25平面向量应用举例

1、2.5平面向量应用举例平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计算，的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性全等、相似、长

2、度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。可以解决平面几何中的一些问题。问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,acabad ,dbabad abcd猜想：猜想：2.类比猜想，平行四形有相似关系吗？类比猜想，平行四形有相似关系吗？你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的

3、基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2 如图，如图， abcd中，点中，点e、f分别分别是是ad

4、、 dc边的中点，边的中点，be 、 bf分别分别与与ac交于交于r 、 t两点，你能发现两点，你能发现ar 、 rt 、tc之间的关系吗？之间的关系吗？abcdefrt猜想：猜想：ar=rt=tc解：设解：设 则则,aba adb arr a cab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设arac(),rn ab nr又因为又因为 共线，共线，所以设所以设e re b与与12()ermebm ab 因为因为 所以所以a ra ee r 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此abcdefrt102()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量不不共共0102

5、nmmn 线线，1 1解解 得得 ： n n= = m m = =3 3111333,aractcacrtac 所所以以同同理理于于是是故故at=rt=tcabcdefrt练习、证明直径所对的圆周角练习、证明直径所对的圆周角是直角是直角abco如图所示，已知 o，ab为直径，c为 o上任意一点。求证acb=90分析分析：要证acb=90，只须证向量 ，即 。cbac 0cbac解：解：设 则 ，由此可得：bocaao ,bacbbaac,babacbac2222baba022rr即 ，acb=900cbacab（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中

6、涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。小结：小结：用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：12150010/2/dmabvkm hvkm h 例。一条河的两岸平行，河宽，一艘船从 出发航行到河的正对岸 处。航行的速度，水流的速度，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？bv1212210/,2/.vvvvkmh vkm

7、hvvt 分 析 ： 如 图 ， 已 知， 求02vv解：由已知条件得2212|96(/ ),vvvkm h0.5603.1(min).| |96dtv所以【思考】日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体(如图).如果绳子的最大拉力为f,f,物体受到的重力为g g。你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力f f1 1的大小与两绳之间的夹角的关系？么？么？的大小怎样变化，为什的大小怎样变化，为什逐渐增大时，逐渐增大时，当当1f1. 最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？为何值时，为何值时，1f2.？为何值时，为何值时，gf3.1小结小结: :用向量中的有关知识研究物理中的相关问题用向量中的有关知识研究物理中的相关问题,步骤如下步骤如下1.问题的转化问题的转化,即把物理问题转化为数学问题即把物理问题转化为数学问题.2.模型的建立模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型