高考全国1卷理科数学试卷及答案

1、绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题，本题共 12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。1 i 一 一1.设 z 2i ,则 z1 iA.0 B.1 C.1 D. . 22，八,一. 2一一一一.2.已知集合Ax|xx 20 ,则CrAA. x | 1 x 2B. x| 1 x 2C. x | x 1 x| x 2D. x|x 1 x | x 23 .某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

2、建设前经济收入构成比例建设后经讲收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4 .记Sn为等差数列an的前n项和，若33S2S4, a12 ,则a5A.-12B.-10C.10D.125 .设函数f xx3a 1 x2 ax ,若f x为奇函数，则曲线 y f x在点0,0处的切线方程为A. y 2xB. y xC.y 2xD. y x6.在 ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB311 一 3 二A.-AB ACB.

3、AB AC4444311一3一八C. AB ACD. AB AC44447.某圆柱的高为2,地面周长为16,其三视图如右图，圆柱表面 上的点M在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N在左视 图上的对应点为 B ,则在此圆柱侧面上，从 M到N的路径中， 最短路径的长度为A.2 . 17B. 2 . 5C.3D.28.设抛物线C: y2 4x的焦点为F ,过点2 ，,2,0且斜率为一的直线与C交于M ,N两点,3则 FM FNA.5B.6C.79.已知函数f x围是e ,x 0,g xln x, x 0D.8f x x a ,若g x存在2个零点，则a的取值范A. 1,0B. 0,C. 1,D

4、. 1,10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边BC,直角边AB, AC , ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为n,其余部分记为出。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分 别记为Pi, P2, P3 ,则A. piP2P3C. P2P3B. piD. piP2P32 x11.已知双曲线C: 3O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为 M ,N。若 OMN为直角三角形，则 MNA.3B.3C.2.3D.412 .已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方

5、体所得截面面积的最大值为a 3运B 2出C 372D <3.4. 3. 4. 2二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。x 2y 2 013 .若x,y满足约束条件x y 1 0 ,则z 3x 2y的最大值为 y o14 .记Sn为数列an的前n项和，若Sn 2an 1,则S6 .15 .从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）16 .已知函数f x 2sin x sin 2x ,则f x的最小值是 .三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答

6、。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17 . （12 分）在平面四边形 ABCD 中，ADC 90 , A 45 ,AB 2, BD 5.（1）求 cos ADB ;若DC 242,求BC.18 . （12 分）如图，四边形 ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把 DFC折起,使点C到达点P的位置，且PF BF .(1)证明： 平面PEF 平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值2X 219 .(12分)设椭圆C: y1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点，点M的2坐标为2,0 .(1)当l与x轴垂直时，求直线

7、AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明： OMA OMB .20 . (12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为p 0 p 1 ,且各件产品是否为不合格品相互独立。(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f p ,求f p的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了 20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元。若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每

8、件不合格品支付25元的赔偿费用。(i)若不对该箱余下的产品作检验， 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求EX ;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21 . （12 分）已知函数f xx alnx.x(1)讨论f x的单调性；(2)若f x存在两个极值点x1,x2,证明： S-% a 2 .x1 x2(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。22 .选彳44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y kx 2,以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴2建立极坐标系，

9、曲线 C2的极坐标方程为2 cos 3 0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程。23 .选彳45:不等式选讲(10分)已知 f x x 1 ax 1.(1)当a 1时，求不等式f x 1的解集;(2)若x 0,1时不等式f x x成立，求a的取值范围绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案25.、选择题2.3.4.5. D6. A7. B8.9.10.12. A二、填空题13. 614.6315.1616.3_32三、解答题17.解:(1)在 ABD 中,由正弦定理得BDABsin Asin ADB由题设知，_A_sin

10、 45sin需所以sinADB立52所以cos ADB25235由题设知，ADB(2)由题设及(1)知,cos BDC sinADB 二5在 BCD中，由余弦定理得BC2 BD2 DC2 2 BD25 8 2 5 2 2DC cos25BDCC所以BC 5 .18.解:(1)由已知可得，BF PF ,BF EF ,所以BF 平面PEF .又BF 平面ABFD ,所以平面PEF 平面ABFD .(2)作PH EF ,垂足为H .由(1)得,以H为坐标原点,uuuHF的方向为y轴正方向,PH 平面 ABFD .uuu|BF |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz.由(1)可得，DEPE

11、.又 DP2, DE 1 ,所以 PE察.又PF 1 , EF 2 ,故PE PF .可得PH骨EH3则 H (0,0,0) , P(0,0,，D(21,3。，uurDPuurHP3(0,0,)为平面 ABFD2的法向量.设DP与平面ABFD所成角为uur uurHP DP , -uuuuuu- | |HP|DP|所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为19 .解：(1)由已知得F(1,0), l的方程为x 1.由已知可得，点 A的坐标为(1,亚)或(1,包). 22所以AM的方程为y 返x 6或y 互x V2 . 22(2)当l与x轴重合时，OMA OMB 0 .OMB .当l与x轴垂直时，O

12、M为AB的垂直平分线，所以 OMA当l与x轴不重合也不垂直时，设 l的方程为y k(x 1)(k0),A(。), B(x2,y2),则x1短，x 逐，直线MA, MB的斜率之和为kMA kMBy1x12y2x22由 kx1 k, y2 kx2 k 得2kx1x2 3k (xi x2) 4kKma Kmb(xi2)(x2 2)2将y k(x 1)代入人y2 1得 2一 222 一 2 一(2k1)x 4kx 2k 2 0.所以，XiX24k22k2 1X1X222k2 222k2 1则 2kxx2从而kMA3k(xi X2) 4k3334k3 4k 12k3 8k3 4k2k2 1kMB 。，故

13、MA , MB的倾斜角互补.所以0.OMAOMB .综上， OMA OMB .20 .解：(1) 20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p) C2op2(1 p)18.因此_ 218217_ 217f (p) C202 p(1 p)18p (1 p) 2c20P(1 p) (1 10p).0.所以令 f (p) 0,得 p 0.1.当 p (0,0.1)时，f (p) 0；当 p (0.1,1)时，f (p)f(p)的最大值点为p。 0.1. (2)由(1)知，p 0.1.(i )令 Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y : B(180,0.1),X 20 2 25Y，即 X

14、 40 25Y .所以 EX E(40 25Y) 40 25EY 490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX 400 ,故应该对余下的产品作检验.2x ax 12.x1时 f (x) 0 ,所以 f(x)在(0,21 .解：(1) f(x)的定义域为(0,), f(x) 4 1月x x(i )若a < 2 ,则f (x) w 0 ,当且仅当a 2 , x单调递减.w a 人日 a、a 4 a a 4(ii)当x当x右 a 2,令 f (x) 0 得，x 或 x .22a . a2 4 a . a2 4(0,) U (,)时，f (x) 0 ;2

15、2(0,aa -a2 4 a . a2 4(,)时，f(x) 0 .所以 f(x)在22a a2 4a . a2 4(,)单调递减，在(22(2)由(1)知，f (x)存在两个极值点当且仅当a 2.由于f (x)的两个极值点x , x2满足x2 ax 1由于f(x1) f(x2)1x1 x2xx20 ,所以1 ,不妨设Xx2,则x21 .In x1In x2In x1In x21 a 2 a x1x2x1x221n x22 al，x2*2所以 f(x1)f(%) a 2 等价于。x2 21nx2 0.x x2x21设函数g(x) - x 2lnx,由(1)知，g(x)在(0,)单倜递减，又g(

16、1) 0 ,从而当 xx (1,)时，g(x) 0.所以 1 x2 21n x2 0 ,即-fx-)-fixL) a 2 . x2X x222.解：(1)由x cos , y sin得C2的直角坐标方程为22(x 1) y 4 .(2)由(1)知C2是圆心为A( 1,0),半径为2的圆.由题设知，G是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为11 , y轴 左边的射线为12.由于B在圆C2的外面，故G与C2有且仅有三个公共点等价于 I与C2只 有一个公共点且12与C2有两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点.当11与C2只有一个公共点时，A到11所在直线白距离为2 ,所以12| 2 ,故k -k2 13ll与C2只有一个公共点,或k 0.经检验，当k 0时，li与C2没有公共点；当kI2与C2有两个公共点.当12与C2只有一个公共点时，A到12所在直线的距离为2 ,所以 空瓷1 2 ,故k 0k2 144或k 4.经检验，当k 。时，li与C2没有公共点；当k 时，12与C2没有公共点.33