高等数学II试题6套

1、精选高等数学II试题解答一、填空题（每小题3分，共计15分） xz z y ze xzxz1 .设z fM由方程xy yz e确定，则 x y xe 。2 32 .函数 u 2xy z xyz 在点 B（0, 1, 2）沿方向 i （4,0,-i2） 的方向导数最大。3 . L为圆周x2 y2 4,计算对弧长的曲线积分小；x2 y2ds=8 0234 .已知曲线x t,y t ,z t上点P处的切线平行于平面x 2y z 2,则点P的坐标为（11 1）越（3,9, 27）。5 .设f（x）是周期为2的周期函数，它在区间（1, 1的定义为21 x 0，则f （x）的傅里叶级数在x 1收敛于2。f

2、(x)x0 x 1二、解答下列各题（每小题7分，共35分）12 x1.设f(x,y)连续，交换二次积分I 0dxic f(x,y)dy的积分顺序。12 xI dx f (x, y)dy011 x211 (y 1)222 y解:0dy ° f(x,y)dx 1 dy 0 f(x,y)dx22,其中D是由y轴及圆周x （y 1）1所、x2 y2dxdy2.计算二重积分D 围成的在第一象限内的区域。.x2 y2 dxdy 解：D2d2sin or2dr0169- 2 2-2 23.设 是由球面z V1 x y与锥面z Vx y围成的区域，试将三重If (x2 y2 z2)dxdydz积分化

3、为球坐标系下的三次积分解：-222I f x y z dxdydz24122.，d d f r r sin dr0004.设曲线积分Lf(x) eydx f(x)dy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f1,求f (x)x解：P f (x) e y , Qf(x),f (x) exydx f(x)dy-3十斗由L yy与路径无关,得Qxy cePyx 1 x e2即 f(x)f(x) ex解微分方程o 又 f(0)5.求微分方程yc1,得2y y e故 f(x)解：y 2y y 0的通解为y的通解。(Ci ax)ex设原方程的一个特解yce代入原方程,4 。其通解为(C| c2x)ex

4、 1e x4(10分)计算曲2y dzdx zdxdy,其中三是球面解:补上4(z 0)的上侧。1 :z 0 (x2 y24)下侧。dzdx zdxdy2 ,y dzdx zdxdy12 , y dzdx zdxdy1对称性四、(2 y 1)dxdydz 02ydxdydz dxdydzc 1616033(10分)计算三重积分(x y z)dxdydz22，其中由2 x y与z 1围成的区域。解：(x y z)dxdydzxdxdydz ydxdydzzdxdydz对称性0 0 zdxdydz11rdr 2 zdz 一0 r23五、(10分)求z1在y 1 x下的极值。22,解：z x (1

5、x) 12x2 2x 21x 一令 z 4x 2 0 ,得 2。z 4,（11）在y 1 x下的极小值点为2 2,-/2K、（10分）求有抛物面z 1 x）22,八、解：z 1 x y （z 0）的面积为1x20,2为极小值点。故z x3极小值为2 02y与平面z 0所围立体的表面积y2 1§ dSx2 y2 1224x 4 y dxdy.d r .1 4r2dr00(5.5 1)6(5.5 1)平面z 0部分的面积为。故立体的表面积为n 1x七、（10分）求幕级数n 1 n3n的收敛区间与和函数n 1x 解：收敛区间为1n3s(x)3,3)。设11n(3 x13n1 n3nx) x

6、s(x) (xs(x)n(与i n3o（下）模拟试卷五一、填空题：（每空3分，共21分）22221（x, y）x y,y 02 2xe y dx 2ye y dy 3 0 4 2',r、）1 edy v f （x, y）dx5、 0ey, 6、条件收敛，7、y8sx c（C为 常数），二、选择题：（每空 3 分，共 15 分）1、A, 2、D,3、A,4、D, 5、B 三、解：1、令 F（x, y,z） ln z ez xy 1zFxyzxFz1 zez4Z F y Xzy Fz 1 zez72、所求直线方程的方向向量可取为1，2，3x 1则直线方程为：13、原式72 34 d r d

7、r007y 2234四、解：1、令P(x,y) y2 ex,Q(x, y) 2xy 5x sin2 y,-P 2y,-Q 2y 5 y xQ P( )dxdy原式D x y62082、(1)此级数为交错级数1五、解:,1c1lim0因nVnn故原级数收敛limn1、2在（1,3）处因AC在（1,3）处因AC2、通解y 1,2,此级数为正项级数（n 1）23n12 n3nfx(x,y)3x2 3B2B2fxx(1,3)6, B故原级数收敛fy(x, y) 3fxy(1,3)0,C0,所以在此处无极值fxx(0,Adxdx1,3)6,Bfxy(1,3)0f（ 1,3）0,所以有极大值1dxcey

8、0得驻点（"Mfyy(1,3)0,Cfyy(1521,3)11,3)xex ce23、1）其对应的齐次方程的特征方程为有两不相等的实根r12,r2所以对应的齐次方程的通解为r2 2r 8 02xce4xc2e(C1,C2 为常数)2）设其特解yx(x) ae5aex将其代入原方程得2ex,a*y (x) 故特解2 x-e53）原方程的通解为2xyC1e4xC2ex,LL1、高等数学（下）模拟试卷六参考答案填空题：(每空3分，共21分)1(x,y)x 1 y x 1223 2xcos(x2y2)dx2ycos(x2y2)dy4、2y2, 5、二、选择题：三、解：_2f(r )rdr 6

9、（每空3分，共15分）绝对收敛，1、B , 2、7、3、c (c为4、D,常数），5、D1、令 F(x, y,z)z3 3xyz2、3、四、解:FxFzyz2z xyxz2 z xy所求平面方程的法向量可取为则平面方程为：2（x 1） y原式13原式x 2dx0(xP(x,y)(x2cos162,1,33(z 2) 00)dxy2)dyy,Q(x, y)10(1(xsin y),siny)dy2、令 P x,Q y,R原式( x上)dvz3dv3、(1)此级数为交错级数11lim 0因n ln n , ln n1 ln(n五、解：3故原级数收敛limn1、此级数为正项级数4n 1sin于34n

10、 sin 3nfx(x, y)6x1) (n2,3fy(x,y)故原级数发散2_4y y0得驻点(1,0),(1,4)在（1,0）处fxx(1,0)6,Bf xy (1,0)0,Cfyy(1,0) 4因ACB20,A在（1,4）处fxx(01,4)所以有极小值6,B fxy（f(1,0)ACB20,所以在此处无极值2、通解1dxdxdx ce(x1,4)0,Cf yy(1,4)4c)ex1,特解为y(x 1)ex3、1）对应的齐次方程的特征方程为5r有两不相等的实根r12,23所以对应的齐次方程的通解为c*x2）设其特解y （x） （ax b）e2xc1e3xc2e为常数）L L将其代入原方程

11、得2ax 3a 2b1,a12,by (x) (-x故特解2-)ex4 L3）原方程的通解为y2xce3xC2e/15、(一x -)24高等数学（下）模拟试卷七参考答案填空题：（每空3分，共八2 t2.yt C (3)22_1 (x,y)|0 x y 25 I .3一y 1y 5 3 yx dx x In xdyy4. yCx 5.1x2y26.yx -e (Cicos2x C2Sin 2x) 78 8 2选择题：（每题3分，共15分）1. D 2, D3. B 4, C 5, B.求解下列微分方程（每题 7分，共21分）zzuzv1,解：xuxvxzzuzvyuyvy2x.-2 ln(3x

12、y2x2一°，一ln(3x y4y)4y)3x22(3x 4y)y24x22(3x 4y)y2(4分)(7分)3n 2八x-(ln x)2CLLLLLLLLL (10 分)2,解:lim UnA lim 空二L (5分) x Un x 台| 1L L L (6 分)所以此级数发散L L L L (7分)-、，2 .23,解：e y dxdyD= der rdr L L (5分)000d2 1 r2 =-e0 2 （e 1）L L （7 分）四.计算下列各题（每题10分，共40分） 1,解：原方程的通解为1dx1dxy e x ln xe x dx c L L L (6分)1 八八=x

13、 ln xdx C x ln xd ln x C x.1 x一2.解： x y dxdy二 ° dx ° x y dyL L (6分) D1 1 2 x 13 21八= xy y dxx dx L L (10分)0200 22fx(x, y)2x 6 03 .解：2得驻点(3,2)和(3,-2) L L L L (4分)fy(x,y) 3y 12 0fxx(x, y)2, fxy(x, y) 0, fyy(x, y) 6y在点(3,2)处，A=-2, B=0, C = 12, AC B2=-24<0,故点(3,2)不是极值点 LLLLLLLL (7 分) 在点(3,-

14、2)处，A=-2, B=0, C=-12, AC B2=24>0 ,且 A<0, 故点(3,2)是极大值点，极大值 f(3, 2) 30L L L L L L (10分)4 .解：此曷级数的收敛半径：R= lim lim 哼二4L L (6分)n 1 (n 1)24n 1，一 一，、，1 一x 4时曷级数变为F是收敛的P-级数n=1 n(-1) n , x4时号级数变为绝对收敛LLLLLLLLLLLLL(8分)n=1 n n所以攵敛域为-4,4L LLLLLLLLLLLLLLL (10 分)n 1 n2 4n单项选择题（6X 3分）1、 A 2、C 3、 C 4、B 5、 A 6、

15、D二、填空题（7X 3分）81、2 2、川+硕工办+力入彳4、4不5、.：10 7、三、计算题（5X9分）1、解：令尸则凡=-/ ,4=1一/故口,艮 /1-y =以' 01一二/ "0+X1-/')+/Xio-/r*D+乃”"S)II0-75(-r2、解：令' 一所以切平面的法向量为：- - 1切平面方程为：1 141&解如/史7F o = 3尸二二4、解：令* +y ,BP _dQ _6 bx (_ +2当A。，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择 公了 二 1由（0, 1）到（2, 1）则ydx- xdyydK-益切2。衣=arcta

16、n 2-4£工”）=Z5、解：令$1程则»1S'3 = 2>i=-七1-Xo 1工dx- -In(l-x)y-= -ln(l-2T)国界3" Da四、综合题（10分）解：设曲线x=/a）上任一点为不（/j口），则 过年的切线方程为：y-K = /（晶）5耳）在尸轴上的截距为此一X5）y-M 二一一二（“/）过其的法线方程为：。在或轴上的截距为晶+汽/国）依题意有3画尸Lo）二§ 飞尸区）由F（为了,）的任意性，即工卜）旷,得到(a + 3y)y l = y-3x这是一阶齐次微分方程，变形为:j-3a.令二In*二/则y, =小工+N ,代入

17、（1）3q -型Q得:丸十1分离变量得:解得:In |(1+一 arctan = C。+ 力）l+3yIn+/)+ arc tan = C3 工为所求的曲线方程。五、证明题（6分）1 5证明:X.尸之0 剧a 3-2 + X>0声 旌u 1小想都收敛，由比较法及其性质知:Zl-I制落收敛z-故Ml用绝对收敛。1、 单项选择题（6X 4分）1、 A2、A3、C4、B5、B6、D2、 填空题（8X 4分）1、”v+2n + 6 = Q 2、3、4 4、4斤炉5、一In。一工）琳上=0 7、匕8、丁建一W1、解：令R 0 弓二（土）十三/尺=2工¥y y也 R2xdz二二 一以用y（

18、£）-2z中fl4加广1"2、解：工，=。 口2c/侬 = 口= Jo座工3、解：令1天公一对于1liy<-）为="心yy匕-昌十%心_/_y y yy匚疗厂办时'丐四=口（1+COS 2）2?口,严=打犷耳%呼 ?1m到=hm翠叫/1 9 14不三、计算题（4X7分）09=R = 4当f = 4时尺1 4 =»-1 发散0产 Byt-iy五,当£ 时，«-!4 _/?加_对应的齐次方程解为；令所求解为将乂V代入(1)得：u '(1)/ = -x =* 也发散¥rf N£(- D* -7所以I

19、4相在一4 <7 M 4时收敛，在该区间以外发散，即-4<(x-2)3 <4 解得0。<4故所求哥级数的收敛半径 五为2,收敛域为(0, 4)4、解：令03 , 0 浏力,则dQ ap 。-=y电射 ,由格林公式得到“加2+函+如刃功卜%仃.盯了明四、综合题(10分)解：过幅的切线方程为：”了=1乂-工)令 x = o,得 y=y-ylj y' = -x依题意有：克二丁一号即,工 .(1)故（1）的解为： 五、证明题（6分）证明：由于»-1 收敛，所以H也收敛,1=2（%+仃科1）工版3A+1由比较法及收敛的性质得：京-1收敛。（下）模拟试卷五、填空题

20、：（每空3分，共21分）2 、，2v2、,21、（x，y）x y,y 02、2xe y dx 2ye y dy 3、0,4、25、选择题:1 edy v f （x, y）dx 八0 ey,6、条件收敛,（每空3分，共15分）1、A7、y cosx2、D, 3、A,c （c为常数），4、 D, 5、 B、解：1、令 F（x, y,z） ln z ez xy 1zFxyzxFz1 zez4z Fy xzy Fz 1 zez72、所求直线方程的方向向量可取为1,2,32x 1 y z 2则直线方程为： 123223、原式4 d r dr007四、解：1、令P(x, y) y2 ex,Q(x, y)

21、2xy 5x2 sinP y,一c Q2y, x2y 5五、解:QP( )dxdy 原式D x丫202、(1)此级数为交错级数,1c 1lim 0因n v'n , Jn故原级数收敛此级数为正项级数（n 1）2一 n 1 (n1,2,limn3n 1-2n3n故原级数收敛1、fx(x,y)3x2 3fy(x,y) 3y 0得驻点（"M1,3)2在（1,3）处fxx(1,3)6, Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)因ACB20,所以在此处无极值在（1,3）处fxx(1,3)6,Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)1因ACB20,A2、通解y dxdx0,所以有极大值1d

22、xf( 1,3)152xex ce2特解为y (x 2)ece3、1）其对应的齐次方程的特征方程为有两不相等的实根r12,r28r22r 8所以对应的齐次方程的通解为2xce4xae(C1,C2 为常数）L L L 32）设其特解yx(x) ae5aex将其代入原方程得2ex,a*y (x)故特解3）原方程的通解为2xGe4xC2e高等数学（下）模拟试卷六参考答案填空题：（每空3分，共21分）11 (x,y)x 1 y x 12、23、2xcos(x2y2)dx 2ycos(x2 y2)dy4、.2® 5、选择题：、解：_2f(r )rdr，6、（每空3分，共15分）绝对收敛，1、B

23、 , 2、7、3、Bc (c为4、D,常数），5、D1、令 F(x, y,z)3z 3xyzFxyz-2z xy2、3、四、解:Fzxz-2z xy所求平面方程的法向量可取为则平面方程为：2（x 1） y原式x 2dx°(xP(x,y)原式(x20)dxy2)dy62.1,3y,Q(x, y)10(13(z 2) 0(xsiny)dysin y),cos12、令 P x,Q y,R原式( x3dv3、（1）此级数为交错级数1lim 0因 n ln nln nln(n1) (n2,3)故原级数收敛（2）此级数为正项级数五、解：34n 1lim n1、由在（1,0）处因AC在（1,4）处

24、 因AC2、通解y sin-)3n 144n sin 3nfx(x, y)B2B2fxx(0,Afxx(故原级数发散6x1,0)01,4)6,Bfy(x,y)24y y0得驻点(1,0),(1,4)fxy(1,0)0,Cfyy(1,0) 4所以有极小值6,B fxy（0,所以在此处无极值1dxdxdxcef(1,0)1,4)0,C1,4)4(x c)ex x 0 c 1,特解为y （x 1）ex3、1）对应的齐次方程的特征方程为所以对应的齐次方程的通解为c*x2）设其特解y （x） （ax b）e5r2x ce03x有两不相等的实根r1c2e （GC为常数）L L2ax 3a 2b2,23将其

25、代入原方程得*1y （x） （-x故特解2d 151,a 一，b243）原方程的通解为y-)ex4 L2xc1e3x (-x 5)exc2e24 L L L 7高等数学（下）模拟试卷七参考答案填空题:（每空3分，共1 (x,y)|0 x2 y2 25 I .yt c (2)t2.33y5 3. yx dxxy ln xdy4. y Cx.选择题：yd 2 25.1 x y(每题3分,6.共y ex(C1cos2x15分)C2 sin2x) 78 . .8. 21. D2. D3. B4. C 5. B.求解下列微分方程7分，共21分）1.解：X u X2fln(3x 4y) y3x2(3x 4y)y2(4分)zzuz vyu yv y2x233