概率论第七章习题

1、第七章习题第七章习题2. 设设x1,x2,xn为总体的一个样本为总体的一个样本, x1,x2,xn为一相应的样本值为一相应的样本值;求求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值.(1)解解 因为只有一个未知参数因为只有一个未知参数 ,故只计算总体一阶矩故只计算总体一阶矩 1即可即可.解出解出c 11 将总体一阶矩将总体一阶矩 1换成样本一阶矩换成样本一阶矩a1=x ,得到参数得到参数 的矩估计量的矩估计量cxx 矩估计值矩估计值cxx 其其它它, 0,)()1(cxxcxf 其中其中c0为已知为已知, 1, 为未知参数

2、为未知参数. dxxxfxe)()(1 dxxcxc) 1( 111 cxcdxxccc2.(2) 其其它它, 010 ,)(1xxxf 其中其中 0, 为未知参数为未知参数.解解 因为只有一个未知参数因为只有一个未知参数 ,故只计算总体一阶矩故只计算总体一阶矩 1即可即可.解出解出211)1( 将总体一阶矩将总体一阶矩 1换成样本一阶矩换成样本一阶矩a1=x ,得到参数得到参数 的矩估计量的矩估计量2)1(xx 矩估计值矩估计值2)1(xx .)()(1dxxxfxe 1110110 xdxx3.求求1题中各未知参数的题中各未知参数的最大似然最大似然估计值和估计量估计值和估计量.(1) 其其

3、它它, 0,)()1(cxxcxf 其中其中c0为已知为已知, 1, 为未知参数为未知参数.解解 似然函数似然函数 其其它它0, 2 , 1,)()(),(), ,() 1(1) 1(1121nicxxcxcxfxxxliniinininiin niixcnnl1ln)1(lnlnln xic ( i =1,2,n)时时,取对数得取对数得令令0lnlnln1 niixcnnldd 得到得到 的的最大似然最大似然估计值估计值cnxnniilnln1 的的最大似然最大似然估计量估计量cnxnniilnln1 3.(2) 其其它它, 010 ,)(1xxxf 其中其中 0, 为未知参数为未知参数.解

4、解 似然函数似然函数 其其它它0, 2 , 1, 10 ,)()(),(), ,(112/11121nixxxxfxxxliniinininiin niixnl1ln)1(ln2ln 0 xi 1 ( i =1,2,n)时时,取对数得取对数得令令0ln212ln1 niixnldd 得到得到 的的最大似然最大似然估计值估计值212)ln( niixn 的的最大似然最大似然估计量估计量212)ln( niixn 4.(2) 设设x1,x2,xn是来自参数为是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本的泊松分布总体的一个样本,试试求求 的的最大似然最大似然估计量及矩估计量估计量及矩估计量.解解 泊松分布

5、的分布律为泊松分布的分布律为, 2 , 1 , 0,! xxexxpx 总体一阶矩总体一阶矩 1=e(x)= , 将总体一阶矩将总体一阶矩 1换成样本一阶矩换成样本一阶矩a1=x ,得到参数得到参数 的矩估计量的矩估计量x 似然函数似然函数 niixnniixnxeexxxxlniii1121) !(!),(1 取对数得取对数得) !ln(lnln11 niiniixxnl 令令01ln1 niixnldd 得到得到 的的最大似然最大似然估计值估计值xxnnii 11 的的最大似然最大似然估计量估计量xxnnii 11 设设x1,x2,xn为相应的样本值为相应的样本值,82) 1() 1(21

6、212122221122212212112 nnsnsnsnnnsnnnsw(1)验证第六章验证第六章2定理四中的统计量定理四中的统计量是两总体公共方差是两总体公共方差 2的无偏估计量的无偏估计量(sw2称为称为 2的合并估计的合并估计).证证 两正态总体两正态总体n( 1, 12 ) ,n( 2, 22 )中中, 12= 22= 2而不管总体而不管总体x服从什么分布服从什么分布,都有都有e(s2)=d(x), 因此因此e(s12)= e(s22)= 2,222221121)() 1()() 1(21 sensennn)2) 1() 1()(212222112 nnsnsnesew(2)设总体

7、设总体x的数学期望为的数学期望为 . x1,x2,xn是来自是来自x的样本的样本. a1,a2,an是任意常数是任意常数,验证验证)0()(111 niiniiniiiaaxa是是 的无偏估计量的无偏估计量.证证 niiniiniiniiiniiniiiaaaxeaaxae111111)()(e(x1)= e(x2)= e(xn)= e(x)= 10.设设x1,x2,x3,x4是来自均值为是来自均值为 的指数分布总体的样本的指数分布总体的样本,其中其中 未知未知.设有估计量设有估计量)(31)(6143211xxxxt t2=(x1+2x2+3x3+4x4)/5,t3=(x1+x2+x3+x4

8、)/4 . (1)指出指出t1,t2,t3中哪几个是中哪几个是 的无偏估计量的无偏估计量;(2)在上述在上述 的无偏估计量中指出哪一个较为有效的无偏估计量中指出哪一个较为有效.解解 xi ( i =1,2,3,4) 服从均值为服从均值为 的指数分布的指数分布,故故 e(xi)= , d(xi)= 2 ,(1) )3161(2)()(31)()(61)(43211xexexexete 2)4321(51)(4)(3)(2)(51)(43212 xexexexete )1111(41)()()()(41)(43213xexexexete因此因此t1,t3是是 的无偏估计量的无偏估计量.(2) x1

9、,x2,x3,x4相互独立相互独立2243211185)91361(2)()(91)()(361)( xdxdxdxdtd2243213205)1111(161)()()()(161)( xdxdxdxdtd由于由于d(t1)d(t3),所以所以t3比比t1较为有效较为有效.12. 设从均值为设从均值为 ,方差为方差为 20的总体中的总体中,分别抽取容量为分别抽取容量为n1,n2的两独的两独立样本立样本.x1和和x2分别是两样本的均值分别是两样本的均值.试证试证,对于任意常数对于任意常数,a,b(a+b=1), y=ax1+bx2都是都是 的无偏估计的无偏估计,并确定常数并确定常数a,b使使d

10、(y)达到最小达到最小.解解 由由p168(2.19)得得 e(x1)=e(x2)= , d(x1)= 2/n1, d(x2)= 2/n2 .故故 e(y)=ae(x1)+be(x2)=(a+b) = , (a+b=1)所以所以,对于任意常数对于任意常数,a,b(a+b=1), y=ax1+bx2都是都是 的无偏估计的无偏估计.由于两样本独立由于两样本独立,故两样本均值故两样本均值x1和和x2独立独立,所以所以222122212)()()( nbnaxdbxdayd 由极值必要条件由极值必要条件0)1(22)(221 nanadaydd解得解得211nnna 而而2121nnnab 由于由于0

11、22)(22122 nndaydd故故d(y)必有唯一极小值即最小值必有唯一极小值即最小值.22212)1( nana 14.设某种清漆的设某种清漆的9个样品个样品,其干燥时间其干燥时间(以小时计以小时计)分别为分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布设干燥时间总体服从正态分布n( , 2),求求 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信的置信区间区间. (1)若由以往经验知若由以往经验知 =0.6, (2)若若 为未知为未知.解解 (1) 2已知已知, 的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为 2/ znxn=9,

12、 1- =0.95, =0.05, (z0.025)=1-0.025=0.975, z0.025=1.96, =0.6 ,x=6,)392. 06()96. 136 . 06( 的一个置信水平为的一个置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为(5.608, 6.392).(2) 2未知未知, 的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为 )1(2/ntnsx n=9, 1- =0.95, =0.05, t /2(n-1)=t 0.025(8)= 2.3060s=0.5745,442. 063060. 235745. 06 的一个置信水平为的一个置信水平为0.95 的置信区间为的置信

13、区间为(5.558, 6.442).16. 随机地取某种炮弹随机地取某种炮弹9发做试验发做试验,得炮口速度的样本标准差得炮口速度的样本标准差s=11(m/s).设炮口速度服从正态分布设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信的置信水平为水平为0.95 的置信区间的置信区间.解解 未知未知, 的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为) 1(1,) 1(1(22/122/ nsnnsn n=9, 1- =0.95, =0.05, 2 /2 (n-1)= 2 0.025(8)= 2 1- /2 (n-1)= 2 0.975(8)=17.53

14、52.18,又又s=11, 4 . 7535.17118 , 1 .2118. 2118 标准差标准差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为(7.4, 21.1).18. 随机地从随机地从a批导线中抽取批导线中抽取4根根,又从又从b批导线中抽取批导线中抽取5根根,测得电测得电阻阻(欧欧)为为 a批导线批导线:0.143 0.142 0.143 0.137b批导线批导线:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设测定数据分别来自分布设测定数据分别来自分布n( 1, 2),n( 2, 2),且两样本相互独立且两样本相互独立.又又 1, 2, 2均为未知均为未

15、知.试试求求 1 - 2的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间的置信区间. 解解 两正态总体相互独立两正态总体相互独立, 方差相等方差相等,但方差未知但方差未知, 其均值差其均值差 1 - 2的的一个置信水平为一个置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为)11) 2(21212/21nnsnntxxw .,2) 1() 1(2212222112wwwssnnsnsns n1=4,n2=5,1- =0.95, =0.05, t /2(n1+n2-2)=t0.025(7)= 2.3646x1=0.14125, x2=0.1392, s12=8.25 10-6 , s22=5.2 10-6,3

16、661055. 27102 . 541025. 83 ws)004. 0002. 0()1055. 23646. 21392. 014125. 0(51413 1 - 2的一个置信水平为的一个置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为(-0.002, 0.006).20. 设两位化验员设两位化验员a,b独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作各作10次测定次测定,其测定值的样本方差依次为其测定值的样本方差依次为sa2=0.5419, sb2=0.6065, 设设 a2, b2分别为分别为a,b所测定的测定值总体的方差所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态

17、的设总体均为正态的,设两样本独立设两样本独立,求方差比求方差比 a2/ / b2的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间. 解解 两正态总体均值两正态总体均值未知未知,方差比方差比 a2/ b2的一个置信水平为的一个置信水平为1- 的的 置信区间为置信区间为na=10,nb=10,1- =0.95, =0.05,f /2(na-1,nb-1)=f0.025(9,9)= 4.0303. 41)9 , 9(1)9 , 9()1, 1(025. 0975. 02/1 ffnnfba )1, 1(1,)1, 1(1(212/122212/22 nnfssnnfssbaba sa2=0.54

18、19,sb2=0.6065,222. 003. 416065. 05419. 0 ,601. 303. 46065. 05419. 0 a2/ b2的一个置信水平为的一个置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为(0.222, 3.601).22(2)求求18题中题中 1 - 2的置信水平为的置信水平为0.95 的单侧置信下限的单侧置信下限.解解)2(11)()(21212121 nntnnsxxw .,2) 1() 1(2212222112wwwssnnsnsns 按照按照t t分布的上分布的上 分位点的定义分位点的定义 1)2(11)()(21212121nntnnsxxpw即即 111)2(21212121