人教a版必修5学案：1.1.2余弦定理1含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料1.1.2余弦定理(一)自主学习 知识梳理1余弦定理三角形中任何一边的_等于其他两边的_的和减去这两边与它们的_的余弦的积的_即a2_,b2_,c2_.2余弦定理的推论cos a_；cos b_；cos c_.3在abc中：(1)若a2b2c20,则c_；(2)若c2a2b2ab,则c_；(3)若c2a2b2ab,则c_. 自主探究试用向量的数量积证明余弦定理对点讲练知识点一已知三角形两边及夹角解三角形例1在abc中,已知a2,b2,c15°,求a.总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理,本例中的条件是已知两边及其夹角,而不是两边及一边的对角,所以本例

2、的解法应先从余弦定理入手变式训练1在abc中,边a,b的长是方程x25x20的两个根,c60°,求边c.知识点二已知三角形三边解三角形例2已知三角形abc的三边长为a3,b4,c,求abc的最大内角总结已知三边求三角时,余弦值是正值时,角是锐角,余弦值是负值时,角是钝角变式训练2在abc中,已知bc7,ac8,ab9,试求ac边上的中线长知识点三利用余弦定理判断三角形形状例3在abc中,a、b、c分别表示三个内角a、b、c的对边,如果(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab),试判断该三角形的形状变式训练3在abc中,sin asin bsin c234,试判断三角形的形状

3、1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角,解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角. 课时作业一、选择题1在abc中,a7,b4,c,则abc的最小角为()a. b.c. d.2在abc中,已知a2,则bcos cccos b等于()a1 b.c2 d43在abc中,

4、已知b2ac且c2a,则cos b等于()a. b.c. d.4在abc中,sin2 (a、b、c分别为角a、b、c的对应边),则abc的形状为()a正三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d等腰三角形5在abc中,已知面积s(a2b2c2),则角c的度数为()a135° b45°c60° d120°题号12345答案二、填空题6三角形三边长分别为a,b, (a>0,b>0),则最大角为_7在abc中,ab2,ac,bc1,ad为边bc上的高,则ad的长是_8在abc中,bc1,b,当abc的面积等于时,tan c_.三、解答题9在abc中,

5、bca,acb,且a,b是方程x22x20的两根,2cos(ab)1.(1)求角c的度数；(2)求ab的长；(3)求abc的面积10在abc中,已知ab4,ac2b,且最大角为120°,求三边的长11.2余弦定理(一)知识梳理1平方平方夹角两倍b2c22bccos ac2a22cacos ba2b22abcos c2.3(1)90°(2)60°(3)135°自主探究证明如图所示,设a,b,c,那么cab,|c|2c·c(ab)·(ab)a·ab·b2a·ba2b22abcos c.所以c2a2b22abc

6、os c.同理可以证明：a2b2c22bccos a,b2c2a22cacos b.对点讲练例1解由余弦定理得c2a2b22abcos c84,所以c,由正弦定理得sin a,因为b>a,所以b>a,又0°<a<180°,a30°.变式训练1解由题意：ab5,ab2.由余弦定理得c2a2b22abcos ca2b2ab(ab)23ab523×219.c.例2解c>a,c>b,角c最大由余弦定理,得c2a2b22abcos c,即3791624cos c,cos c,0°<c<180°,c

7、120°.所以abc的最大内角为120°.变式训练2解由条件知：cos a,设中线长为x,由余弦定理知：x22ab22··abcos a42922×4×9×49,即x7.所以,ac边上的中线长为7.例3解a2sin(ab)sin(ab)b2sin(ab)sin(ab),2a2cos asin b2b2cos bsin a,由正、余弦定理,即得a2bb2a,a2(b2c2a2)b2(a2c2b2),即(a2b2)(c2a2b2)0,ab或c2a2b2,该三角形为等腰三角形或直角三角形变式训练3解因为abcsin asin bs

8、in c234,所以可令a2k,b3k,c4k(k>0)c最大,cos c<0,所以c为钝角,从而三角形为钝角三角形课时作业1ba>b>c,c为最小角,由余弦定理cos c.c.2cbcos cccos bb·c·a2.3bb2ac,c2a,b22a2,ba,cos b.4bsin2,cos a,a2b2c2,符合勾股定理5bs(a2b2c2)absin c,a2b2c22absin c,c2a2b22absin c.由余弦定理得：c2a2b22abcos c,sin ccos c,c45° .6120°解析易知：>a,>b,设最大角为,则cos ,又(0°,180°),120°.7.解析cos c,sin c.adac·sin c.82解析sabcacsin b,c4.由余弦定理：b2a2c22accos b13,cos c,sin c,tan c2.9解(1)cos ccos(ab)cos(ab),且c(0,),c.(2)a,b是方程x22x20的两根,ab2b2a22abcos 120°(ab)2ab10,ab.(3)sabc