空间中有关外接球的问题答案

1、专题05 破译空间中有关外接球的问题、单选题30。的平面，则所得1. （ 2020重庆市育才中学高三月考）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成 截面的面积与球的表面积的比为（515256256C.644564【答案】C【解析】由题画出图形，设球心为O,则OA为一条半径，B为OA中点，过点B的平面与OA所成角为30°,截面BO1, OO1 CO1,的圆心为Oi,截面与球一交点为C,则 OBOi 30 ,OOi截面，则OOi1 1设oa OC，则OB 尹。1。&2 2 2所以在 RtVOOQ 中，CO1 CO OO1 则 CO1所以所得截面的面积与球的表面积的比为.15r1

2、5，故选:C642. （2020湖北省高三）已知三棱锥 S ABC的所有顶点在球 O的球面上，SA 平面ABC , VABC是等 腰直角三角形，SA AB AC 2 , D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A .B . 2【答案】B【解析】点D是RtVABC的外心，过点O是外接球球心，半径设为 R，则OAC. 3D. 41D作DO 平面ABC使DOSA 1 ,2OS R.在直角梯形SADO中，SA 2 , OD 1 , AD 2，得R 3 ,过点D作球0的截面，当OD 截面时，截面面积最小,此时截面圆的半径为.rR2OD22，3. （ 2020福建省高三月考）在三棱锥

3、P ABC中，PA 底面ABC , AB AC, AB 6,AC 8 , D是线段AC上一点，且AD 3DC 三棱锥P ABC的各个顶点都在球 O表面上，过点D作球O的截面，若所得 截面圆的面积的最大值与最小值之差为16 ，则球O的表面积为（）A . 72 nB. 86C. 112D. 128【答案】C【解析】将三棱锥 P ABC补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O,记三角形ABC的中心为O1，设球的半径为 R , PA 2x ,则球心O到平面ABC的距离为x，即O。！ x ,连接 OjA，则 O1 A 5 R2 x225.在VABC中，取AC的中点为E，连接O1D,O1E ,1

4、 1则 OE -AB 3 DE AC 22，4，所以 OQ 13 在 RtVOOQ 中，od . x2 13，由题意得到当截面与直线 0D垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为 r,则 r2 R2 OD2 x225 x2 1312,所以最小截面圆的面积为 12,当截面过球心时，截面面积最大为R2 ,所以 R21216 , R228，球的表面积为R2 112 .故选:C.4. ( 2020福建省福州第一中学高三开学考试)在棱长为6的正方体ABCD中，点E满足uuu uuu 亠BE 2EC，则三棱锥Di AEC的外接球的表面积是()A . 54B. 70C. 108D. 140【答案】C【解析

5、】连接BiD，如图建立空间直角坐标系，设P为三棱锥Di AEC的外接球的球心，故P到Di, A、C三点的距离相等，由正方体的性质，P点在直线BiD上不妨设 P(x,x,x),C(0,6,0), E(2,6,0)由于 |PC| |PE|x2 (x 6)2 x2'. (x 2)2 (x 6)2 x2x i P(i,i,i)外接球半径：R |PC| .i2 52 i2 .27 3/3故表面积S 4 R2i08 ,故选：C5 （ 2020云南省云南师大附中高三月考）四边形ABDC是菱形，BAC 60°, AB . 3 ,沿对角线BC翻折后，二面角 A BC D的余弦值为1，则三棱锥D

6、 ABC的外接球的体积为（3A .5B ,6【答案】B【解析】如下图所示，取 BC的中点为M，设球心O在平面ABC内的射影为Oi ，在平面BCD内的射影AB 3 ,AMD则 cos22cos212 cos1，贝U sin3tan2ta nOO2O2Mta n球O的半径R.DO； OO；所求外接球的体积为39故选：B.6 （ 2020河北省高三月考）圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（A 9:32B 8:27C. 9: 22D 9: 28【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为I，

7、则侧面积为 nl ,侧面积与底面积的比为nl2r十2,则母线l=2r,圆锥的高为hh2 r2 , 3r ,则圆锥的体积为丄3n2h设外接球的球心为 0,半径为R,截面图如图，贝y 0B=0S=R,0D=h-R= _3r R,BD=r,在直角三角形 BOD中，由勾股定理得 OB2OD2BD2,即 R2r2. 3r展开整理得R= 23r,所以外接球的体积为R38 33"r32 r333r故所求体积比为可32 r39 .39巫，故选：A7. （ 2020湖南省高三期末）设三棱柱 ABCAi B1C1的侧棱垂直于底面， ABACBAC 90，AA 3迈，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该

8、球的表面积是D. 16C. 26【答案】【解析】由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点O，则外接圆的半径BC2，而 AB AC 2,BAC90 ,所以BC2&，所以r、2，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点,则O为外接球的球心,由题意得:R2 r2 AA213，所以外接球的表面积S 4 R2 26 ,故选：C .8. （ 2020全国高三课时练习）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A . 1232 B.C. 8【答案】A【解析】因为正方体的体积为 8，所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为 2.3，所以正方体的外接球的半径为 3 , 所以该球的表面积为

9、4（J3）2 12 ，故选A.二、填空题9. （ 2020全国高三课时练习）已知圆台的上、下底面都是球0的截面，若圆台的高为 6，上、下底面的半径分别为2， 4，则球0的表面积为.【答案】80【解析】设球半径为 R，球心O到上表面距离为x,则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式22 x2 42 + 6 x 2，解得 x 4，所以半径 R2 x2 22 20因而表面积S 4 R28010. （2020山东省高三）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 【答案】8.【解析】作出圆柱与其外接球的轴截面如下:2r，所以轴截面的面积为S正方形ABCD22r 4，解得

10、r 1，因此,该圆柱的外接球的半径 R BD 222，2 2所以球的表面积为S 428 .故答案为811. （2020广西壮族自治区广西师大附属外国语学校高三）在平面四边形ABCD中， BCD是边长为2的等边三角形， BAD为等腰三角形，且/ BAD=90，以BD为折痕，将四边形折成一个 120的二面角A BD C，并且这个二面角的顶点 A,B,C,D在同一个球面上，则这个球的球面面积为 52【答案】9【解析】B折成的立体图形如图所示，0为球心，E为BD的中点，/ CEH=60 ,ce= .3, ch 3，2HE丄3，所以由OC2 OF2 CF2得:2n R ，所以，球面积为 S 429R25

11、2952故答案为：529AC 2, AD 2,12. （2020湖南省长郡中学高三月考）已知三棱锥 A BCD , ABS ABC S ABD S ACD 取最大值时，三棱锥 A BCD的外接球表面积是【答案】9【解析】当 S ABC S ABD S ACD取最大值时AB , AC , AD两两垂直，此时以AB , AC , AD为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥 A BCD的外接球，长方体的对角线长为 .1 22 22 I，设球的半径为R,则2R I,2球的表面积为2R 9 .故答案为：9ABC体积最1I. （2020广东省高三期末）已知三棱锥 P ABC中，pa PB PC d，

12、当三棱锥P大值时，三棱锥P ABC的外接球的体积为.9 【答案】92【解析】三棱锥 P ABC，以 PAB为底，C到平面PAB的距离为高，则可知PC 平面PAB时，C到平面PAB的距离最大为、| ,1 3底面 PAB 为等腰三角形， Spab -PA PB s in BPA si n BPA,2 2所以，当sin BPA 1时，PAB的面积最大，即 PA PB ,所以，当PA,PB,PC两两垂直时，三棱锥 P ABC体积最大，此时三棱锥P ABC的外接球可以看作是以 ,3为棱长的正方体的外接球,设球的半径为R，则2R.32<3 2.-3 2，13”343 4解得R，所以所求球的体积为 V

13、R3 -23 39故答案为：-214.（2020全国高三专题练习）如图所示，六氟化硫SF6的分子是一个正八面体结构,其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为 【答案】.【解析】由正八面体的性质可得:当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时，此时这个球为正八面体的外接球，且球心为点S ,设外接球的半径为 R，则正八面体的体积为 2 - C2R）2R34R33又正八面体的外接球的体积为4 R33则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为-R3故答案为:15. （2020河南省高三）中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD 2，ED 1,若鳖臑P ADE的外接球的体积为 9 ，则阳马P ABCD的外接球的表面积等于