同济第五版高数下第七章课件24234

1、四、二次曲面四、二次曲面第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点a(1,2,3) 和和b(2,-1,4)等距离等距离222(1)(2)(3)xyz26270 xyz 化简得化简得即即引例引例 222(2)(1)(4)xyz解解 设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为( , , ),m x y z,ambm 则则的点的轨迹方程的点的轨迹方程. 说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 ab 的垂直平分面的垂直平分面. .显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平

2、面上的点的坐标都满足此方程, , 不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程. .26270 xyz 轨迹方程轨迹方程abab 如果曲面如果曲面 s 与方程与方程 f( x, y, z ) = 0定义定义 (1) 曲面曲面 s 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 f( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 s 的的方程方程, 曲面曲面 s 叫做方程叫做方程 f( x, y, z ) = 0 的的图形图形. .(2) 不在曲面不在曲面 s 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,0),(zyxfsxyzo有下述关系有下述关系

3、: :曲面研究的两个基本问题曲面研究的两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程时已知方程时,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( 必要时需作图必要时需作图 ). 故所求方程为故所求方程为例例1 求动点到定点求动点到定点( , , ),m x y z0000(,)mxy z轨迹方程轨迹方程. 特别特别,当当m0在原点时在原点时,球面方程为球面方程为解解 设轨迹上动点为设轨迹上动点为0m mr 即即依题意依题意距离为距离为 r 的的222zrxy 表示上表示上(下下)球面球面 .222000()()()xxy

4、yzzr2222000()()()xxyyzzr2222xyzrxyzom0m例例2 研究方程研究方程222240 xyzxy 解解 配方得配方得50(1,2,0),m 此方程表示此方程表示:一般地如下形式的三元二次方程一般地如下形式的三元二次方程 ( a 0 )都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形.表示怎样的曲面表示怎样的曲面. 半径为半径为的球面的球面. .222()0a xyzdxeyfzg球心为球心为 其图形可能是一个球面其图形可能是一个球面, 或点或点, 或虚轨迹或虚轨迹.222(1)(2)5xyz定义定义 一条平面曲线绕其平面上一条定直线一条平面曲线绕其平面上一条定直线

5、二、旋转曲面二、旋转曲面 旋转一周所形成的曲面叫做旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转轴旋转轴 .例如例如 :11o mo my又又 建立建立yoz面上曲线面上曲线c 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故故旋转曲面方程旋转曲面方程为为( , , ),m x y z当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,11(,)0f y z 111(0,),my zc 在曲面上任取一点在曲面上任取一点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 c: 111(0,)my z( , , )m x y z2211,xyyzz则有则有22(, )0fxyz此时有此时有该点转到该点转

6、到( , )0f y z ozyxco 思考思考：当曲线：当曲线 c 绕绕 y 轴旋转轴旋转时，方程如何？时，方程如何？:( , )0cf y z 22(,)0fyxz oyxz例例3 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半半顶角顶角为为 的圆锥面方程的圆锥面方程. . 解解 在在yoz面上直线面上直线l 的方程为的方程为cotzy 绕绕z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的圆锥面的方程为方程为22cotzxy 2222()zaxycota 令令xyz两边平方两边平方l(0, , )my z例例4 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线22221xzac分别绕分别绕

7、 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转轴旋转一周所生成的旋转曲面方程曲面方程. xy解解 绕绕 x 轴旋转所成曲面方程为轴旋转所成曲面方程为222221xyzac 绕绕 z 轴旋转所成曲面方程为轴旋转所成曲面方程为222221xyzac 这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.z22221xzac22221xzacxyz三、柱面三、柱面引例引例 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程的坐标也满足方程222xyr解解 在在xoy面上，面上，表示圆表示圆c, 222xyr 222xyr沿曲线沿曲线c平行于平行于z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成

8、的曲面故在空间中故在空间中222xyr过此点作过此点作平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,称为称为圆柱面圆柱面.对任意对任意 z ,表示圆柱面表示圆柱面.oc在圆在圆c上任取一点上任取一点 1( , ,0),mx yl1m( , , )m x y z点点其上所有点的坐标都满足此方其上所有点的坐标都满足此方程程,ml定义定义平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 c 移动的直线移动的直线 l形成的轨迹叫做形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面表示抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线准线c为为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.22xy cc 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线.

9、22xy xozy 22221xyab0 xy表示母线平行于表示母线平行于z 轴的平面轴的平面. (且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于z 轴的椭圆柱面轴的椭圆柱面.xozyxy xyzo一般地一般地, ,在三维空间中的二元方程表示柱面在三维空间中的二元方程表示柱面. .方程方程母线母线准线准线0),( yxf平行于平行于z 轴轴在在xoy 面面x 轴轴0),( zyg0),( xzhyoz 面面xoz 面面y 轴轴图形图形xyzxzyxyz四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, ,下

10、面仅就几种常见标准型的特点进行介绍下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 . .研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: : 截痕法截痕法 其基本类型有其基本类型有: : 椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面的图形通常为二次曲面. . 222axbyczdxyeyzfzx0gxhyizj( (二次项系数不全为二次项系数不全为 0 ) )1. 椭球面椭球面2222221( , ,xyza b cabc 为为正正数数) )(1)(1)范围：范围：,xaybzcyxz(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆22221,0 xyabz 2222

11、1,0yzbcx 222210 xzacy ozyx2222221( , ,xyza b cabc 为为正正数数) )与与11()zzzc的交线为的交线为椭圆椭圆：1zz 同样同样11()yyyb11xxxa（）及及的截痕也为椭圆的截痕也为椭圆.(3) 截痕截痕:2222222222111()()abccxyczcz2222221( , ,xyza b cabc 为为正正数数) )ozyx(4) 当当 ab 时为旋转椭球面时为旋转椭球面;当当abc时为球面：时为球面：1222222 czayax由看作椭圆由看作椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成12222 czaxz222221xyzac 或或.

12、2222azyx 2. 抛物面抛物面2222xyzpq(1) 椭圆抛物面椭圆抛物面( p , q 同号同号)特别特别,当当 p = q 时为绕时为绕 z 轴的轴的旋转抛物面旋转抛物面.zxyoxyzo0, 0 qp0, 0 qpzpypx 2222(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzpq( p , q 同号同号)xyzo3. . 双曲面双曲面(1)单叶双曲面单叶双曲面zxy2222221 ( , ,)xyza b cabc 为为正正数数zxyzxy(2) 双叶双曲面双叶双曲面2222221( , ,)xyza b cabc 为为正正数数1yy 平平面面上上的的截截

13、痕痕为为双双曲曲线线1xx 平平面面上上的的截截痕痕为为双双曲曲线线11()zzzc平平面面上上的的截截痕痕为为椭椭圆圆zxyo注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: : 2222221xyzabc 单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面2222221xyzabc 4. 椭圆锥面椭圆锥面22222( ,)xyza bab为为正正数数zxyoxyzz小小 结结1. 空间曲面空间曲面三元方程三元方程( , )0f x y z 球面球面2222000()()() =xxyyzzr 旋转曲面旋转曲面例如例如, 曲线曲线( , )00f y zx 绕绕 z 轴的旋转曲面轴的

14、旋转曲面:22(, )0fxyz 柱面柱面例如曲面例如曲面( ,)0f x y 表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.2. 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程( ,)p q同同号号 椭球面椭球面2222221xyzabc 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面2222xyzpq2222xyzpq 双曲面双曲面: 单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面: 22222xyzab2222221xyzabc 2222221xyzabc 5x 229xy 1yx 斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴轴的直线的直线 平行于平行于 yoz 面面的平面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴轴为中心轴的圆柱面的圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面思考题思考题1