可降阶的高阶微分方程57892

1、（二）可降阶的高阶微分方程（二）可降阶的高阶微分方程要求会用降阶法解要求会用降阶法解（1） y(n)=f(x) 型方程型方程（2）y”=f(x,y) 型方程型方程(3) y”=f(y,y) 型方程型方程)()1)(xfyn 解法解法: cdxxfyyynnn )(1,)1()1()(次次积分积分视视nnncxcxcdxdxxfyn 2211)(次次共积分共积分例例1xxy sin)4(),()2yxfy 解法解法: ),(,pxfdxdpdxdpypy 代入原方程代入原方程则则令令这是关于这是关于p的一阶微分方程的一阶微分方程, 若能求出若能求出211),(),(cdxcxycxp 则则降低了

2、方程的阶数降低了方程的阶数1.可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程例1 求方程 xy”+y=1通解。 解： y=p(x)， xp+p=1 , -ln(1-p)=lnx+lnc1 = p=1- c1/x 通解： y =x-c1lnx+c2 21.2 ()0(0)1(0)2yx yyy 求方程满足，的特解。yp 解：设解：设py 则则022 xpp方程变为方程变为cxyp 21212 xcxxdxxy 22ln221212122ln221 xx例例2212 ()0(0)1(0)2yx yyy 求方程满足，的特解。yp 解：设解：设py 则则022 xpp方程变为方程变为cxyp 21212 x

3、cxxdxxy 22ln221212122ln221 xx例例3),()3yyfy 解法解法: ),(,pyfdydppdydppdxdydydpypy 代入原方程代入原方程则则令令这是关于这是关于p的一阶微分方程的一阶微分方程, 若能求出若能求出是所求通解是所求通解则则211),(1),(cxdycycyp 降低了方程的阶数降低了方程的阶数.212yyy 求通解求通解例例1解解.x方程不显含方程不显含,dydppypy 令令代入方程，得代入方程，得,212ypdydpp ,112ycp 解得，解得，, 11 ycp, 11 ycdxdy即即故方程的通解为故方程的通解为.12211cxycc

4、.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydppy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 02 pdydppy, 0)( pdydpyp即即，由由0 pdydpy,1ycp 可得可得.12xcecy 原方程通解为原方程通解为,1ycdxdy 例例 2(03二15）微分方程 y”=24x 的通解为_y=x4+c1x2+c2x+c32 全微分方程全微分方程例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu ,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程.xqyp 全微分方程全微分方程一一、全微分方程、全微分方程1.1.定义定义: :0),(),( dyy

5、xqdxyxpdyyxqdxyxpyxdu),(),(),( 若一阶微分方程若一阶微分方程全微分方程全微分方程的左端是某函数的全微分的左端是某函数的全微分2.2.解法解法: :0),(),( dyyxqdxyxp通解为通解为 yyxxdyyxqxdyxpyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxpdyyxqxxyy ;),(cyxu 全微分方程全微分方程ypxqdyyxqdxyxpyxdu ),(),(),(.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xqxyyp 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.

6、42344224cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为),4234(4224yyxx 例例1 1.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xqxyyp 是全微分方程是全微分方程,.42344224cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为),2344(2244yxyxd 例例1 1dyyxydxxyx)3()3(2323 ydyxdxxydyydxx223333 .0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xqyxyp 是全微分方程是全微分方程,.132cyxy 原方程的通解为原方程的通解为例例2dxyxdyyyxuxy 031221),(y11 32yx 4、已知、已知 f(0)=1/2,试确定试确定)(xf, 使使0)()( dyxfydxxfex为全微分方程为全微分方程,并求此全微分方程