多元函数的微积分

1、多 元 函 数 微 积 分 空间解析几何简介空间解析几何简介 二元函数的概念二元函数的概念偏导数和全微分偏导数和全微分 第五章第五章多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法 多元函数的极值多元函数的极值 二重积分二重积分 平面直角坐标系平面直角坐标系 oxy平面内任取一点平面内任取一点o原点原点 过过o点另作一垂线点另作一垂线y轴（纵轴）轴（纵轴） 过过o点做一直线点做一直线x轴（横轴）轴（横轴） 两坐标轴分平面为两坐标轴分平面为、 象限象限 实数对（实数对（x，y）对应平面内的点）对应平面内的点p，记作，记作p（x，y），分别），分别 称数称数x为点为点p的横坐标，数的横坐标

2、，数y为点为点p的纵坐标。的纵坐标。 平面内的点与实数对一一对应平面内的点与实数对一一对应 p(x,y)xy 空间解析几何简介空间解析几何简介 空间直角坐标系（三维直角坐标系）空间直角坐标系（三维直角坐标系）右右 手手 原原 则则（纵轴）（纵轴）yx （横轴）（横轴）z（竖轴）（竖轴）zxyo空间直角坐标系空间直角坐标系zxyozxyooxoy平面平面xoz平面平面yoz平面平面yzxo三个坐标平面分空间为八个卦限三个坐标平面分空间为八个卦限 （演示）（演示） 三个坐标平面三个坐标平面 八个卦限八个卦限 点的坐标（演示）点的坐标（演示）000,m x y zzxy0 x0y0z两点间的距离两点

3、间的距离1111,mx y z2222,mxyz12m m222121212xxyyzz点点 m到原点的距离到原点的距离222000omxyz空间曲面空间曲面:, ,0f x y z三元方程三元方程如果曲面如果曲面 s 上任意一点的坐标上任意一点的坐标都满足方程都满足方程 f( x ,y ,z)=0，同时，同时不满足方程不满足方程 f( x ,y ,z)=0的点都的点都不在曲面不在曲面 s 上，则称三元方程上，则称三元方程f (x ,y ,z)=0 为曲面为曲面 s 的方程。的方程。zxys, ,m x y z平面平面平面平面一种特殊曲面一种特殊曲面 平面方程的一般形式：平面方程的一般形式：

4、0axbyczdyzxo几种特殊平面几种特殊平面 xoy平面：平面：xoz平面：平面：yoz平面：平面：0z 0 x 0y （三元一次方程）（三元一次方程）平行于平行于 z 轴轴的平面：的平面： 0axbyd过过 z 轴轴的平面：的平面： 0axby过原点过原点的平面：的平面： 0axbycz平行于平行于 y 轴轴的平面：的平面： 0axczd过过 y 轴轴的平面：的平面： 0axcz平行于平行于 x 轴轴的平面：的平面： 0byczd过过 x 轴轴的平面：的平面： 0bycz柱面柱面 平面内一直线平面内一直线l沿着一定曲线沿着一定曲线c移动而形成的曲面叫做移动而形成的曲面叫做柱面柱面，其中，

5、直线其中，直线l叫做叫做母线母线，曲线，曲线c叫做叫做准线准线。 如：如：平行于平行于 z 轴的直线轴的直线沿着沿着xoy平面内的椭圆平面内的椭圆移动，而形成的曲面叫做移动，而形成的曲面叫做椭圆柱面椭圆柱面。22221xyab22221xyab其它柱面其它柱面（几何演示几何演示） 柱面方程的特点柱面方程的特点：如果方程中不含：如果方程中不含变量变量 z（ x 或或 y )，则母线平行于，则母线平行于z ( x 或或 y )轴，柱面垂直于轴，柱面垂直于 xoy( yoz 或或 xoz )面面 。xyoz其方程为其方程为 如如2212xyz空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程, ,0, ,0f x

6、 y zg x y z221,0 xyzyz 两个曲面的交线即为曲线，故空间两个曲面的交线即为曲线，故空间曲线的一般方程为曲线的一般方程为xyzo二次曲面及截痕法二次曲面及截痕法 椭球面椭球面（几何演示）（几何演示） 抛物面抛物面（几何演示）（几何演示） 双曲面双曲面（几何演示）（几何演示） 曲面在坐标平面内的投影曲面在坐标平面内的投影 例例 求上半球面求上半球面 与上半锥面与上半锥面 所围成的立体在所围成的立体在 xoy 面内的投影区域。面内的投影区域。222zxy22zxy解解 两立体的交线为两立体的交线为 22222zxyzxy即即 2211xyz交线在交线在xoy面内的投影为面内的投影

7、为 2210 xyz所以，所围成的立体在所以，所围成的立体在xoy面内的投影区域为面内的投影区域为 22( , )1x y xy 二元函数的概念二元函数的概念几个概念：邻域、内点、边界点、边界。几个概念：邻域、内点、边界点、边界。 邻域邻域：平面点集：平面点集 称为点称为点p0 (x0 , y0) 的的邻域，记做邻域，记做 u(pu(p0 0 ，) )。2200( , )()()x yxxyy内点：内点：设点设点p是平面点集是平面点集e上的点，如果存在点上的点，如果存在点p的某一邻域的某一邻域u(p) 使得使得u(p) e,则称则称p为为e的内点。的内点。边界点：边界点：设有平面点集设有平面点

8、集e，如果点，如果点p的任意邻域的任意邻域u(p)，都有属于，都有属于 e中的点，也有不属于中的点，也有不属于e的点，则称的点，则称p为为e的边界点。的边界点。边界：边界：点集点集e的边界点构成的集合，称为点集的边界点构成的集合，称为点集e的边界。的边界。边界点边界点u(p0 ，)边界边界 p0内点内点 e 开集：开集：如果点集如果点集e中的点都是内点，则称点集中的点都是内点，则称点集e为开集。为开集。 连通集：连通集：如果点集如果点集e中的任意两点，中的任意两点， 都可以用完全属于都可以用完全属于e中的折中的折 线段将它们连接起来，则线段将它们连接起来，则 称称e为连通集。为连通集。区域：区

9、域：连通的开集称为开区域，简称区域。连通的开集称为开区域，简称区域。闭区域：闭区域：区域连同它的边界，称为闭区域。区域连同它的边界，称为闭区域。 二元函数的概念二元函数的概念 几个概念：开集、连通集、区域、闭区域。几个概念：开集、连通集、区域、闭区域。 例如：点集例如：点集 即为一开集。即为一开集。 22( , )1ex y xy例如：点集例如：点集 即为区域。即为区域。 22( , )1ex y xy例如：点集例如：点集 即为闭区域。即为闭区域。 22( , )1ex y xy连通连通 不连通不连通 二元函数的概念二元函数的概念定义：定义：设设d是平面上的非空点集，如果存在一个对应法则是平面

10、上的非空点集，如果存在一个对应法则 f，使，使得对集合得对集合d中的每一个点中的每一个点(x , y)，按法则，按法则 f，都有唯一确定的实数，都有唯一确定的实数值值 z 与之对应，则称此与之对应，则称此对应法则对应法则 f 为集合为集合d上的上的二元函数二元函数，记为：，记为： f ：(x, y) z 或或 z=f (x , y)，(x , y) d称称 x , y 为函数为函数 f 的的自变量自变量，z 为函数为函数 f 的的因变量因变量；集合；集合d为函数为函数f 的的定义域定义域，记作，记作 d ( f ) 或或 df。( , ) ( , )zf x yx yd称实数集称实数集 为函数

11、为函数 f 的的值域值域。约定：约定：函数函数 z=f (x , y) 的定义域约定为的定义域约定为使得式子有意义使得式子有意义的所有的所有的实数对（的实数对（x , y）。）。例如：函数例如：函数 的定义域为的定义域为lnzxy,0dx y xy它表示如右图所示的无界区域。它表示如右图所示的无界区域。 二元函数的图像二元函数的图像 空间点集空间点集 称为函数称为函数 的的图像图像。( , , )( , ) , ( , )x y z zf x yx yd( , )zf x y它表示它表示空间曲面空间曲面。 :, ,0f x y zzxy一元函数与二元函数的比较一元函数与二元函数的比较一元函数一

12、元函数 二元函数二元函数 定义域定义域 数轴上的区间数轴上的区间 平面中的区域平面中的区域 图像图像 平面中的曲线平面中的曲线 空间中的曲面空间中的曲面 极限极限 单极限单极限 二重极限二重极限 微分学微分学 导数与微分导数与微分 偏导数与全微分偏导数与全微分 积分学积分学 定积分定积分 二重积分二重积分 二元函数的极限二元函数的极限 定义：定义：设二元函数设二元函数 z=f (x , y)在点在点 p0(x0 ,y0)的邻域内有定义的邻域内有定义（点（点p0可以除外），如果当点可以除外），如果当点 p (x , y)无论以何种方式无论以何种方式趋向于点趋向于点p0(x0,y0)时，函数值时，

13、函数值 f (x , y)可以无限逼近可以无限逼近常数常数a，则称，则称a为函数为函数 f (x ,y) 在在pp0时的时的极限极限，记作，记作00lim( , )xxyyf x ya( , )(,)lim( , )oox yxyf x ya或或 或或 0( , ) ()f x yapp当时二重极限二重极限 00,p xyxyz 二元函数的极限计算二元函数的极限计算计算下列极限计算下列极限 sin2limxyyxy0 24323lim 12xyxyy12232lim12xyyxyy34e 222200ln 14limxyxyx y222200limxyxyx y220011limxyyx 22

14、0221lim2xyx yxxyx2021lim12xyxxyx0ln 1lim1uuu等价无穷等价无穷小的替换小的替换计算下列极限计算下列极限 223600sin5limxyxyxyx y230sinlimzzzzxyz201 coslim3zzz0sin1lim66zzz00,p xy换元时换元时 与与 不能相互制约不能相互制约xy因为二重极限值不受因为二重极限值不受动点趋向于定点的方式动点趋向于定点的方式的影响！的影响！ 二元函数的极限计算二元函数的极限计算 006limxyxyxy00,p xy换元时换元时 与与 不能相互制约不能相互制约xy2xy事实上，设事实上，设1xkyk011l

15、im11yy kky kk00limxyxyxy则则结果与结果与 有关，故原极限不存在。有关，故原极限不存在。k03lim3yyy若若0000lim,xxyyf x yf xy则称函数则称函数,f x y在点在点00,p xy处处连续。连续。若函数在某区域上点点连续，则称函数在该若函数在某区域上点点连续，则称函数在该区域上连续区域上连续。 直观上来看，若函数在区域直观上来看，若函数在区域 d 上连续，则其对应的上连续，则其对应的空间曲面没有裂缝，没有洞，是一个空间曲面没有裂缝，没有洞，是一个连续曲面连续曲面。初等二元函数在其定义区域上都是连续的。初等二元函数在其定义区域上都是连续的。例如：例如：lnzxy在在:,0d