高中数学新人教A版必修5习题 1.2 应用举例2

1、起正、余弦定理在实际中的应用a组基础巩固1如图，在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度是()a20 mb20(1) mc10() md20() m解析：如图，过点a作aecd交cd于点e.由已知可得dae60°，eac45°，ab20，aece20，de20.cd202020(1)答案：b2海上有a，b两个小岛相距10 n mile，从a岛望c岛和b岛成60°的视角，从b岛望c岛和a岛成75°的视角，则b，c之间的距离为()a10 n mile b. n milec5 n mile d

2、5 n mile解析：在abc中，a60°，b75°，c45°.，bc5.答案：d3如图，要测量湖中一灯塔的高cd(水上部分)，可在岸边一建筑物ab上进行有关的测量已知ab20米，且测出cad，acb，则灯塔cd的高度为()a20(3)米 b20()米c10米 d20()米解析：在rtabc中，ac20(米)在acd中，由正弦定理可知，从而cd.又adccadacd，sinadcsinsin，所以cd20(3)(米)答案：a4如图，为了测量某湖泊的两侧a，b的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定a，b两点间的距离的是()a角a、b和边bb角a、b和边ac边a、b和

3、角cd边a、b和角a解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选d.答案：d5如右图，从气球a测得济南全运会东荷、西柳两个场馆b，c的俯角分别为，此时气球的高度为h，则两个场馆b，c间的距离为()a. b.c. d.解析：在rtadc中，ac，在abc中，由正弦定理，得bc.答案：b6一艘轮船从a出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛b，然后从b出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛c.如果下次航行直接从a出发到c，此船航行的方向和路程(海里)分别为()a北偏东80°，20 b北偏东65&

4、#176;，20c北偏东65°，20d北偏东80°，20解析：由题可知abc105°，在abc中，ab40，bc40，所以ac2ab2bc22ab·bc·cosabc40222×40×40cos3 2001 600，所以ac20.sinbac，所以bac45°，所以下次航行直接从a出发到c，航向为北偏东65°，故选c.答案：c7如图，为测量山高mn，选择a和另一座山的山顶c为测量观测点从a点测得m点的仰角man60°，c点的仰角cab45°以及mac75°；从c点测得mca6

5、0°.已知山高bc100 m，则山高mn_ m.解析：利用三角函数的定义及正弦定理求解根据图示，ac100 m.在mac中，cma180°75°60°45°.由正弦定理得am100 m.在amn中，sin60°，mn100×150(m)答案：1508某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船_触礁的危险(填“有”或“没有”)解析：如图，在abc中，ab30，bac30°，abc135°，acb15°

6、.由正弦定理，得bc·sinbac·sin30°15()过点c作cd垂直ab，交ab的延长线于点d.在rtbdc中，cdbc15(1)>38.所以没有触礁的危险答案：没有9如图，为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的a，b，c三点进行测量已知ab50 m，bc120 m，于a处测得水深ad80 m，于b处测得水深be200 m，于c处测得水深cf110 m，求def的余弦值解：作dmac交be于点n，交cf于点m，作fhac交be于点h.由题中所给数据，得df10，de130，ef150.在def中，由余弦定理，得cosdef.10一只船以20海里/时

7、的速度向正东航行，它在a点时测得灯塔p在船的北偏东60°方向，2小时后船到达b点时测得灯塔p在船的北偏东45°方向，求：(1)船在b点时与灯塔p的距离；(2)已知以p点为圆心，55海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么此船继续向正东航行，有无触礁的危险？解：如图，在abp中，依题意，知ab20×240，pab30°，abp135°，所以apb15°.由正弦定理得，解得bp20()(2)过p点作pdab，d为垂足，在rtbpd中，pdbp2020<55.故船在b点时与灯塔相距20()海里，继续航行有触礁的危险b组能力提升11一货轮航行

8、到m处，测得灯塔s在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔s相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()a. n mile/hb. n mile/hc. n mile/hd. n mile/h解析：如图，在mns中，ms20，nms45°，snm105°，msn30°.在mns中，由正弦定理，得.mn10()货轮的速度为 n mile/h.答案：b12甲船在岛b的正南a处，ab10 n mile，甲船自a处以4 n mile/h的速度向正北航行，同时乙船以6 n mile/h的速度自

9、岛b出发，向北偏东60°方向驶去，则两船相距最近时经过了_ min.解析：设甲、乙两船行驶x h后，分别位于c、d处，cdy，如图所示在cbd中，y2(104x)2(6x)22(104x)·6x·cos120°28x220x100282，所以当x h，即x×60 min时，y.答案：13已知海岛b在海岛a的北偏东45°方向上，a、b相距10海里，小船甲从海岛b以2海里/小时的速度沿直线向海岛a移动，同时小船乙从海岛a出发沿北偏西15°方向也以2海里/小时的速度移动(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程

10、中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由解：(1)经过1小时后，甲船到达m点，乙船到达n点，|mn|2|am|2|an|22|am|an|cos60°6442×8×2×52，|mn|2.(2)设经过t(0<t<5)小时小船甲处于小船乙的正东方向则甲船与a距离为|ae|102t海里，乙船与a距离为|af|2t海里，eaf60°，efa45°，则由正弦定理得，即，t<5.答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向14某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在a处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的c处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间解：设所需时间为t小时，则ab10t，cb10t，acb120°，在abc中，根据余弦定理，