sin82468ffffffffiiiiiiiBS aBSF BaaaaaF BBBBB 4.5 椭球面上的弧长计算p 曲率半径M、N及弧长S、S随纬度B的变化6335439.3276378137.0001842.904630.71511855.324830.92216337358.1216378780.8441843.462830.72441827.322730.45546342888.4836380635.8071845.071530.75121744.11812

22、9.06866351377.1046383480.9181847.540730.79231608.104726.80176361815.8276386976.166850.577230.84301423.236923.72056372955.9266390702.8441853.917730.89701194.929219.91556383453.8586394209.1741856.871530.9479930.000015.50006392033.1936397072.4881859.367130.9895636.442410.60746397643.3276398943.4601860.

23、999031.0167323.22485.38716399593.6266399593.6261861.566331.02610.00000.00001850.57724.5 椭球面上的弧长计算第四章 地球椭球及其数学计算第六节 法截线与大地线4.6 法截线与大地线p 法截线面与法截线 过椭球面上任意一点P可作一条垂直于椭球面的法线PF，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线4.6 法截线与大地线p 相对法截线 地球椭球是一个旋转椭球，过椭球面上任意一点 D作椭球面的法线时，该法线必定位于过D点的子午面上，与椭球短轴交于D1 D点在子午平面直角坐标系中的y坐标为2222(1

24、)sin1sinDDDaeByODeB1221sinDDaDDNeB12122sinsin1sinDDDaBD DDDBeB22112222sin1sinDDeBODD DODeB4.6 法截线与大地线p 相对法截线 如果椭球上另有一点E，（ ， ），过E点作椭球的法线（该法线位于过E点的子午面内），与椭球短轴交于E1 EDLLEDBB2122sin1sinEEeBOEeB22122sin1sinDDeBODeB11EDBBOEOD4.6 法截线与大地线p 相对法截线 当椭球面两个点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有两条法截线存在 D点(D到E)正法截线 D点(E到D)反法截线

25、 称为相对法截线DdEEeD不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法截线不重合不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法截线不重合DdEEeD正法截线：正法截线：过某一点的法线和椭球面上的另一点作一法截面，与椭球相交的线为该点的正法截线反法截线：反法截线：过另一点的法线和该点作一法截面，与椭球相交的线为该点的反法截线4.6 法截线与大地线p 相对法截线 不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法截线不重合 某点的纬度越高，其法线与短轴的交点离开椭球中心就越远 法截线BbA偏上（北），法截线AaB偏下（南） 当A，B两点位于同一子午圈或 同一平行圈时，正反法截线重合4.6 法截线与大地线p 相

26、对法截线 北半球，A点在B点的南面，则A的正法截线也在南面，而反法截线在北面 南半球则相反北向东向正法截线反法截线AB方向在不同象限时，正反法截线的关系方向在不同象限时，正反法截线的关系4.6 法截线与大地线p 大地线的提出 正反法截线不重合 椭球面上A，B，C三个点处所测得角度(各点上正法截线之夹角)不能构成闭合三角形（图中实线部分的观测角） 为了克服这个矛盾，在两点间另选一条 唯一的大地线大地线代替相对法截线，从而得 到由大地线构成的封闭椭球面三角形内角和不等于内角和不等于1801804.6 法截线与大地线p 两点之间的最短距离 平面上是连接两点的直线端 球面上是连接两点的大圆弧段（圆心和

27、球心重合的圆就是大圆） 在椭球面上呢？4.6 法截线与大地线p 大地线定义 定义定义1：大地线上每点的密切平面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线，即大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合。大地线又称为测地线。（微分几何中的定义） 定义定义2：椭球面上两点间距离最短的曲线叫大地线p 在平面上大地线就是一条直线p 在球面上大地线是一段大圆弧 （圆心和球心重合的圆就是大圆）4.6 法截线与大地线p 大地线的性质 大地线是两点间唯一最短线 大地线位于相对法截线之间 大地线更靠近正法截线 大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面 两点的正反法截线不重合，它们之间的夹角，在一等三角测量中

28、(平均点间距40km)可达千分之四秒 大地线与正法截线的夹角 大地线与法截线长度之差非常小，可忽略不计 在椭球面上进行测量和计算时，应当以两点间的大地线为依据 地面上测得的方向，距离等，应归算到相应大地线的方向和距离134.6 法截线与大地线p 大地线的微分方程 指的是大地线的弧长S与所定义坐标系中的自变量间的微分关系 在空间直角坐标系中 dS与dx，dy，dz间的关系 在大地坐标系统中 dS与dL，dB，dA间的关系4.6 法截线与大地线p 球面三角形余弦定理 若已知球面三角形若已知球面三角形ABC的三頂点是的三頂点是A、B、C，其所对应的三边分，其所对应的三边分別是別是a, b, c，則有

29、球面上的角余弦定理，則有球面上的角余弦定理: cosA = - cosBcosC + sinBsinCcosa 4.6 法截线与大地线p 大地线的微分方程球面三角形球面三角形( (p p1 1p p3 3N)N)余弦定理余弦定理: :2cosB dLsinpprdLNdSA21cosp pM dBdSAcos(90)cos90 cossin90 sincos(90(B dB)dAdLdL sinBsincosdAdLAdLdSNB微小量4.6 法截线与大地线p 大地线微分方程sintanAdAB dSN4.6 法截线与大地线p 大地线的克莱劳方程积分积分 克莱劳定理克莱劳定理：cosBrNco

30、ssinNBAC2112rsinArsinAcosBrNsindrMBdB 4.6 法截线与大地线p 大地线的克莱劳方程 克莱劳定理克莱劳定理：当大地线穿越赤道时，B=0，r=a，A=A00sinACa当大地线达极小平行圈时，A=90，设r=r0，B=B00Cr某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的大地方位角正弦的乘积，或者等于该大地线上具有最大纬度的那一点的平行圈半径cossinNBAC可用于检测纬度和大地方位角计算的正确性思考：赤道是不是大地线，子午圈是不是大地线？4.6 法截线与大地线p 大地线的克莱劳方程 图中有一条大地线，该大地线在与赤道相交的E点处的大地方位角为A ，则该

31、大地线将与半径 的平行圈相切于F点，然后调头向南，而不会跑到纬度更高的地区去sinAra4.6 法截线与大地线p 相对法截线夹角4.6 法截线与大地线p 截面差 A点的大地线与正法截线的夹角（截面差）：可忽略不计 在一、二等大地测量中，截面差具有系统性，为防止误差的不断积累，进行方向观测值的归算时均需施加截面差改正 导航中很少在椭球面上进行精密方向观测值的计算4.6 法截线与大地线p 大地线与法截线的长度之差第四章 地球椭球及其数学计算第七节 大地主题解算4.7 大地主题解算大地主题解算分为: 短距离(400km) 中距离(1000km) 长距离(1000km以上)4.7 大地主题解算p 大地

32、主题解算 在涉及描述地球表面或近地空间相关学科，如大地测量、导航制导、远程导弹的弹道解算、远洋航海、航天测控和地球物理等领域的问题时，经常会遇到计算椭球面上两点之间距离、方向等问题 是弹道计算的核心算法 在航路规划中，大地主题解算是最基本的运算，其运算的速度，运算结果的精度将直接关系到航路规划的效果4.7 大地主题解算p 大地主题解算 解算时涉及复杂的数学运算与推导，以前没有电子计算机，处理非常繁琐，先后有一大批学者致力于大地主题解算的研究 1806年法国著名数学家勒让德首先采用泰勒级数将大地线微分方程展开为大地线长度的升幂级数，用以解算大地主题 历史上研究大地主题解算的算法有许多种，据不完全

33、统计，有100多种，如Gauss 法、Helmer t 法、Bessel 法和Boring 法等 手工推导得到的直接解算公式，形式较复杂，使用不甚方便 随着计算机技术的发展，大地主题解算更简单，更准确4.7 大地主题解算p 大地线在大地坐标系中的微分方程cossincostansinAdBAdSMdLAdSNBdABdSN212121212121cossincostan() 180sinAPPPPPPABBdSMALLdSNBBAAdSN其精确值不能直接计算，必须进行逼近求解4.7 大地主题解算222( )( )( )LL SBB SAA S4.7 大地主题解算4.7 大地主题解算p 在起点P

34、1处展开的级数算法 一阶导数： 二阶导数：再次求导再次求导 三阶导数： 四阶导数： 五阶导数：将所有求得的导数代入麦克劳林级数展开式4.7 大地主题解算p 在起点P1处展开的级数算法22222222 22222111111 11111 1223111122222 22222 23411111 111111 134112222 22222411111 111 1441121()2(1 39)226(15)(1 39)224(46139)122BBVV tVtVttuvuuvNNNNVttV tttuvNNV tttVtu vuNNV24224432111115511(1 3045 )(2 151

35、5 )612030ttVttuvu vNN 次项 纬度计算公式：4.7 大地主题解算p 在起点P1处展开的级数算法 经度计算公式：2223221111123311112222331111114411224523111155112441151() cos(1 3)33(1 3)(23)33(1 3 )(12030 )1515(2 1515 )615LLBtttvuvvu vNNNNttttuvu vNNttttvu vNNttu vN 次项4.7 大地主题解算p 在起点P1处展开的级数算法 方位角计算公式：2222321111111231112242422 22311111111 1341124

36、22 224351111 11114511211()(12)(12)26(564)(1202428)624(5282468)(12024 )24120(58280AAttttvuvvNNNtttttu vuvNNttttttu vvNNtt42423411115511240 )(61 180120 )6120120ttttu vu vNN 次项4.7 大地主题解算提出高斯平均引数法4.7 大地主题解算p 高斯平均引数法 高斯平均引数法在大地线的中点处M同时向前和向后用级数展开，然后再合并在一起 推导思路： 首先把勒让德级数在P1展开改为在大地线中点M处展开，使公式项数减少，加快收敛，提高精度

37、将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并迭代计算 优点 可以使大地线的长度减半 可消除公式中的偶阶项 同时适用于大地主题正、反算4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法正算公式相减相减4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法正算公式4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法正算公式怎么解决？1212211()21(180 )2mmBBBAAA引入平均纬度和方位角未知，需迭代4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法正算公式相加除相加除2 2=同理得：同理得：4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法正算公式前面已得到4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法正算公式4.7 大地主

38、题解算p 高斯平均引数算法正算公式代入代入略去高阶项略去高阶项4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法正算公式（适用于120km以内）4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法正算公式4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法正算公式（适用于70km以内）其中主项为：主项迭代3次改正项迭代12次4.7 大地主题解算4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法反算公式 将正算公式左右移项后得：4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法反算公式 将正算公式左右移项后得： 省去高阶项，右式中用主项代替，主项为：主项用主项代入4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法反算公式（适用于200km以内） 令： 得：无

39、需迭代无需迭代直接求得直接求得4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法反算公式（适用于200km以内）代入至下式代入至下式4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法反算公式（适用于70km以内） 公式简化得： 其中有：其余算法和200km距离的反算一样4.7 大地主题解算p 高斯平均引数算法反算公式总结和要点 反算公式由正算公式左右移项得到 利用主项替换公式右边的未知项 无需迭代，直接求得 对于短距离大地线，通过省去高次项，可以简化计算公式4.7 大地主题解算p 白塞尔大地主题解算法 按照一定的法则将椭球面上的大地元素投影至一个辅助球上，实现椭球面向球面的过渡 在圆球上采用简单的球面三角公式进行

40、计算，推求大地元素 将计算结果转换至椭球面上，实现球面向椭球面的过渡 特点：计算精度不会随着距离的增加而迅 速下降，适用于短距离和长距离大地主题解算 算法：白塞尔大地主题算法4.7 大地主题解算p 白塞尔大地主题解算方法 1825年德国大地测量学家、天文学家白塞尔（F.W.Bessel）提出了一种长距离大地主题解算公式。 基本思想是：首先按照一定法则将椭球面上的已知大地元素“投影”至一个单位球面上，然后再在这个辅助球面上用球面三角公式进行严密的坐标正反算，最后再将计算结果再转换至椭球面上来。由于地球椭球的扁率仅为1/297，与圆球非常接近，因而从椭球面至圆球（或从圆球至椭球）的投影的“变形”就

41、很小，即使采用一个相对较为简单的公式就能适用于长距离的大地主题解算。 此后又有不少学者对该公式进行了改进。 特点：计算精度不会随着距离的增加而迅速下降，适用于短距离和长距离大地主题解算4.7 大地主题解算p 直接对大地线微分方程进行数值积分 采用数值计算的方法以适当的步长对大地线微分方程进行数值积分 优点：易于编程实现，适用于不同长度的大地主题解算 缺点：计算工作量大，随着距离的增加精 度可能会有所下降，此外在两极地区效果也不好 算法：龙格库塔法，阿达姆斯法sintanAdAB dSN4.7 大地主题解算p 其它方法 转换至高斯平面进行计算 直接在空间中计算点的几何关系（卫星大地测量）第四章

42、地球椭球及其数学计算第八节 导航中大地线长度的计算方法4.8 导航中大地线长度的计算方法p 导航中大地线长度的计算 需求：由两点大地坐标求大地线 特点：精度要求不高，公式要求简单方便，计算速度快 方法：Andoyer-Lambert法，大椭圆法4.8 导航中大地线长度的计算方法p Andoyer-Lambert法 该法是以适用于中长距离的白塞尔大地主题解算公式为基础进行简化和近似处理得到的 大地线微分方程：替换替换4.8 导航中大地线长度的计算方法p Andoyer-Lambert法 大地线微分方程： 泰勒展开：4.8 导航中大地线长度的计算方法p Andoyer-Lambert法积分积分未知量，需要求解4.8 导航中大地线长度的计算方法p Andoyer-Lambert法未知，先放着，稍后做处理未知，先放着，稍后做处理4.8 导航中大地线长度的计算方法p Andoyer-Lamber