多元函数的微积分57137

1、16.2 6.2 多元函数的微积分多元函数的微积分主要内容：主要内容：一一. .多元函数的概念多元函数的概念二二. .二元函数的极限和连续二元函数的极限和连续三三. .偏导数的概念及简单计算偏导数的概念及简单计算四四. .全微分全微分五五. .空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面六六. .曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线七七. .多元函数的极值多元函数的极值2 设设d是平面上的一个点集如果对于每个点是平面上的一个点集如果对于每个点p(x，y) d，变量变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是是变量变量 x、y的二元函数的二元函数

2、(或点或点p的函数的函数)，记为，记为z=f (x，y)(或或z=f (p)二元函数的定义：二元函数的定义：其中其中d称为定义域，称为定义域，x，y 称为自变量，称为自变量，z 称为因变量称为因变量类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数当自变量的个数多于一个时当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函函数称为多元函数数一一. .多元函数的概念多元函数的概念3二元函数的图形：二元函数的图形： 二元函数的图形是一张曲面二元函数的图形是一张曲面例例 z=a x+b y + c是一张平面，是一张平面，xyzox0 y0m0点集点集(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y) d称为

3、二元函数称为二元函数z f(x，y)的图形的图形4 由方程由方程x2 y2 z2 a 2确定的函数确定的函数z=f (x，y)有两个：有两个： 由方程由方程x2 y2 z2 a 2确定的函数确定的函数z=f (x，y)是中心在原是中心在原点，点，它的定义域为它的定义域为d =(x，y)|x2 y2 a 2oxy半径为半径为a的球面的球面,222yxaz .222yxaz ,222yxaz .222yxaz 5二二. .二元函数的极限和连续二元函数的极限和连续 1.1.二元函数的极限二元函数的极限 设函数设函数f (x，y)在开区域在开区域(或闭区域或闭区域)d内有定义，内有定义，p0(x0，y

4、0)是是d的内点或边界点如果对于任意给定的的内点或边界点如果对于任意给定的正数正数e e 总存在正数总存在正数d d ，使得对于适合不等式使得对于适合不等式都有都有 |f (x，y) a|e e 成立，成立，则称常数则称常数a为函数为函数f (x，y)当当x x0，y y0时的极限，时的极限，记为记为这里这里r r |p p0|我们把上述二元函数的极限叫做我们把上述二元函数的极限叫做二重极限二重极限定义定义d d 20200)()(0yyxxpp),0(),(,),(lim00 r rayxfayxfyyxx或或的一切点的一切点p(x，y) d ，6 (1)(1) 二重极限存在，是指二重极限存

5、在，是指p以任何方式趋于以任何方式趋于p0时，时，函数都无限接近于函数都无限接近于a.例例当点当点p(x，y)沿沿 x 轴、轴、y 轴趋于点轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，时函数的极限为零，当点当点p(x，y)沿直线沿直线y=k x 趋于点趋于点(0，0)时时注意：注意： .0,0.0,),(222222yxyxyxxyyxf.1limlim2222202200kkxkxkxyxxyxkxyx (2) (2) 如果当如果当p以两种不同方式趋于以两种不同方式趋于p p0 0时，函数时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在趋于不同的值，则函数的极限不存在7.)sin(lim120 xxyyx求

6、例yxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim2020 解：解：yxyxyyxyx2020lim)sin(lim .2)sin(lim20 xyxyxy8则称函数则称函数f (x，y)在点在点p0(x0，y0)连续连续定义：定义： 设函数设函数f(x,y)在开区域在开区域(或闭区域或闭区域)d内有定义内有定义,p0(x0,y0) d 函数函数f (x，y)在区域在区域(开区域或闭区域开区域或闭区域)d 内连续：内连续： 是指函数是指函数f (x，y)在在d内每一点连续此时称内每一点连续此时称f (x，y)是是d 内的连续函数内的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到二元函数的

7、连续性概念可相应地推广到n元函数元函数f(p)上去上去2.2.二元函数的连续性二元函数的连续性如果如果),(),(lim0000yxfyxfyyxx 9所以函数在原点不连续所以函数在原点不连续.例例函数在单位圆函数在单位圆 )1( ,)1( ,),(22222222yxyxyxyxyxf 122 yx上各点是否连续？上各点是否连续？解：解：如果如果函数在单位圆上任何点都连续函数在单位圆上任何点都连续2 若在单位圆上任何点都不连续若在单位圆上任何点都不连续2 在原点是否连续？函数例221),(2yxyxf是无穷大，是无穷大，因为因为解：解：)0 , 0(f10 设函数设函数z f(x，y)在点在

8、点(x0，y0)的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，当当y 固定固定在在y0 而而x 在在x0 处有增量处有增量 x 时，时，相应地函数有增量相应地函数有增量 f (x0 x，y0) f(x0，y0) ，（）如果极限（）如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000 存在，存在，则称此极限为函数则称此极限为函数z f (x，y)在点在点(x0，y0)处对处对x 的的偏导数，记作偏导数，记作。或或),(,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx 定义定义3 3偏导数的概念及简单计算偏导数的概念及简单计算1. 1. 偏导数的概念：偏导数的概念：11yyxfyyxfy

9、 ),(),(lim00000。或或),(,0000yxfzxyyxxy 记作记作,0000yyxxyyxxyfyz （）如果极限（）如果极限则称此极限为函数则称此极限为函数z f(x，y)在点在点(x0，y0)处对处对y 的偏导数，的偏导数，存在，存在，12对自变量的偏导函数，记作对自变量的偏导函数，记作偏导函数：偏导函数： 如果函数如果函数z f(x，y)在区域在区域d内每一点内每一点(x，y)处对处对x 的偏导数都的偏导数都 存在，存在，那么这个偏导数就是那么这个偏导数就是x 、y 的函数，的函数， 它就称为函数它就称为函数z f(x，y).,(,yxfzxfxzxx或或 类似地，类似地

10、， 可定义函数可定义函数z f(x，y)在点在点(x0，y0)处对处对y 的偏导的偏导函数，函数，记为记为。或或),(,yxfzyfyzyy 偏导数与偏导函数的关系：偏导数与偏导函数的关系：.| ),(),(,0000yyxxxxyxfyxf .| ),(),(,0000yyxxyyyxfyxf 132 .2 .一阶偏导数的计算一阶偏导数的计算注意：注意：看成二者之商看成二者之商.求导即可求导即可看作常量对看作常量对时，只要暂时把时，只要暂时把，求，求xyxz 2求导即可求导即可看作常量而对看作常量而对时，只要暂时把时，只要暂时把，求，求yxyz 3它们它们只是一种记号，不能把只是一种记号，不

11、能把,yfyzxfxz 114.,xyyzyxxz2332 例例3 3 求求z x2 3x y y2在点在点(1(1，2)2)处的偏导数处的偏导数 解解 .72213, 823122121yxyxyzxz153. 3. 二阶偏导数的计算二阶偏导数的计算按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数二阶偏导数：二阶偏导数： 设函数设函数z f(x，y)在区域在区域d内具有偏导数内具有偏导数那么在那么在d 内内fx(x，y)、fy(x，y)都是都是x，y 的函数如果这两个函数的函数如果这两个函数的偏导数也存在的偏导数也存在,则称它们是函数则称它们是函数z

12、f(x，y)的二偏导数的二偏导数),(),(222yxfyxzxzyyxfxzxzxxyxx ).,(),(222yxfyzyzyyxfxyzyzxyyyx ).,(),(yxfyfyxfxfyx 16 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,),(),(22yxfyxzxzyyxfxyzyzxxyyx 其中其中称为称为混合偏导数混合偏导数同样可得三阶、四阶以及同样可得三阶、四阶以及n 阶偏导数阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数: :17;92,3323322xxyyxyzyyyxxz ; 196,6222222 yyxxyzxyxz 解解 ;182, 1963

13、22222xyxyzyxyxz .6233yxz ,1342222323yxzxyzxzxyxyyxz，求设例。及及3322xzyz 18，试证设例)()(),(5yhxgyxf02 yxf)(yhyf 在对在对x求导就有求导就有02 yxf得证得证.，故，故）（求导数，因为求导数，因为对对解：解：0 xgyy19 设设z f(u，v)，而而u j j(x，y)，v y y(x，y)，则复合函数则复合函数4. 4. 复合函数的微分法复合函数的微分法( (链式法则链式法则) ) xvxuxvfuffxvvzxuuzxz或或, yvyuyvfuffyvvzyuuzyz或或, z f j j(x，y

14、)，y y(x，y)的偏导数为：的偏导数为：20。求全导数而设例dtdztveutuvztcos,sin6ttetettcossincos tttetcos)sin(cos tzdtdvvzdtduuzdtdz 解：解：ttuvetcossin 21四四. . 全微分全微分全增量：全增量： z f (xx，yy) f(x，y)称为函数在点称为函数在点p(x，y)对对自变量增量自变量增量 x、 y的全增量的全增量全微分的定义：全微分的定义：如果函数如果函数z f(x，y)在点在点(x，y)的全增量的全增量 yyxfxyxfzyx),(),(yyxfxyxfyx),(),( 与与增量增量与其两个偏

15、导数分别跟与其两个偏导数分别跟xyxfyyxxfz),(),( 的乘积之和的差的乘积之和的差y时的高阶无穷小，则时的高阶无穷小，则是当是当0)()(22 r ryx22记作记作dz或或df(x,y),即即dyyxfdxyxfdzyx),(),( 或或dyyzdxxzdz 可微可微: :当函数当函数z=f(x,y)在在(x,y)全微分存在时全微分存在时, ,称称z=f(x,y)在在(x,y)可微可微.当函数当函数z=f(x,y)在区域在区域d d的每一点都可微时的每一点都可微时, ,称称z=f(x,y)在在区域区域d d可微可微. .的全微分。的全微分。与与处关于处关于在在称为函数称为函数yxy

16、xyxfz),(),( 23定理定理1 1函数函数z=f(x,y)在其一阶偏导数连续时一定可微在其一阶偏导数连续时一定可微. .定理定理2 2函数函数z=f(x,y)在可微点连续在可微点连续.定理定理1和定理和定理2的结论可推广到三元及三元以上函的结论可推广到三元及三元以上函数数连续，则它可微连续，则它可微, ,且其全微分为且其全微分为zuyuxuzyxfu ,),(，如果其偏导数，如果其偏导数对于三元函数对于三元函数dzzudyyudxxudu 24解解 由定义知由定义知所以所以得得处的全增量和在点求函数例) 1, 1 (733yxz01. 0,02. 0 yx全微分，已知全微分，已知082

17、5. 0)1(1)01. 01()02. 01(2222 z, 33)1, 1(22)1, 1( yxxz22)1, 1(3)1, 1( yxyz08. 0)01. 0()2(02. 03 dz25的全微分。求例22218zyxu23222)(zyxxxu 解解 因为因为23222)(zyxyyu 23222)(zyxzzu 23222)(zyxzdzydyxdxdu所以所以26五空间曲线的切线与法平面五空间曲线的切线与法平面定义定义: : 设在空间曲线设在空间曲线 上有一个定点上有一个定点 ， m在其邻近处取在其邻近处取 上另一点上另一点 ，m并作割线并作割线 mm令令 沿沿 趋近趋近 ，

18、mm那么割线的极限位置那么割线的极限位置tm的切线切线 就是曲线就是曲线 在点在点mm mxyzot27 设空间曲线设空间曲线 的参数方程为的参数方程为.)()()(000000tzztyytxx y y j j 得曲线在点得曲线在点m 处的切线方程为处的切线方程为 过曲线过曲线 上上t t0和和t t0t对应的对应的考虑考虑当当m m ，即即 t 0时时,000zzzyyyxxx 其方程为其方程为,000tzzztyyytxxx x j j(t)，y y y(t)，z (t)这里假定这里假定j j(t)， y y(t)， (t)都可导都可导点点m 和和m ，作曲线的割线作曲线的割线m m ，

19、xyzomm28 通过点通过点m而与切线垂直的平面而与切线垂直的平面法平面：法平面：xyzomj j (t0)(x x0) y y (t0)(y y0) (t0)(z z0) 0称为曲线称为曲线 在点在点m 处的法平面处的法平面.法平面方程为法平面方程为: :29 例例9 9 求曲线求曲线x t，y t 2，z t 3在点在点(1，1，1)处的切线及法平面处的切线及法平面于是，切线方程为于是，切线方程为法平面方程为法平面方程为(x 1) 2(y 1) 3(z 1) 0，即即x 2y 3z 6312111 zyx方程方程.数数t 1， 所以所以所对应的参所对应的参而点而点因为因为解解),(,11

20、13212tztyxttt .,321 t30 曲面曲面 上通过点上通过点m的一切曲线在点的一切曲线在点m的切线都在的切线都在 同一个平面上这个平面称为曲面同一个平面上这个平面称为曲面 在点在点m 的切平面的切平面 通过点通过点m (x0，y0，z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该而垂直于切平面的直线称为曲面在该曲面的切平面：曲面的切平面：曲面的法线：曲面的法线：六曲面的切平面与法线六曲面的切平面与法线曲面的法向量：曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量点的法线点的法线31其中函数其中函数z=f(x,y)具有连续的一阶偏导数具有连续的一

21、阶偏导数, )(),(),(tzztyytxx )(|)(|000yyyfxxxfzzpp 法线的方程法线的方程为1000 zzyfyyxfxxpp),(.yxfz 曲面方程的形式为曲面方程的形式为1的方程为的方程为的任意一条曲线，的任意一条曲线，上过点上过点为为cpsc所对应切平面方程为所对应切平面方程为对应的一点对应的一点曲面在曲面在),(0000zyxptt 32pzpypxfzzfyyfxx000 切平面方程为：切平面方程为：02 ),(zyxf曲面方程的形式为曲面方程的形式为处的法线方程为：处的法线方程为：则曲面在点则曲面在点),(000zyxp0000 )(|)(|)(|zzfyy

22、fxxfpzpypx33 解解 f (x，y) 3x2 2y2， 例例10 求抛物面求抛物面z 3x2 2y2在点在点p(1，-1，5)处的切平面方程及处的切平面方程及所以在点所以在点(2，1，4)处的切平面方程为处的切平面方程为6(x 1)-4(y+1) (z 5) 0，即即6x-4y z 5 0法线方程为法线方程为.154161zyx法线方程法线方程4, 6ppyzxz所以34七多元函数的极值七多元函数的极值 设函数设函数z f (x，y)在点在点(x0，y0)的某个邻域内有定义，对于该的某个邻域内有定义，对于该邻域内异开邻域内异开(x0，y0)的点的点(x，y)：如果都适合不等式如果都适

23、合不等式f (x，y)f(x0，y0)，则称函数在点则称函数在点(x0，y0)有极小值有极小值f(x0，y0) 极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点极值的定义：极值的定义：定理定理 有界闭域上的连续函数一定存在最大值和最小值有界闭域上的连续函数一定存在最大值和最小值35例例1111 函数函数z ( (x-2)2 2 ( (y-3)2-12-1在点在点(2，3)处有极小值处有极小值-1-1也有使函数值为负的点也有使函数值为负的点因为在点因为在点(0，0)处的函数值为零，处的函数值为零，而在点而在点(0，0)的任一邻域的任一邻域内

24、，内，总有使函数值为正的点，总有使函数值为正的点，取得极小值取得极小值处既不取得极大值也不处既不取得极大值也不在点在点函数函数例例)0 , 0(4xyz 36 定理定理 设函数设函数z f (x，y)在点在点(x0，y0)具有偏导数，且在点具有偏导数，且在点取得极值的必要条件：取得极值的必要条件：(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：000000 ),(,),(yxfyxfyx驻点：驻点：函数函数z f (x，y)的驻点的驻点注意注意：函数的驻点不一定是极值点函数的驻点不一定是极值点极值点一定是驻点极值点一定是驻点如：函数如：函数xyz （，

25、）点（，）点是其驻点，但不是其极值点是其驻点，但不是其极值点称为称为同时成立的点同时成立的点凡是能使凡是能使),(),(,),(0000yxyxfyxfx 37 定理定理 设函数设函数z f (x，y)在点在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一的某邻域内连续且有一取得极值的充分条件：取得极值的充分条件： (3) ac b 2 0时可能有极值，也可能没有极值时可能有极值，也可能没有极值 (2) ac b 20时具有极值，且当时具有极值，且当a0时有时有极小值极小值；则则f (x，y)在在(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：),(00yxfaxx ),(00yxfbx

26、y ),(00yxfcyy 阶及二阶连续偏导数，又阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0) 0，fy(x0，y0) 0，令令38求二元函数极值的步骤：求二元函数极值的步骤：fx(x，y) 0，fy(x，y) 0，第一步第一步 解方程组解方程组求得一切实数解，即可得一切驻点求得一切实数解，即可得一切驻点第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶求出二阶偏导数的偏导数的值值a、b和和c第三步第三步 定出定出ac b 2的符号，按定理的结论判的符号，按定理的结论判 f(x0，y0)是否是极值、是极大值是否是极值、是极大值 还是极小值还是极小值39 例例1212求函数求函数f (x，y) x3 y3 3x2 3