可分离变量微分方程58574

1、一阶微分方程 第二节本节讨论形如本节讨论形如 第八章 0),(),( dyyxqdxyxp的一阶微分方程的一阶微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法 dxxfdyyg)()(cxfyg )()(为微分方程的解为微分方程的解. .分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lncxy .2为所求通解为所求通解xcey 例例2. 2. 求微分方程yxxy2

2、3dd的通解.解解: : 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lncxycxylnln3即13ecxy31eexc3excy 1ecc令( c 为任意常数 )或或说明说明: : 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例例3.3. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: : 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得cxyln11lnln2即cxy12由初始条件得 c = 1,112xy( c 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y练习求下列微分方程的通解0ln)1( yyyx0553)2(2 yxx0d)4(d)4

3、(2 yxxyyxdxdy 10)3(cxey cxxy 325121cxy 1010cxyx 4)4(练习练习:.edd的通解的通解求方程求方程yxxy 解法解法 1 分离变量分离变量xyxydedecxyee即即01e)e(yxc( c 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有故有uue1积分积分cxuue1dcxuu)e1 (ln( c 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (积分积分二、齐次方程二、齐次方程形如形如)(ddxyxy的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程 .令令,xyu ,xuy 则代入原方程得代入原方程得,ddddxuxu

4、xy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分两边积分, 得得xxuuud)(d积分后再用积分后再用xy代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量: 例例1. 1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得代入原方程得uuuxutan分离变量分离变量xxuuuddsincos两边积分两边积分xxuuuddsincos得得,lnlnsinlncxuxcu sin即故原方程的通解为故原方程的通解为xcxysin( 当当 c = 0 时时, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( c 为任意常数为任意常数 )0c此处此处例例2. 2

5、. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有则有22uuuxu分离变量分离变量xxuuudd2积分得积分得,lnln1lncxuuxxuuudd111即代回原变量得通解代回原变量得通解即即cuux )1(ycxyx)(说明说明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(c 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了. 三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxqyxpxy若若 q(x) 0, 0)(ddyxpxy

6、若若 q(x) 0, 称为称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量xxpyyd)(d两边积分得两边积分得cxxpylnd)(ln故通解为故通解为xxpcyd)(e称为称为齐次方程齐次方程 ;xxpcyd)(e对应齐次方程通解对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解xxpcd)(e2. 解非齐次方程解非齐次方程)()(ddxqyxpxy用用常数变易法常数变易法:,e)()()(xxpxuxyd则则xxpud)(e)(xpxxpud)(e)(xq故原方程的通解故原方程的通解xxqxxpxxpde)(ed)(d)(cxxqyxxpxxpde)

7、(ed)(d)(y即即即即作变换作变换xxpuxpd)(e)(xxpxqxud)(e)(ddcxxquxxpde)(d)(两端积分得两端积分得例例1. 1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即即1d2dxxyy积分得积分得,ln1ln2lncxy即即2) 1( xcy用用常数变易法常数变易法求特解求特解.,) 1()(2xxuy则则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得代入非齐次方程得21) 1( xu解得解得cxu23) 1(32故原方程通解为故原方程通解为cxxy232) 1(32) 1(令令.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy

8、 ,1)(xxp ,sin)(xxxq cdxexxeydxxdxx11sin cdxexxexxlnlnsin cxdxxsin1 .cos1cxx 解解例例2 20d2d3yyxyyxx例例3.3. 求方程的通解 .解解: 注意注意 x, y 同号同号,d2d, 0,xxxyx此时不妨设yyxyx2dd2yyp21)(yyq1)(由一阶线性方程由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得得exyy2de1(yyy2d故方程可变形为故方程可变形为yy1y1 lndcy 所求通解为所求通解为 )0(eccyyxycyln这是以这是以x为因变量为因变量 y 为自变量的一阶为自变量的一阶线性方程线性方程

9、cylnd)0(c内容小结内容小结1. 一阶线性方程)()(ddxqyxpxy方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式cxxqyxxpxxpde)(e)()(dd,1 nyu令化为线性方程求解.2. 伯努利方程nyxqyxpxy)()(dd)1,0(n3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如例如, 解方程解方程yxxy1ddyxyxdd, yxu, xuy1ddddxuxy法法1. 取取 y 作自变量作自变量: 线性方程线性方程 法法2. 作变换作变换 则则 代入原方程得代入原方程得 ,11dduxuuuxu1dd可分离变量方程

10、可分离变量方程思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程备用题备用题1. 求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxf

11、cos)()(0)0(f线性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出2. 设有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解解: 1) 先解定解问题10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xyde1dde2cxx)e2(e1cxxxce21利用00 xy得21c故有) 10(e22xyx2) 再解定解问题1,0 xyy11e22) 1 ( yyx此齐次线性方程的通解为) 1(e2xcyx利用衔接条件得) 1(e22c因此有) 1(e) 1(e2xyx3) 原问题的解为y10),e1 (2xx1,e) 1(e2xx) 10

12、(e22xyx( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = c (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: p298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程3) 根据微